【高考领航】2022高考数学总复习 8-3 圆的方程练习 苏教版

【高考领航】2022高考数学总复习8-3圆的方程练习苏教版【A组】一、填空题1．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是________．解析：lAB：x－y＋2＝0，圆心(1,0)到l的距离d＝＝，∴AB边上的高的最小值是－1.∴S△min＝×(2)×(－1)＝3－.答案：3－2．(2022·乌鲁木齐二诊)已知直线3x＋4y－24＝0与坐标轴的两个交点及坐标原点都在一个圆上，则该圆的半径是________．解析：依题意得，直线3x＋4y－24＝0与坐标轴的两个交点为A(8,0)，B(0,6)，由题知线段AB为圆的直径，且|AB|＝10，因此圆的半径是5.答案：53．若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为________．解析：由圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y＝x－1上，故可得a＝2，即点C(－2,2)，所以过点C(－2,2)且与y轴相切的圆P的圆心的轨迹方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝x2，整理即得y2＋4x－4y＋8＝0.答案：y2＋4x－4y＋8＝04．(2022·扬州二模)已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋y＝0相切，则圆O的方程是________．解析：设圆心为(a,0)(a<0)，则＝，∴a＝－，∴圆O的方程为(x＋)2＋y2＝5.答案：(x＋)2＋y2＝55．(2022·高考辽宁卷)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为6\n________．解析：依题意设所求圆的方程为：(x－a)2＋y2＝r2，把所给两点坐标代入方程得，解得所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.答案：(x－2)2＋y2＝106．已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋y＝0相切，则圆O的方程是________．解析：由题意可设圆O的方程为(x－a)2＋y2＝2(a＜0)，由题意得＝，即|a|＝2，所以a＝－2，故所求圆O的方程为(x＋2)2＋y2＝2.答案：(x＋2)2＋y2＝27．(2022·高考重庆卷)设圆C位于抛物线y2＝2x与直线x＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为________．解析：如图所示，若圆C的半径取到最大值，需圆与抛物线及直线x＝3同时相切，设圆心的坐标为(a,0)(a＜3)，则圆的方程为(x－a)2＋y2＝(3－a)2，与抛物线方程y2＝2x联立得x2＋(2－2a)x＋6a－9＝0，由判别式Δ＝(2－2a)2－4(6a－9)＝0，得a＝4－，故此时半径为3－(4－)＝－1.答案：－1二、解答题8．如图，圆C通过不同的三点P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1)，已知圆C在点P处的切线斜率为1，试求圆C的方程．6\n解：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则k、2为x2＋Dx＋F＝0的两根，∴k＋2＝－D,2k＝F，即D＝－(k＋2)，F＝2k，又圆过R(0,1)，故1＋E＋F＝0.∴E＝－2k－1.故所求圆的方程为x2＋y2－(k＋2)x－(2k＋1)y＋2k＝0，圆心坐标为(，)．∵圆C在点P处的切线斜率为1，∴kCP＝－1＝，∴k＝－3.∴所求圆C的方程为x2＋y2＋x＋5y－6＝0.9．(2022·高考课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．解：(1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)．故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.则圆C的半径为＝3.所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组消去y，得方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2＞0.因此x＝，从而x1＋x2＝4－a，x1x2＝.①由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0.又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.②6\n由①②得a＝－1，满足Δ＞1，故a＝－1.【B组】一、填空题1．(2022·镇江二模)动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是________．解析：设中点M(x，y)，则动点A(2x－3,2y)，∵A在圆x2＋y2＝1上，∵(2x－3)2＋(2y)2＝1，即(2x－3)2＋4y2＝1.答案：(2x－3)2＋4y2＝12．(2022·海南海口)过点C(－1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆的方程是________解析：∵圆心在x轴上，∴可设圆心坐标为(a,0)，故圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2.又∵圆过C、D两点，将其坐标代入圆的方程，得解得a＝2，r＝，所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.答案：(x－2)2＋y2＝103．(2022·南京第一次质检)平移直线x－y＋1＝0使其与圆(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，则平移的最短距离为________．解析：圆心(2,1)到直线的距离d＝＝.所以，平移的最短距离为－1.答案：－14．(2022·宿迁模拟)已知两点A(0，－3)、B(4,0)，若点P是圆x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP面积的最小值为________．解析：如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，这时△ABP的面积最小．直线AB的方程为＋＝1，即3x－4y－12＝0，圆心C到直线AB的距离为d＝＝，∴△ABP的面积的最小值为×5×＝.答案：5．圆x2－2x＋y2－3＝0的圆心到直线x＋y－3＝0的距离为________．解析：∵圆心(1,0)，6\n∴d＝＝1.答案：16．(2022·苏州模拟)设圆C同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y＝x上；③截y轴所得的弦长为4，则圆C的方程是________．解析：由题意可设圆心A(a，a)，如图，则22＋22＝2a2，解得a＝±2，r2＝2a2＝8.所以圆C的方程是(x＋2)2＋(y＋2)2＝8或(x－2)2＋(y－2)2＝8.答案：(x＋2)2＋(y＋2)2＝8或(x－2)2＋(y－2)2＝87．圆心在曲线y＝(x>0)上，且与直线3x＋4y＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为________．解析：设圆心坐标为(a>0)，则圆心到直线3x＋4y＋3＝0的距离d(a)＝＝≥(4＋1)＝3，当且仅当a＝2时等号成立．此时圆心坐标为，圆的半径为3.答案：(x－2)2＋2＝9二、解答题8．(2022·东北三校模拟)已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3,5)．(1)求过点A的圆的切线方程；(2)O点是坐标原点，连结OA，OC，求△AOC的面积S.解：(1)⊙C：(x－2)2＋(y－3)2＝1.当切线的斜率不存在时，有直线x＝3，C(2,3)到直线的距离为1，满足条件．当k存在时，设直线y－5＝k(x－3)，即y＝kx＋5－3k，＝1，解得k＝.∴过点A的圆的切线方程为：x＝3或y＝x＋.(2)|AO|＝＝，lOA：5x－3y＝0，点C到直线OA的距离d＝，S＝d|AO|＝.9．(2022·盐城二检)已知圆M过两点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心M在直线x＋y6\n－2＝0上(1)求圆M的方程；(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A、B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．解：(1)设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，根据题意得：解得a＝b＝1，r＝2，故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.(2)由题意知，四边形PAMB的面积为S＝S△PAM＋S△PBM＝AM·PA＋BM·PB.又AM＝BM＝2，PA＝PB，所以S＝2PA，而PA＝＝，即S＝2.因此要求S的最小值，只需求PM的最小值即可，即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得PM的值最小，所以PMmin＝＝3，所以四边形PAMB面积的最小值为Smin＝2＝2＝2.6