【高考领航】2022高考数学总复习 5-1 数列的概念与简单表示法练习 苏教版

【高考领航】2022高考数学总复习5-1数列的概念与简单表示法练习苏教版【A组】一、填空题1．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为________．解析：a8＝S8－S7＝64－49＝15；也可求得a1＝1，n≥2时，an＝2n－1，∴a8＝15.答案：152．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，则a20的值是________．解析：a2＝＝－，a3＝＝，a4＝0，由此发现周期T＝3，∴a20＝a2＝－.答案：－3．(2022·高考安徽卷)若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝________.解析：a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10＋…－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15.答案：154．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2n(n∈N*)，则a10等于________．解析：∵an＋1－an＝2n(n∈N*)，a1＝1，∴a10＝(a10－a9)＋(a9－a8)＋…＋(a2－a1)＋a1＝29＋28＋…＋21＋1＝210－1＝1023.6\n答案：10235．(2022·高考大纲全国卷)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝________.解析：由已知Sn＝2an＋1得Sn＝2(Sn＋1－Sn)，即2Sn＋1＝3Sn，＝，而S1＝a1＝1，所以Sn＝n－1.答案：n－16．(2022·高考上海卷)已知f(x)＝.各项均为正数的数列{an}满足a1＝1，an＋2＝f(an)．若a2010＝a2012，则a20＋a11的值是________．解析：∵an＋2＝，a1＝1，∴a3＝，a5＝＝，a7＝＝，a9＝＝，a11＝＝，又a2010＝a2012，即a2010＝⇒a＋a2010－1＝0，∴a2010＝(舍负)．又a2010＝＝，∴1＋a2008＝＝，即a2008＝，依次类推可得a2006＝a2004＝…＝a20＝，故a20＋a11＝＋＝.答案：7．数列{an}的构成法则如下：a1＝1，如果an－2为自然数且之前未出现过，则用递推公式an＋1＝an－2.否则用递推公式an＋1＝3an，则a6＝________.解析：弄清数列的递推关系，逐一写出数列的前6项．实际上，本题中的递推公式是一个分段递推，用数学语言可表示为an＋1＝∵a1－2＝－1∉N*，∴a2＝3a1＝3；∵a2－2＝1＝a1，∴a3＝3a2＝9；∵a3－2＝7，∴a4＝7；∵a4－2＝5，∴a5＝5；∵a5－2＝3＝a2，∴a6＝3a5＝15.6\n答案：15二、解答题8．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－30.(1)求数列的前三项，60是此数列的第几项？(2)n为何值时，an＝0，an＞0，an＜0?(3)该数列前n项和Sn是否存在最值？说明理由．解：(1)由an＝n2－n－30，得a1＝1－1－30＝－30，a2＝22－2－30＝－28，a3＝32－3－30＝－24.设an＝60，则60＝n2－n－30.解之得n＝10或n＝－9(舍去)．∴60是此数列的第10项．(2)令n2－n－30＝0，解得n＝6或n＝－5(舍去)．∴a6＝0.令n2－n－30＞0，解得n＞6或n＜－5(舍去)．∴当n＞6(n∈N*)时，an＞0.令n2－n－30＜0，解得0＜n＜6.∴当0＜n＜6(n∈N*)时，an＜0.(3)由an＝n2－n－30＝2－30，(n∈N*)知{an}是递增数列，且a1＜a2＜…＜a5＜a6＝0＜a7＜a8＜a9＜…，故Sn存在最小值S5＝S6，不存在Sn的最大值．9．已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝n2－n.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝(n≥2且n∈N*)，记Tn＝b2＋b3＋…＋bn，求证：Tn＜.解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝0；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－n－(n－1)2＋(n－1)＝2n－2.因为a1＝0满足an＝2n－2，所以an＝2n－2.(2)证明：因为bn＝(n≥2且n∈N*)，6\n所以bn＝＝.Tn＝b2＋b3＋…＋bn＝(1－＋－＋…＋－)＝(1－)＜，即Tn＜.【B组】一、填空题1．(2022·银川、吴忠部分中学联考)若数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋1，则向量m＝(a1，a4)的模为________．解析：依题意得，a1＝S1＝2，a4＝S4－S3＝(42＋1)－(32＋1)＝7，故m＝(2,7)，|m|＝＝.答案：2．(2022·江苏七校联考)数列{an}的通项an＝，则数列{an}中的最大值是________．解析：因为an＝，运用基本不等式得，≤，由于n∈N*，不难发现当n＝9或10时，an＝最大．答案：3．(2022·皖南八校三模)已知函数y＝anx2(an≠0，n∈N*)的图象在x＝1处的切线斜率为2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，且当n＝1时其图象过点(2,8)，则a7的值为________．解析：由题知y′＝2anx，∴2an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，∴an－an－1＝，又n＝1时其图象过点(2,8)，∴a1×22＝8，得a1＝2，∴{an}是首项为2，公差为的等差数列，an＝＋，得a7＝5.答案：54．(2022·泰州中学期末)已知数列{an}满足a1＝1，且an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则a2＝________；an＝________.解析：由an＝n(an＋1－an)，可得＝，6\n则an＝···…··a1＝×××…××1＝n，∴a2＝2，an＝n.答案：2；n5．(2022·苏州重点中学联考)已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝则a2012等于________．解析：当a1＝时，a2＝2×－1＝；当a2＝时，a3＝2×－1＝；当a3＝时，a4＝2×＝；当a4＝时，a5＝2×＝.所以数列{an}的周期为4，而＝503，所以a2012＝a4＝.答案：6．(2022·盐城调研)设函数f(x)＝数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是________．解析：∵数列{an}是递增数列，又an＝f(n)(n∈N*)，∴⇒2<a<3.答案：(2,3)7．(2022·常州质检)若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝，则＝________.解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，所以＝5×6＝30.答案：30二、解答题8．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解：(1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项．(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)．6\n∴从第7项起各项都是正数．9．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．解：(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，∴{Sn－3n}是等比数列，因此，所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*.①(2)由①知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2＝2n－2，当n≥2时，an＋1≥an⇔12·n－2＋a－3≥0⇔a≥－9.又a2＝a1＋3>a1.综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞)．6