【高考领航】2022高考数学总复习 8-8 曲线与方程练习 苏教版
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【高考领航】2022高考数学总复习8-8曲线与方程练习苏教版【A组】一、填空题1.|y|-1=表示的曲线是________.解析:由已知得|y|-1≥0,∴y≥1或y≤-1,将原方程两边平方,得(x-1)2+(|y|-1)2=1,即(x-1)2+(y-1)2=1(y≥1)或(x-1)2+(y+1)2=1(y≤-1).∴原方程表示的曲线为两个半圆(如图所示).答案:两个半圆2.平面直角坐标系中,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足=λ1+λ2(O为原点),其中λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1,则点C的轨迹方程是________.解析:设C(x,y),由已知得(x,y)=λ1(3,1)+λ2(-1,3),∴又λ1+λ2=1.消去λ1,λ2得,x+2y=5.答案:x+2y=53.一圆形纸片的圆心为O,点Q是圆内异于O的一个定点,点A是圆周上一动点,把纸片折叠使点A与点Q重合,然后抹平纸片,折痕CD与OA交于点P,当点A运动时,点P的轨迹为________.解析:∵折痕所在的直线是AQ的垂直平分线,∴|PA|=|PQ|,又∵|PA|+|OP|=r,∴|PQ|+|OP|=r>|OQ|,由椭圆的定义知,点P的轨迹是椭圆.答案:椭圆4.曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论:①曲线C过坐标原点;②曲线C关于坐标原点对称;③若点P在曲线C上,则△F1PF2的面积不大于a2.其中,所有正确结论的序号是6\n________.解析:因为原点O到两个定点F1(-1,0),F2(1,0)的距离的积是1,而a>1,所以曲线C不过原点,即①错误;因为F1(-1,0),F2(1,0)关于原点对称,所以|PF1||PF2|=a2对应的轨迹关于原点对称,即②正确;因为S△F1PF2=|PF1||PF2|sin∠F1PF2≤|PF1||PF2|=a2,即△F1PF2的面积不大于a2,所以③正确.答案:②③5.已知点M(-3,0),N(3,0),B(1,0),圆C与直线MN切于点B,过M、N与圆C相切的两直线相交于点P,则P点的轨迹方程为________.解析:由条件可知,|PM|-|PN|=|MB|-|NB|=2,所以点P的轨迹是以M、N为焦点的双曲线的右支,由2a=2,c=3得:b2=8,即所求方程为x2-=1.答案:x2-=1(x>0)6.平面上有三个点A(-2,y),B,C(x,y),若⊥,则动点C的轨迹方程是________.解析:=-(-2,y)=,=(x,y)-=,∵⊥,∴·=0,∴·=0,即y2=8x.∴动点C的轨迹方程为y2=8x.答案:y2=8x7.由抛物线y2=2x上任意一点P向其准线l引垂线,垂足为Q,连接顶点O与P的直线和连接焦点F与Q的直线交于点R,则点R的轨迹方程是________.解析:设P(x1,y1),R(x,y),则Q(-,y1),F(,0),6\n∴直线OP的方程为y=x,①直线FQ的方程为y=-y1(x-),②由①②得x1=,y1=,将其代入y2=2x,可得y2=-2x2+x.即点R的轨迹方程为y2=-2x2+x.答案:y2=-2x2+x二、解答题8.已知直角坐标平面上一点Q(2,0)和圆C:x2+y2=1,动点M到圆C的切线长等于圆C的半径与|MQ|的和,求动点M的轨迹方程.解:设MN切圆C于N,又圆的半径为|CN|=1,因为|CM|2=|MN|2+|CN|2=|MN|2+1,所以|MN|=.由已知|MN|=|MQ|+1,设M(x,y),则=+1,两边平方得2x-3=,即3x2-y2-8x+5=0.9.已知抛物线y2=2x,O为顶点,A、B为抛物线上两动点,且满足OA⊥OB,如果OM⊥AB,垂足为M,求点M的轨迹.解:法一:设直线OA的方程为y=kx,则直线OB的方程为y=-x.由得k2x2=2x,则x=0或x=,∴A点坐标为,将A点坐标中的k换为-,可得B点坐标(2k2,-2k),则直线AB的方程为y+2k=(x-2k2),则y=(x-2).①又直线OM的方程为y=x,②①×②整理得(x-1)2+y2=1(x≠0)6\n∴所求点M的轨迹是以(1,0)为圆心,半径是1的圆(去掉原点).