【高考领航】2022高考数学总复习 2-6 对数函数练习 苏教版

【高考领航】2022高考数学总复习2-6对数函数练习苏教版【A组】一、填空题1．(2022·高考北京卷)如果logx＜logy＜0，那么x，y的大小关系为________．解析：∵logx＜logy＜log1∴x＞y＞1答案：x＞y2．(2022·徐州月考)函数f(x)＝log(x2－2x－3)的单调递增区间是________．解析：设t＝x2－2x－3，则y＝logt.由t>0解得x<－1或x>3，故函数的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．又t＝x2－2x－3＝(x－1)2－4在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．而函数y＝logt为关于t的减函数，所以，函数f(x)的单调增区间为(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)3．(2022·高考天津卷)已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则a，b，c的大小关系是________．解析：a＝log23.6＝log43.62＝log412.96，∴y＝log4x(x＞0)是单调增函数，而3.2＜3.6＜12.96，∴a＞c＞b.答案：a＞c＞b4．若函数f(x)＝logax(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为________．解析：∵0<a<1，∴函数f(x)＝logax在(0，＋∞)上减函数，∴在区间[a,2a]上，f(x)min＝loga(2a)，f(x)max＝logaa＝1，∴loga(2a)＝，∴a＝.5\n答案：5．(2022·高考江苏卷)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．解析：由题意知，函数f(x)＝log5(2x＋1)的定义域为，所以该函数的单调增区间为.答案：6．函数y＝loga(x－1)＋2(a>0，a≠1)的图象恒过一定点是________．解析：当x－1＝1即x＝2时，y＝loga1＋2＝2.答案：(2,2)7．已知f(x)＝loga(ax2－x)(a＞0，且a≠1)在区间[2,4]上是增函数，实数a的取值范围为________．解析：设t＝ax2－x＝a2－，若f(x)＝loga(ax2－x)在[2,4]上是增函数，需或即或∴a＞1.所以实数a的取值范围为(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)二、解答题8．设函数f(x)＝log2(ax－bx)，且f(1)＝1，f(2)＝log212.(1)求a，b的值；(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的最大值．解：(1)由已知，得∴解得a＝4，b＝2.(2)f(x)＝log2(4x－2x)＝log2，∵u(x)＝2－在[1,2]上是增函数，∴u(x)max＝2－＝12.∴f(x)的最大值为log212＝2＋log23.5\n9．若函数y＝(logax)2－2logax＋b(0＜a＜1)的定义域为[2,4]，值域为，求a，b的值．解：令t＝logax，x∈[2,4]，又知0＜a＜1，∴loga4≤t≤loga2＜0，∴y＝t2－2t＋b.由二次函数图象知y＝t2－2t＋b在[loga4，loga2]上是减函数，∴⇔.解得loga2＝－或loga2＝(舍去)．即a＝，b＝5.【B组】一、填空题1．(2022·镇江月考)设函数f(x)＝log2x的反函数为y＝g(x)，若g＝，则a＝________.解析：因为对数函数y＝log2x与指数函数y＝2x互为反函数，所以g(x)＝2x.则有g＝2＝，即＝－2，解得a＝.答案：2．(2022·南京月考)若log2a<0，则a的取值范围是________．解析：当2a>1时，∵log2a<0＝log2a1，∴<1.∵1＋a>0，∴1＋a2<1＋a，∴a2－a<0，∴0<a<1，∴<a<1.当0<2a<1时，∵log2a<0＝log2a1，∴>1.∵1＋a>0，∴1＋a2>1＋a，∴a2－a>0，∴a<0或a>1，此时不合题意．综上所述，a∈.答案：3．(2022·高考安徽卷)(log29)·(log34)＝________.解析：∵log29＝2log23，log34＝2log32，∴原式＝4log23×log32＝4.答案：44．(2022·高考北京卷)已知函数f(x)＝lgx．若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________.5\n解析：∵f(x)＝lgx，f(ab)＝1，∴lg(ab)＝1，∴f(a2)＋f(b2)＝lga2＋lgb2＝2lga＋2lgb＝2lg(ab)＝2.答案：25．(2022·河北唐山统考)已知2a＝5b＝，则＋＝________.解析：∵2a＝5b＝，∴a＝log2，b＝log5，利用换底公式可得：＋＝log2＋log5＝log10＝2.答案：26．(2022·湖北黄石模拟)设a>0且a≠1，函数f(x)＝alg(x2－2x＋3)有最大值，则不等式loga(x2－5x＋7)>0的解集为________．解析：∵函数y＝lg(x2－2x＋3)有最小值，f(x)＝alg(x2－2x＋3)有最大值，∴0<a<1.∴由loga(x2－5x＋7)>0，得0<x2－5x＋7<1，解得2<x<3.∴不等式loga(x2－5x＋7)>0的解集为(2,3)．答案：(2,3)7．(2022·连云港模拟)定义在R上的奇函数f(x)，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则不等式f(x)<－1的解集是________．解析：由已知条件可知，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－log2(－x)．当x∈(0，＋∞)时，f(x)<－1，即为log2x<－1，解得0<x<；当x∈(－∞，0)时，f(x)<－1，即为－log2(－x)<－1，解得x<－2.所以f(x)<－1的解集为(－∞，－2)∪.答案：(－∞，－2)∪二、解答题8．(2022·上海徐汇二模)已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.(1)当x∈[1,4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；(2)如果对任意的x∈[1,4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．5\n解：(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，因为x∈[1,4]，所以log2x∈[0,2]，故函数h(x)的值域为[0,2]．(2)由f(x2)·f()>k·g(x)得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，令t＝log2x，因为x∈[1,4]，所以t＝log2x∈[0,2]，所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0,2]恒成立，①当t＝0时，k∈R；②当t∈(0,2]时，k<恒成立，即k<4t＋－15，因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，所以4t＋－15的最小值为－3，综上，k∈(－∞，－3)．9．(2022·广东梅州月考)已知函数f(x)＝loga(x＋1)(a>1)，若函数y＝g(x)图象上任意一点P关于原点对称的点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象．(1)写出函数g(x)的解析式；(2)当x∈[0,1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围．解：(1)设P(x，y)为g(x)图象上任意一点，则Q(－x，－y)是点P关于原点的对称点，∵Q(－x，－y)在f(x)的图象上，∴－y＝loga(－x＋1)，即y＝g(x)＝－loga(1－x)．(2)f(x)＋g(x)≥m，即loga≥m.设F(x)＝loga，x∈[0,1)，由题意知，只要F(x)min≥m即可．∵F(x)在[0,1)上是增函数，∴F(x)min＝F(0)＝0.故m≤0即为所求．5