【高考领航】2022高考数学总复习 5-5 数列求和练习 苏教版

【高考领航】2022高考数学总复习5-5数列求和练习苏教版【A组】一、填空题1．(2022·高考江西卷)观察下列事实|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12……则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为________．解析：通过类比可证20×4＝80.答案：802．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列{}(n∈N*)的前n项和是________．解析：∵f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x，即f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，∴数列{}，(n∈N*)的前n项和为：Sn＝＋＋＋…＋＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.答案：3．(2022·高考福建卷)数列{an}的通项公式an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2012等于________．解析：因cos呈周期性出现，则观察此数列求和规律，列项如下：a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4，此4项的和为2.a5＝0，a6＝－6，a7＝0，a8＝8，此4项的和为2.依次类推，得S2012＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a2009＋a2010＋a2011＋a2012)＝×2＝1006.答案：10067\n4．正方形ABCD的边长是a，依次连结正方形ABCD各边中点得到一个新的正方形，再依次连结正方形各边中点又得到一个新的正方形，依此得到一系列的正方形．如图所示，现有一只小虫从A点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．则这10条线段的长度的平方和是________．解析：小虫爬行的线段长度依次为：，a，a，…，它们的平方依次构成公比为的等比数列．S10＝＝·＝a2.答案：a25．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．解析：∵y′＝2x，∴k＝y′|x＝ak＝2ak，∴切线方程：y－a＝2ak(x－ak)，令y＝0，得x＝ak，即：ak＋1＝ak，∴{ak}是以首项为16，公比为的等比数列，∴ak＝16·n－1，∴a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.答案：216．(2022·高考安徽卷)若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝________.解析：记bn＝3n－2，则数列{bn}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝(－b1)＋b2＋…＋(－b9)＋b10＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋…＋(b10－b9)＝5×3＝15.答案：157．已知函数f(x)＝.求和S＝f＋f＋f＋…＋f7\n，则S＝________.解析：由于f(x)＝，所以f(y)＝，当x＋y＝1时，有f(x)＋f(y)＝＋＝＝＝1，于是f(x)＋f(y)＝1.因此若令S＝f＋f＋f＋…＋f，则S＝f＋f＋f＋…＋f，于是2S＝2010＝2010，故S＝1005.答案：1005二、解答题8．(2022·高考湖北卷)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列是等比数列．解：(1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)，故{bn}的第3项为5，公比为2.由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝.所以{bn}是以为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝·2n－1＝5·2n－3.(2)证明：数列{bn}的前n项和Sn＝＝5·2n－2－，即Sn＋＝5·2n－2，7\n所以S1＋＝，＝＝2.因此是以为首项，公比为2的等比数列．9．(2022·高考江西卷)已知数列|an|的前n项和Sn＝kcn－k(其中c，k为常数)，且a2＝4，a6＝8a3.(1)求an；(2)求数列{nan}的前n项和Tn.解：(1)由Sn＝kcn－k，得an＝Sn－Sn－1＝kcn－kcn－1(n≥2)，由a2＝4，a6＝8a3，得kc(c－1)＝4，kc5(c－1)＝8kc2(c－1)．解得，所以a1＝S1＝2，an＝kcn－kcn－1＝2n(n≥2)，于是an＝2n.(2)Tn＝ai＝·2i，即Tn＝2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋n·2nTn＝2Tn－Tn＝－2－22－23－24－…－2n＋n·2n＋1＝－2n＋1＋2＋n·2n＋1＝(n－1)2n＋1＋2.【B组】一、填空题1．已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝________.解析：由等比数列性质可知：a2·a3＝a1·a4，又∵a2·a3＝2a1，∴a1·a4＝2a1，而a1≠0，∴a4＝2.由已知a4＋2a7＝2×，∴a7＝，∴q3＝＝，∴q＝，∴a1＝＝＝16，∴S5＝＝＝31.答案：312．设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝________.解析：由题意设等差数列公差为d，则a1＝2，a3＝2＋2d，a6＝2＋5d.又∵a1，a3，a67\n成等比数列，∴a＝a1a6，即(2＋2d)2＝2(2＋5d)，整理得2d2－d＝0.∵d≠0，∴d＝，∴Sn＝na1＋d＝＋n.答案：＋n3．数列{an}的通项公式an＝，若前n项的和为10，则项数为________．解析：∵an＝＝－，∴Sn＝－1＝10，∴n＝120.答案：1204．已知数列{an}：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，那么数列{bn}＝的前n项和Sn＝________.解析：由已知条件可得数列{an}的通项公式为an＝＝，∴bn＝＝＝4.Sn＝4＝4＝.答案：5．(2022·苏州模拟)定义运算：＝ad－bc，若数列{an}满足＝1且＝12(n∈N*)，则a3＝________，数列{an}的通项公式为an＝________.解析：由题意得a1－1＝1,3an＋1－3an＝12即a1＝2，an＋1－an＝4.∴{an}是以2为首项，4为公差的等差数列，∴an＝2＋4(n－1)＝4n－2，a3＝4×3－2＝10.答案：10　4n－26．已知数列{an}：1，，，…，，…，则其前n项和Sn＝________.7\n解析：∵an＝＝＝＝2，∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝2＝2＝.答案：7．数列{an}的通项公式an＝，如果bn＝，那么{bn}的前n项和为________．解析：bn＝＝＝－，所以b1＋b2＋…＋bn＝－＋－＋…＋－＝－1.答案：－1二、解答题8．(2022·江苏南京四星高中四校月考)记公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2＋，S3＝12＋3.(1)求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn.(2)已知等比数列{bnk}，bn＋＝an，n1＝1，n2＝3，求nk.(3)问数列{an}中是否存在互不相同的三项构成等比数列，说明理由．解：(1)因为a1＝2＋，S3＝3a1＋3d＝12＋3，所以d＝2.所以an＝a1＋(n－1)d＝2n＋，Sn＝＝n2＋(＋1)n.(2)因为bn＝an－＝2n，所以bnk＝2nk.又因为数列{bnk}的首项bn1＝b1＝2，公比q＝＝3，所以bnk＝2·3k－1.所以2nk＝2·3k－1，则nk＝3k－1.(3)假设存在三项ar，as，at成等比数列，则a＝ar·at，7\n即有(2s＋)2＝(2r＋)(2t＋)，整理得(rt－s2)＝2s－r－t.若rt－s2≠0，则＝，因为r，s，t∈N*，所以是有理数，这与为无理数矛盾；若rt－s2＝0，则2s－r－t＝0，从而可得r＝s＝t，这与r<s<t矛盾．综上可知，不存在满足题意的三项ar，as，at.9．(2022·高考安徽卷)设函数f(x)＝＋sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{xn}．(1)求数列{xn}的通项公式；(2)设{xn}的前n项和为Sn，求sinSn.解：(1)令f′(x)＝＋cosx＝0，cosx＝－，解得x＝2kπ±π(k∈Z)．由xn是f(x)的第n个正极小值点知，xn＝2nπ－π(n∈N*)．(2)由(1)可知，Sn＝2π(1＋2＋…＋n)－nπ＝n(n＋1)π－，所以sinSn＝sin.因为n(n＋1)表示两个连续正整数的乘积，n(n＋1)一定为偶数，所以sinSn＝－sin.当n＝3m－2(m∈N*)时，sinSn＝－sin＝－；当n＝3m－1(m∈N*)时，sinSn＝－sin＝；当n＝3m(m∈N*)时，sinSn＝－sin2mπ＝0.综上所述，sinSn＝7