法二:由法一知,直线AB过N(2,0)点,因此△OMN为直角三角形,∴点M在以ON为直径的圆上运动,点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x≠0).【B组】一、填空题1.(2022·杭州模拟)△ABC的顶点A(-5,0)、B(5,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是________.答案:-=1(x>3)2.点P到点(1,1)和到直线x+2y=3的距离相等,则点P的轨迹方程为________.答案:2x-y-1=03.(2022·江苏南京十二中期中检测)已知一条曲线在y轴的右方,它上面的每一点到点A(4,0)的距离减去该点到y轴的距离之差都是4,则这条曲线的方程是________.解析:由题意,曲线上每一点P到点A(4,0)与到直线l:x=-4距离相等,所以曲线是抛物线,方程为y2=16x.答案:y2=16x4.(2022·聊城月考)过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1与l2分别与x、y轴交于A、B两点,则AB中点M的轨迹方程为________.答案:x+y-1=05.(2022·惠州调研)有一动圆P恒过定点F(a,0)(a>0)且与y轴相交于点A、B,若△ABP为正三角形,则点P的轨迹为________.答案:双曲线6.已知真命题:若A为⊙O内一定点,B为⊙O上一动点,线段AB的垂直平分线交直线OB于点P,则点P的轨迹是以O,A为焦点,OB长为长轴长的椭圆.类比此命题,写出另一个真命题;若A为⊙O外一定点,B为⊙O上一动点,线段AB的垂直平分线交直线OB于点P,则点P的轨迹是________.解析:如图,连结AP,由于P是线段AB垂直平分线上一点,故有|PA|=|PB|,因此||PA|-|PO||=||PB|-|PO||=|OB|=R=定值,其中R为⊙O的半径.又由于点A在圆外,故||PA|-|PO||=|OB|=R<|OA|,故动点P的轨迹是以O,A为焦点,OB为实轴长的双曲线.答案:以O,A为焦点,OB为实轴长的双曲线6\n二、解答题7.有一种大型商品,A、B两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后,回运的费用是:每单位距离A地的运费是B地运费的3倍,已知A、B两地间的距离为10千米,顾客选A或选B购买这件商品的标准是:包括运费和价格的总费用较低,求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.解:如图所示,以AB所确定的直线为x轴,AB中点O为坐标原点建立平面直角坐标系,则A(-5,0),B(5,0).设某地P的坐标为(x,y),且P地居民选择A地购买商品便宜,并设A地的运费为3a元/千米,B地的运费为a元/千米.∴价格+xA地运费≤价格+xB地运费,即3a≤a.∵a>0,∴3≤.两边平方,得9(x+5)2+9y2≤(x-5)2+y2,即2+y2≤2.∴以点C为圆心,为半径的圆是这两地购货的分界线;圆C内居民从A地购货便宜;圆C外的居民从B地购货便宜;圆C上的居民从A、B两地购货的总费用相等,可随意从A、B两地之一购货.8.已知定点F(0,1)和直线l1:y=-1,过定点F与直线l1相切的动圆的圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程;(2)过点F的直线l2交轨迹于两点P、Q,交直线l1于点R,求·最小值.解:(1)由题设知点C到点F的距离等于它到l1的距离,∴点C的轨迹是以F为焦点,l1为准线的抛物线,∴动点C的轨迹方程为x2=4y.(2)由题意知,直线l2的方程可设为y=kx+1(k≠0),与抛物线方程联立消去y,得x2-4kx-4=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4.又易得点R的坐标为,∴·=,=+(kx1+2)(kx2+2)6\n=(1+k2)x1x2+(x1+x2)++4=-4(1+k2)+4k++4=4+8.∵k2+≥2,当且仅当k2=1时取等号,∴·≥4×2+8=16,即·的最小值为16.6
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