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【高考领航】2022高考数学总复习 8-9 圆锥曲线的综合问题练习 苏教版
【高考领航】2022高考数学总复习 8-9 圆锥曲线的综合问题练习 苏教版
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【高考领航】2022高考数学总复习8-9圆锥曲线的综合问题练习苏教版【A组】一、填空题1.(2022·扬州调研)已知双曲线x2-=1的一条渐近线与直线x-2y+3=0垂直,则a=________.解析:由双曲线标准方程特征知a>0,其渐近线方程为x±y=0,可得渐近线x+y=0与直线x-2y+3=0垂直,所以a=4.答案:42.(2022·镇江市质检)以双曲线x2-4y2=4的中心顶点,右焦点为焦点的抛物线方程是________.解析:设抛物线的方程为y2=2px,则由焦点相同的条件可知=⇒p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.答案:y2=4x3.双曲线-=1的渐近线与圆(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,则r________.解析:双曲线的渐近线方程为y=±x,即x±y=0,圆心(3,0)到直线的距离d==.答案:4.已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点,则椭圆的方程为________.解析:设椭圆方程为+=1(b>0),则将x=-y-4代入椭圆方程得4(b2+1)y2+8b2y-b4+12b2=0,∵椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点,∴Δ=(8b2)2-4×4(b2+1)(-b4+12b2)=0,即(b2+4)(b2-3)=0,∴b2=3,a2=7.8\n∴椭圆方程为+=1.答案:+=1.5.已知对∀k∈R,直线y-kx-1=0与椭圆+=1恒有公共点,则实数m的取值范围是________.解析:+=1表示椭圆,所以m>0且m≠5.直线y=kx-1=0恒过定点P(0,1),则P在椭圆上或在椭圆内部,≤1,∴m≥1且m≠5.答案:m≥1且m≠56.(2022·苏州调研)已知椭圆+=1(a>b>0),A为左顶点,B为短轴一顶点,F为右焦点,且⊥,则此椭圆的离心率为________.解析:∵AB=,BF=a,AF=a+c.又∵⊥,∴AB2+BF2=AF2,即2a2+b2=a2+c2+2ac,∴c2+ac-a2=0,∴=.所求的离心率为.答案:7.在直角坐标系xOy中,过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F作圆x2+y2=a2的一条切线(切点为T)交双曲线右支于点P,若M为FP的中点,则OM-MT等于________.解析:设双曲线的右焦点为F1,连结PF1,在△PFF1中M,O分别是PF,FF1的中点,所以OM-MT=PF1-(PF-TF)=-(PF-PF1)+TF=b-a.答案:b-a二、解答题8.(2022·南京市、盐城市高三模拟考试)在平面直角坐标系xOy中,过点A(-2,-1)椭圆8\nC:+=1(a>b>0)的左焦点为F,短轴端点为B1、B2,·=2b2.(1)求a、b的值;(2)过点A的直线l与椭圆C的另一交点为Q,与y轴的交点为R.过原点O且平行于l的直线与椭圆的一个交点为P.若AQ·AR=3OP2,求直线l的方程.解:(1)因为F(-c,0),B1(0,-b),B2(0,b),所以=(c,-b),=(c,b).因为·=2b2,所以c2-b2=2b2.①因为椭圆C过A(-2,-1),代入得,+=1.②由①②解得a2=8,b2=2.所以a=2,b=.(2)由题意,设直线l的方程为y+1=k(x+2).由得(x+2)[(4k2+1)(x+2)-(8k+4)]=0.因为x+2≠0,所以x+2=,即xQ+2=.由题意,直线OP的方程为y=kx.由得(1+4k2)x2=8.则x=.因为AQ·AR=3OP2.所以|xQ-(-2)|×|0-(-2)|=3x.即||×2=3×.解得k=1,或k=-2.当k=1时,直线l的方程为x-y+1=0,当k=-2时,直线l的方程为2x+y+5=0.9.(2022·高考湖南卷)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2,设l1与轨迹相交于点A,B,l2与轨迹C相交于点D,E,求·的最小值.解:(1)设动点P的坐标为(x,y),由题意为-|x|=1化简得y2=2x+2|x|,当x≥0时,y2=4x,当x<0时.y=0.所以动点P的轨迹C的方程为,y2=4x(x8\n≥0)和y=0(x<0).(2)由题意知,直线l1的斜率存在且不为0,设为k,则l1的方程为y=k(x-1).由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2上述方程的两个实根,于是x1+x2=2+,x1x2=1.因为l1⊥l2,所以l2的斜率为-.设D(x3,y3),B(x4,y4),则同理可得:x3+x4=2+4k2,x3x4=1·=(+)(+)=·+·+·+·=|·|+|·|故=(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1)=1+(2+)+1+1+(2+4k2)+1=8+4(k2+)≥8+4×2=16当且仅当k2=即k=±1时,·取最小值16.【B组】一、填空题1.