【高考领航】2022高考数学总复习 8-6 双曲线练习 苏教版

【高考领航】2022高考数学总复习8-6双曲线练习苏教版【A组】一、填空题1．(2022·高考湖南卷)设双曲线－＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为________．解析：双曲线的渐近线方程为－＝0即3x±ay＝0，∴a＝2.答案：22．(2022·高考课标全国卷)设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为________．解析：设直线x＝a与x轴交于点Q，由题意得∠PF2Q＝60°，|F2P|＝|F1F2|＝2c，|F2Q|＝a－c，∴a－c＝×2c，e＝＝.答案：3．已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝________.解析：由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝2a.即|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2.①由余弦定理得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°＝4c2，②②－①得，|PF1|·|PF2|＝4(c2－a2)＝4b2＝4.答案：44．(2022·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为________．解析：∵m2＋4>0，∴a2＝m，b2＝m2＋4，c2＝m2＋m＋4，8\n∴＝＝5，∴m＝2.答案：55．(2022·高考江西卷)若双曲线－＝1的离心率e＝2，则m＝________.解析：∵a2＝16，b2＝m，c＝，∴e＝＝2，解得m＝48.答案：486．(2022·高考北京卷)已知双曲线x2－＝1(b＞0)的一条渐近线的方程为y＝2x，则b＝________.解析：∵双曲线的渐近线为x2－＝0，即y＝±bx(b＞0)，∴b＝2.答案：27．(2022·高考辽宁卷)已知点(2,3)在双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．解析：由已知，得解得∴e＝＝2.答案：2二、解答题8．已知双曲线C：－y2＝1，P为C上的任意点．(1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；(2)设点A的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值．解：(1)证明：设P(x1，y1)是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是x－2y＝0和x＋2y＝0.点P(x1，y1)到两条渐近线的距离分别是和，它们的乘积是·＝＝.8\n∴点P到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数．(2)设P的坐标为(x，y)，则|PA|2＝(x－3)2＋y2＝(x－3)2＋－1＝2＋.∵|x|≥2，∴当x＝时，|PA|2的最小值为，即|PA|的最小值为.9．已知定点A(－1,0)，F(2,0)，定直线l：x＝，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N.(1)求E的方程；(2)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由．解：(1)设P(x，y)(y≠0)，根据题意得＝2，化简得：x2－＝1(y≠0)．∴E的方程为x2－＝1(y≠0)．(2)设直线BC方程为x＝my＋2，B(x1，y1)，C(x2，y2)．由得(3m2－1)y2＋12my＋9＝0.由题意3m2－1≠0且Δ＞0，y1＋y2＝－，y1·y2＝.又直线AB斜率k＝＝，∴直线AB方程y＝(x＋1)，∴M点坐标为，8\n同理N.∴＝，＝，∴·＝＋＝＋＝－＝0，∴⊥，即以线段MN为直径的圆过点F.【B组】一、填空题1．(2022·高考湖北卷)如图，双曲线－＝1(a，b>0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则(1)双曲线的离心率e＝________；(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值＝________.解析：(1)由题意知在Rt△F1OB2中，OB⊥F1B2且OF1＝c，OB2＝b，OB＝a，∵|F1B2|·|OB|＝|OF1|·|OB2|，∴a＝bc，∴a2(b2＋c2)＝b2c2，∴＋＝·，∴e2－1＋e2＝(e2－1)e2，即e4－3e2＋1＝0，∴e2＝，∴e＝.∵e>1，∴e＝.(2)记∠B2OB＝θ，则AB＝2asinθ，BC＝2acosθ，其中sinθ＝，cosθ＝，∴8\nS2＝|AB|·|BC|＝，又∵S1＝2bc，∴＝＝2·2＝(e2－1)e2＝××＝.答案：(1)　(2)2．(2022·高考浙江卷)如图所示，F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a，b＞0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是________．解析：直线BF1的方程为y＝x＋b，由得P，由得Q.从而有线段PQ的中点为N.又由|F1F2|＝|F2M|，知M(3c,0)，则kMN＝，又kMN×kBF1＝－1，得a2＝2b2，即2c2＝3a2，故e＝.答案：3．(2022·高考福建卷)已知双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于________．解析：∵右焦点为(3,0)，∴c＝3，又∵c2＝a2＋b2＝a2＋5＝9，∴a2＝4，a＝2，∴e＝＝.答案：4．(2022·高考辽宁卷)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一8\n点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则解得mn＝2，∴(m＋n)2＝m2＋n2＋2mn＝8＋4＝12，∴m＋n＝2，即|PF1|＋|PF2|＝2.答案：25．(2022·高考重庆卷)设P为直线y＝x与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e＝________.解析：∵PF1⊥x轴，∴xP＝－c，代入－＝1，得yp＝±，∵P在y＝x上，∴yp＝－，∴3b＝c，∴9b2＝c2，∴9(c2－a2)＝c2，∴＝，∴＝，∴e＝.答案：6．(2022·太原五中月考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为________．解析：由已知得解之得∴双曲线方程为－＝1.答案：－＝17．(2022·徐州二模)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为________．解析：如图所示，不妨设F为右焦点，过F作FP垂直8\n于一条渐近线，垂足为P，过P作PM⊥OF于M.由已知得M为OF的中点，由射影定理知|PF|2＝|FM||FO|，又F(c,0)，渐近线方程为bx－ay＝0，∴|PF|＝＝b，∴b2＝·c，即2b2＝c2＝a2＋b2，∴a2＝b2，∴e＝＝＝.答案：二、解答题8．(2022·江苏泰州三模)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，且顶点到渐近线的距离为.(1)求此双曲线的方程；(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、第二象限，若＝，求△AOB的面积．解：(1)依题意得解得故双曲线的方程为－x2＝1.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，设A(m,2m)，B(－n,2n)，其中m>0，n>0，由＝得点P的坐标为，将点P的坐标代入－x2＝1，整理得mn＝1，设∠AOB＝2θ，则tanθ＝，从而sin2θ＝，又|OA|＝m，|OB|＝n，∴S△AOB＝|OA||OB|sin2θ＝2mn＝2.9．(2022·高考上海卷)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x2－y2＝1.(1)设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若|MF|＝2，求点M的坐标；(2)过C的左顶点作C8\n的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；(3)设斜率为k(|k|＜)的直线l交C于P、Q两点．若l与圆x2＋y2＝1相切，求证：OP⊥OQ.解：(1)(1)双曲线C：－y2＝1，左焦点F.设M(x，y)，则|MF|2＝2＋y2＝2，由M点是右支上一点，知x≥，所以|MF|＝x＋＝2，得x＝.所以M.(2)左顶点A，渐近线方程：y＝±x.过点A与渐近线y＝x平行的直线方程为：y＝，即y＝x＋1.解方程组得所求平行四边形的面积为S＝|OA||y|＝.(3)证明：设直线PQ的方程是y＝kx＋b.因直线PQ与已知圆相切，故＝1，即b2＝k2＋1(*)．由，得(2－k2)x2－2kbx－b2－1＝0.设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则又y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)，所以·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝＋＋b2＝.由(*)知，·＝0，所以OP⊥OQ.8