【高考领航】2022高考数学总复习 8-5 椭圆练习 苏教版

【高考领航】2022高考数学总复习8-5椭圆练习苏教版【A组】一、填空题1．(2022·高考大纲全国卷)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x＝－4，则该椭圆的方程为________．解析：∵2c＝4，∴c＝2.又∵＝4，∴a2＝8，b2＝a2－c2＝4.∴椭圆方程为＋＝1答案：＋＝12．已知如图，椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点P，F1、F2为椭圆的焦点，若∠F1PF2＝θ，则△PF1F2的面积等于________．解析：在△PF1F2中，由余弦定理得：2|PF1|·|PF2|·cosθ＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－|F1F2|2＝(2a)2－2|PF1|·|PF2|－(2c)2(其中c2＝a2－b2)．∴|PF1|·|PF2|·(1＋cosθ)＝2b2，∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sinθ＝··sinθ＝b2tan.答案：b2tan3．(2022·高考浙江卷)已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦9\n点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则b2＝________.解析：对于直线与椭圆、圆的关系，如图所示，设直线AB与椭圆C1的一个交点为C(靠近A的交点)，则|OC|＝，因tan∠COx＝2，∴sin∠COx＝，cos∠COx＝，则C的坐标为，代入椭圆方程得＋＝1，∵5＝a2－b2，∴b2＝.答案：4．(2022·高考江西卷)若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．解析：由题可设斜率存在的切线的方程为y－＝k(x－1)(k为切线的斜率)，即2kx－2y－2k＋1＝0，由＝1，解得k＝－，所以圆x2＋y2＝1的一条切线方程为3x＋4y－5＝0，求得切点A，易知另一切点B(1,0)，则直线AB的方程为y＝－2x＋2.令y＝0得右焦点为(1,0)，令x＝0得上顶点为(0,2)．∴a2＝b2＋c2＝5，故得所求椭圆方程为＋＝1.答案：＋＝15．(2022·高考浙江卷)设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若＝5，则点A的坐标是________．9\n解析：根据题意设A点坐标为(m，n)，B点坐标为(c，d)．F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为(－，0)、(，0)，可得＝(m＋，n)，＝(c－，d)．∵＝5，∴c＝，d＝.∵点A、B都在椭圆上，∴＋n2＝1，＋2＝1.解得m＝0，n＝±1，故点A坐标为(0，±1)．答案：(0，±1)6．(2022·高考山东卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为________．解析：由题意知a2＝4b2，故椭圆C的方程为＋＝1.(*)又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，假设它与椭圆的一个交点坐标为(m，m)，由对称性及题意知8×m2＝16，得m2＝4，∴(2,2)在椭圆上，代入(*)式得b2＝5，从而a2＝20.答案：＋＝17．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且＝2，则C的离心率为________．解析：设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则B(0，b)，F(c,0)，D(x0，y0)，则＝(c，－b)，＝(x0－c，y0)，由＝2得x0＝c，y0＝－，代入椭圆方程得＋＝1，∴e2＝，∴e2＝，∴e＝.9\n答案：二、解答题8．(2022·高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆＋＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C.连接AC，并延长交椭圆于点B.设直线PA的斜率为k.(1)当直线PA平分线段MN时，求k的值；(2)当k＝2时，求点P到直线AB的距离d；(3)对任意的k＞0，求证：PA⊥PB.解：(1)由题设知，a＝2，b＝，故M(－2,0)，N(0，－)，所以线段MN中点的坐标为.由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，所以k＝＝.(2)直线PA的方程为y＝2x，代入椭圆方程得＋＝1，解得x＝±，因此P，A.于是C，直线AC的斜率为＝1，故直线AB的方程为x－y－＝0.因此，d＝＝.(3)证明：法一：将直线PA的方程y＝kx代入＋＝1，解得x＝±.记μ＝，9\n则P(μ，μk)，A(－μ，－μk)．于是C(μ，0)．故直线AB的斜率为＝，其方程为y＝(x－μ)，代入椭圆方程并由μ＝得(2＋k2)x2－2μk2x－μ2(3k2＋2)＝0，解得x＝或x＝－μ.因此B.于是直线PB的斜率k1＝＝＝－.因此k1k＝－1，所以PA⊥PB.法二：设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＞0，x2＞0，x≠x2，A(－x1，－y1)，C(x1,0)．设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2.因为C在直线AB上，所以k2＝＝＝.从而k1k＋1＝2k1k2＋1＝2··＋1＝＋1＝＝＝0.因此k1k＝－1，所以PA⊥PB.9．(2022·高考广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－1,0)，且点P(0,1)在C1上．(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程．解：(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(－1,0)，所以c＝1.