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【高考领航】2022高考数学总复习 2-10 函数模型及其应用练习 苏教版

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【高考领航】2022高考数学总复习2-10函数模型及其应用练习苏教版【A组】一、填空题1.在一定范围内,某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系,如果购买1000吨,每吨为800元,如果购买2000吨,每吨为700元,一客户购买400吨,单价应该是________.解析:设y=ax+b,则解得∴y=-10x+9000,由400=-10x+9000,得x=860(元).答案:8602.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图),为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用,则截取的矩形面积的最大值为________.解析:依题意知:=,即x=(24-y),∴阴影部分的面积S=xy=(24-y)y=(-y2+24y),∴当y=12时,S有最大值为180.答案:1803.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)=n(n+1)(2n+1)吨,但如果年产量超过150吨,将会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年.解析:由题知第一年产量为a1=×1×2×3=3;以后各年产量分别为an=f(n)-f(n-1)=n(n+1)(2n+1)-n(n-1)(2n-1)=3n2(n∈N*),令3n2≤150,得1≤n≤5⇒1≤n≤7,故生产期限最长为7年.9\n答案:74.某商场在节假日对顾客购物实行一定的优惠,商场规定:①如一次购物不超过200元,不给予折扣;②如一次购物超过200元而不超过500元,按标准价给予九折优惠;③如一次购物超过500元,其中500元的部分给予九折优惠,超过500元的剩余部分给予八五折优惠.某人两次去购物,分别付款176元和432元.如果他只去一次购买同样的商品,则他应该付款为________元.解析:设购物应付款x元,实际付款y元,则由题意知:y=,那么该人两次实际购物应付款分别为x1=176元,x2=432÷0.9=480元,则x1+x2=656元,如果他只去一次,则应该付款y=0.85×656+25=582.6元.答案:582.65.有一批材料可以建成200m的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示),则围成的矩形最大面积为________.(围墙厚度不计)解析:设矩形的长为xm,宽为m,则S=x·=(-x2+200x).当x=100时,Smax=2500m2.答案:2500m26.(2022·高考浙江卷)某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份递增x%,八月份销售额比七月份递增x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7000万元,则x的最小值为________.解析:七月份的销售额为500(1+x%),八月份的销售额为500(1+x%)2,则一月份至十月份的销售总额是3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2],根据题意有3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7000,即25(1+x%)+25(1+x%)2≥66,令t=1+x%,则25t2+25t-66≥0,解得t≥或者t≤-(舍去),故1+x%≥,解得x≥20.答案:207.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费9\n用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=________吨.解析:设购买n次,则n=,总运费为万元,所以总费用=+4x≥160,当且仅当=4x,即x=20时,等号成立.答案:20二、解答题8.(2022·徐州第一次调研)如图,有一正方形钢板ABCD缺损一角(图中的阴影部分),边缘线OC是以直线AD为对称轴,以线段AD的中点O为顶点的抛物线的一部分.工人师傅要将缺损一角切割下来,使剩余的部分成为一个直角梯形.若正方形的边长为2m,问如何画切割线EF,可使剩余的直角梯形的面积最大?并求其最大值.解:以A为坐标原点,直线AB、AD分别为x轴、y轴,建立如图所示的直角坐标系,依题意可设边缘线OC的方程为y=ax2+1(0≤x≤2),∵点C的坐标为(2,2),∴22a+1=2,a=,故边缘线OC的方程为y=x2+1(x≤0≤2).要使梯形ABEF的面积最大,则EF所在的直线必与边缘线OC相切,设切点坐标为P(0<t<2),∵y′=x,∴直线EF的方程可表示为y-t2-1=t(x-t),即y=tx-t2+1.由此可求得E,F.∴|AF|=1-t2,|BE|=-t2+t+1,设梯形ABEF的面积为S(t),则S(t)=|AB|·(|AF|+|BE|)=+=-t2+t+2=-(t-1)2+≤.9\n∴当t=1时,S(t)=,故S(t)的最大值为2.5,此时|AF|=0.75,|BE|=1.75.所以,当AF=0.75m,BE=1.75m时,可使剩余的直角梯形面积最大,其最大值为2.5m2.9.(2022·高考山东卷)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为立方米,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元.设该容器的建造费用为y千元.(1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;(2)求该容器的建造费用最小时的r.解:(1)设容器的容积为V,由题意知:V=πr2l+πr3,又V=,故l==-r=.由于l≥2r,因此0<r≤2.所以建造费用y=2πrl×3+4πr2c=2πr××3+4πr2c,因此y=4π(c-2)r2+,0<r≤2.(2)由(1)得y′=8π(c-2)r-=(r3-),0<r<2.由于c>3,所以c-2>0,当r3-=0时,r=.9\n令=m,则m>0,所以y′=(r-m)(r2+rm+m2).①当0<m<2即c<时,当r=m时,y′=0;当r∈(0,m)时,y′<0;当r∈(m,2)时,y′>0,所以r=m是函数y的极小值点,也是最小值点.②当m≥2即3<c≤时,当r∈(0,2)时,y′<0,函数单调递减,所以r=2是函数y的最小值点.综上所述,当3<c≤时,建造费用最小时r=2;当c>时,建造费用最小时r=.【B组】一、填空题1.2022年12月30日到银行存入a元,若年利率为x,且按复利计算,到2022年12月30日可取回________.