已知曲线-=1与直线x+y-1=0相交于P、Q两点,且·=0(O为原点),则-的值为________.解析:将y=1-x代入-=1,得(b-a)x2+2ax-(a+ab)=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.O·=x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1)(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1.所以-+1=0,即2a+2ab-2a+a-b=0,即b-a=2ab,所以-=2.答案:28\n2.双曲线-y2=1(n>1)的两焦点为F1,F2,P在双曲线上且满足PF1+PF2=2,则△PF1F2的面积为________.解析:|PF1-PF2|=2,则PF1·PF2=2,PF+PF=4(n+1)=F1F.∴△PF1F2为直角三角形.S△PF1F2=×2=1.答案:13.若拋物线y2=2px(p>0)上一点到准线和拋物线的对称轴距离分别为10和6,则该点的横坐标是________.解析:设所求点的坐标为(x0,6),则62=2p,解得p=2或p=18.当p=2时,可求得x0=9,当p=18时,可求得x0=1.答案:1或94.椭圆+=1中过点P(1,1)的弦恰好被P点平分,则此弦所在直线的方程是________.解析:设弦的两个端点坐标为(x1,y1),(x2,y2),代入椭圆方程并作差得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0.又x1+x2=2,y1+y2=2,代入得=-.故所求直线方程为y-1=-(x-1),即x+2y-3=0.答案:x+2y-3=05.设点P在椭圆+=1(a>b>0)上,直线l的方程为x=-,且点F的坐标为(-c,0),作PQ⊥l于点Q.若P,F,Q三点构成一个等腰直角三角形,则椭圆的离心率为________.解析:如图,由题意,=e,又△PFQ为等腰直角三角形,且∠PFQ=90°,∴e=.答案:8\n6.(2022·盐城质检)已知椭圆x2+2y2-2=0的两个焦点为F1,F2,B为短轴的一个端点,则△BF1F2的外接圆方程是________.解析:F1(-1,0),F2(1,0),设B(0,1),则△BF1F2为等腰直角三角形,故它的外接圆方程为x2+y2=1.答案:x2+y2=17.已知拋物线y2=2px(p>0)与椭圆+=1(a>0,b>0)有相同的焦点F,A是两曲线的一个交点,且AF⊥x轴,则椭圆的离心率为________.解析:由题意知,=c,=p,∴=2c,a2-c2=2ac,∴1-e2=2e,解得e=-1.答案:-1二、解答题8.(2022·高考福建卷)如图,等边三角形OAB的边长为8,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p>0)上.(1)求抛物线E的方程;(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.解:(1)依题意,|OB|=8,∠BOy=30°.设B(x,y),则x=|OB|sin30°=4,y=|OB|cos30°=12.因为点B(4,12)在x2=2py上,所以(4)2=2p×12,解得p=2.故抛物线E的方程为x2=4y.(2)证明:由(1)知y=x2,y′=x.设P(x0,y0),则x0≠0,y0=x,且l的方程为y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-x.由得所以Q为.设M(0,y1),令·=0对满足y0=x(x0≠0)的x0,y0恒成立.由于=(x0,y0-y1),=,8\n由·=0,得-y0-y0y1+y1+y=0,即(y+y1-2)+(1-y1)y0=0.(*)由于(*)式对满足y0=x(x0≠0)的y0恒成立,所以解得y1=1.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1).9.(2022·高考浙江卷)如图,在直角坐标系xOy中,点P(1,)到抛物线C:y2=2px(p>0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB被直线OM平分.(1)求p,t的值;(2)求△ABP面积的最大值.解:(1)由题意知得(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为Q(m,m).由题意知,设直线AB的斜率为k(k≠0).由得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2,故k·2m=1,所以直线AB的方程为y-m=(x-m),即x-2my+2m2-m=0.由消去x,整理得y2-2my+2m2-m=0,所以Δ=4m-4m2>0,y1+y2=2m,y1·y2=2m2-m.从而|AB|=·|y1-y2|=·.设点P到直线AB的距离为d,则8\nd=.设△ABP的面积为S,则S=|AB|·d=|1-2(m-m2)|·.由Δ=4m-4m2>0,得0<m<1.令u=,0<u≤,则S=u(1-2u2).设S(u)=u(1-2u2),0<u≤,则S′(u)=1-6u2.由S′(u)=0,得u=∈,所以S(u)max=S=.故△ABP面积的最大值为.8
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:04:17
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