将点P(0,1)代入椭圆方程＋＝1，得＝1，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝2.所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m，由消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.因为直线l与椭圆C1相切，所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0.整理得2k2－m2＋1＝0.①9\n由消去y并整理得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0.因为直线l与抛物线C2相切，所以Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0.整理得km＝1.②综合①②，解得或所以直线l的方程为y＝x＋或y＝－x－.【B组】一、填空题1．(2022·淮安模拟)已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到y轴的距离为________．解析：由题意，得F1(－，0)，F2(，0)．设M(x，y)，则·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝0，整理得x2＋y2＝3.①又因为点M在椭圆上，故＋y2＝1，即y2＝1－.②将②代入①，得x2＝2，解得x＝±.故点M到y轴的距离为.答案：2．(2022·南通模拟)方程为＋＝1(a>b>0)的椭圆的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，D是它短轴上的一个端点，若3＝＋2，则该椭圆的离心率为________．解析：设点D(0，b)，则＝(－c，－b)，＝(－a，－b)，＝(c，－b)，由3＝＋2得－3c＝－a＋2c，即a＝5c，故e＝.答案：3．(2022·扬州模拟)如图，已知点P是以F1、F2为焦点的椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，若PF1⊥PF2，tan∠9\nPF1F2＝，则此椭圆的离心率是________．解析：由题得△PF1F2为直角三角形，设PF1＝m，∵tan∠PF1F2＝，∴PF2＝，F1F2＝m，∴e＝＝＝.答案：4．(2022·无锡模拟)如图所示，A，B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且OF＝，若MF⊥OA，则椭圆的方程为________．解析：设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则A(a,0)，B(0，b)，C，F(，0)．依题意，得＝，FM的直线方程是x＝，所以M.由于O，C，M三点共线，所以＝，即a2－2＝2，所以a2＝4，b2＝2.所求方程是＋＝1.答案：＋＝15．(2022·常州模拟)已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，且PF1＝t·PF2，则t的值为________．解析：设N为PF1的中点，则NO∥PF2，故PF2⊥x轴，故PF2＝＝，而PF1＋PF2＝2a＝4，∴PF1＝，t＝7.答案：79\n6．(2022·江南十校联考)设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则PM＋PF1的最大值为________．解析：PF1＋PF2＝10，PF1＝10－PF2，PM＋PF1＝10＋PM－PF2，易知M点在椭圆外，连结MF2并延长交椭圆于P点，此时PM－PF2取最大值MF2，故PM＋PF1的最大值为10＋MF2＝10＋＝15.答案：157．(2022·连云港二模)在△ABC中，AB＝BC，cosB＝－，若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e＝________.解析：如图所示，设AB＝BC＝x，由cosB＝－及余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝x2＋x2＋2x2×，∴AC2＝x2，∴AC＝x.∵椭圆以A、B为焦点，∴焦距为2c＝AB＝x.又椭圆经过点C，∴AC＋BC＝x＋x＝2a，∴2a＝x，∴e＝＝.答案：二、解答题8．已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A、B，且＝2.(1)求椭圆方程；(2)求m的取值范围．解：(1)由题意知椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由题意知a＝2，b＝c，又a2＝b2＋c2，则b＝，∴椭圆方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，知直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋m，与椭圆方程联立，即9\n则(2＋k2)x2＋2mkx＋m2－4＝0，Δ＝(2mk)2－4(2＋k2)(m2－4)>0，由根与系数的关系，知又＝2，即有(－x1，m－y1)＝2(x2，y2－m)，∴－x1＝2x2.则∴＝－22.整理，得(9m2－4)k2＝8－2m2，又9m2－4＝0时不成立，∴k2＝>0，得<m2<4，此时Δ>0.∴m的取值范围为∪.9．(2022·宿迁模拟)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－，0)和F2(，0)，且椭圆过点.(1)求椭圆方程；(2)过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由．解：(1)由题意，即可得到＋y2＝1.(2)设直线MN的方程为x＝ky－，联立直线MN和曲线C的方程可得得(k2＋4)y2－ky－＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(－2,0)，y1y2＝－，y1＋y2＝，则·＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝(k2＋1)y1y2＋k(y1＋y2)＋＝0，即可得∠MAN＝.9