解析:1年后,可取回a(1+x)元;2年后,可取回a(1+x)(1+x)=a(1+x)2元;…8年后,可取回a(1+x)7(1+x)=a(1+x)8元.答案:a(1+x)8元2.某企业去年销售收入1000万元,年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分.若年利润必须按p%纳税,且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税,其他不纳税.已知该企业去年共纳税120万元.则税率p%为________.解析:利润300万元,纳税300·p%万元,年广告费超出年销售收入2%的部分为200-1000×2%=180(万元),纳税180·p%万元,共纳税300·p%+180·p%=120(万元),9\np%==25%.答案:25%3.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)=x2+2x+20(万元).一万件售价是20万元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为________.解析:利润L(x)=20x-C(x)=-(x-18)2+142,当x=18时,L(x)有最大值.答案:184.某商店已按每件80元的成本购进某商品1000件,根据市场预测,销售价为每件100元时可全部售完,定价每提高1元时销售量就减少5件,若要获得最大利润,销售价应定为每件________.解析:设售价提高x元,则依题意y=(1000-5x)×(20+x)=-5x2+900x+20000=-5(x-90)2+60500.故当x=90时,ymax=60500,此时售价为每件190元.答案:1905.(2022·扬州调研)将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中,t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y=aent.若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等,又过了m分钟后甲桶中的水只有升,则m的值为________.解析:令a=aent,即=ent,因为=e5n,故=e15n,比较知t=15,m=15-5=10.答案:106.小王每月除去所有日常开支,大约结余a元.小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来,每月初存入银行a元,存期1年(存12次),到期取出本和息.假设一年期零存整取的月利率为r,每期存款按单利计息.那么,小王的存款到期利息为________元.解析:依题意得,小王存款到期利息为12ar+11ar+10ar+…+3ar+2ar+ar=ar=78ar元.答案:78ar7.(2022·北京朝阳二模)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x(x∈N*)件.当x≤20时,年销售总收入为(33x-x2)万元;当x9\n>20时,年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元,则y(万元)与x(件)的函数关系式为________,该工厂的年产量为________件时,所得年利润最大.(年利润=年销售总收入一年总投资).解析:本题考查了函数的实际应用.当x≤20时,y=(33x-x2)-x-100=-x2+32x-100;当x>20时,y=260-100-x=160-x.故y=(x∈N*).当0<x≤20时,y=-x2+32x-100=-(x-16)2+156,x=16时,ymax=156.而当x>20时,160-x<140,故x=16时取得最大年利润.答案:y=(x∈N*);16二、解答题8.(2022·江苏十二校联考)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得10万元到1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不超过9万元,同时奖金不超过收益的20%.(1)请分析函数y=+2是否符合公司要求的奖励函数模型,并说明原因;(2)若该公司采用函数模型y=作为奖励函数模型,试确定最小的正整数a的值.解:(1)对于函数模型y=f(x)=+2,当x∈[10,1000]时,f(x)为增函数,f(x)max=f(1000)=+2=+2<9,所以f(x)≤9恒成立,但当x=10时,f(10)=+2>,即f(x)≤不恒成立,故函数模型y=+2不符合公司要求.(2)对于函数模型y=g(x)=,即g(x)=10-,当3a+20>0,即a>-时递增,为使g(x)≤9对于x∈[10,1000]恒成立,即要g(1000)≤9,3a+18≥1000,9\n即a≥,为使g(x)≤对于x∈[10,1000]恒成立,即要≤5,即x2-48x+15a≥0恒成立,即(x-24)2+15a-576≥0(x∈[10,1000])恒成立,又24∈[10,1000],故只需15a-576≥0即可,所以a≥.综上,a≥,故最小的正整数a的值为39.9.(2022·广州二测)我国是水资源比较贫乏的国家之一,各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的.某市用水收费标准是:水费=基本费+超额费+定额损耗费,且有如下三条规定:①若每月用水量不超过最低限量m立方米时,只付基本费9元和每户每月定额损耗费a元;②若每月用水量超过m立方米时,除了付基本费和定额损耗费外,超过部分每立方米付n元的超额费;③每户每月的定额损耗费a不超过5元.(1)求每户每月水费y(元)与月用水量x(立方米)的函数关系式;(2)该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示:月份用水量(立方米)水费(元)一417二523三2.511试分析该家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量,并求m,n,a的值.解:(1)依题意,得y=其中0<a≤5.(2)∵0<a≤5,∴9<9+a≤14.由于该家庭今年一、二月份的水费均大于14元,故用水量4立方米,5立方米都大于最低限量m立方米.9\n将和分别代入(**)得两式相减,得n=6.代入17=9+n(4-m)+a得a=6m-16.又三月份用水量为2.5立方米,若m<2.5,将代入(**),得a=6m-13,这与a=6m-16矛盾.∴m≥2.5,即该家庭三月份用水量2.5立方米没有超过最低限量,将代入(*)得11=9+a.由解得所以,该家庭今年一、二月份用水量超过最低限量,三月份用水量没有超过最低限量,m=3,n=6,a=2.9

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发布时间:2022-08-26 00:04:31 页数:9
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文章作者:U-336598

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