【3年中考2年模拟】浙江省2022届中考数学 专题突破 1.5二次根式（pdf） 新人教版

１．５二次根式内容清单能力要求能利用二次根式概念判断二次根式二次根式的概念存在的可能性．会利用二次根式的加减法则进行加二次根式的加减运算法则减运算．能根据先乘除后加减法则进行二次二次根式的乘除运算法则根式的混合运算．２０１２～２０１０年浙江省中考真题演练一、选择题２．（２０１０·嘉兴）设犪＞０，犫＞０，则下列运算错误的是（）．１．（２０１１·杭州）下列各式中，正确的是（）．Ａ．槡犪犫＝槡犪·槡犫Ｂ．槡犪＋犫＝槡犪＋槡犫２２Ａ．槡（－３）＝－３Ｂ．－槡３＝－３２犪槡犪Ｃ．（槡犪）＝犪Ｄ．槡＝Ｃ．槡（±３）２＝±３Ｄ．槡３２＝±３犫槡犫２０１２～２０１０年全国中考真题演练一、选择题Ｃ．－３与－２之间Ｄ．－２与－１之间２１７．（２０１１·山东烟台）若槡（２犪－１）＝１－２犪，则（）．１．（２０１２·四川泸州）二次根式中，狓的取值范围槡狓＋３１１Ａ．犪＜Ｂ．犪≤是（）．２２Ａ．狓≥－３Ｂ．狓＞－３１１Ｃ．犪＞Ｄ．犪≥２２Ｃ．狓≤－３Ｄ．狓＜－３８．（２０１１·湖南怀化）４９的平方根是（）．２．（２０１２·内蒙古包头）二次根式槡狓－２中，狓的取值范围狓＋３Ａ．７Ｂ．－７是（）．Ｃ．±７Ｄ．±槡７Ａ．狓≥２且狓≠３Ｂ．狓＞２９．（２０１１·四川宜宾）根式槡狓－槡３中狓的取值范围是（）．Ｃ．狓≥２Ｄ．狓≥２且狓≠０Ａ．狓≥槡３Ｂ．狓≤槡３３．（２０１２·山东烟台）槡４的值是（）．Ｃ．狓＜槡３Ｄ．狓＞槡３Ａ．４Ｂ．２１０．（２０１１·四川凉山州）已知狔＝槡２狓－５＋槡５－２狓－３，则Ｃ．－２Ｄ．±２４２狓狔的值为（）．４．（２０１２·山东潍坊）如果代数式有意义，则狓的取值范槡狓－３Ａ．－１５Ｂ．１５围是（）．１５１５Ｃ．－Ｄ．２２Ａ．狓≠３Ｂ．狓＜３１１．（２０１１·湖北孝感）下列计算正确的是（）．Ｃ．狓＞３Ｄ．狓≥３Ａ．３槡８－槡２＝槡２Ｂ．槡２＋槡３＝槡５５．（２０１２·天津）估计槡６＋１的值在（）．Ａ．２到３之间Ｂ．３到４之间Ｃ．槡２×槡３＝槡６Ｄ．槡８÷槡２＝４Ｃ．４到５之间Ｄ．５到６之间１２．（２０１０·湖南邵阳）最接近槡３的整数是（）．６．（２０１２·江苏南京）１２的负的平方根介于（）．Ａ．０Ｂ．２Ａ．－５与－４之间Ｂ．－４和－３之间Ｃ．４Ｄ．５雅可比·伯努利的墓碑在数学史上，瑞士的伯努利家族培养出很多优秀的数学家，其中最著名的数学家是雅可比·伯努利，他发明了“等角螺线”．在等角螺线中，任意一点画出的连线与该点切线永远保持一定角度，故取此名．有一种说法是雅可比·伯努利要求自己死后在墓碑上刻上等角螺线并写上“纵然改变，依然故我（Ｅａｄｅｒｎｍｕｔａｔａｒｅｓｕｒｇｏ）”的碑文，不过错误理解等角螺线的雕刻师把旋涡状花纹刻了上去．\n－１二、填空题１２１１槡２２０．（２０１２·上海）计算：×（槡３－１）＋＋３２－（）．２槡２－１２１３．（２０１２·贵州安顺）计算：槡１２＋槡３＝．１４．（２０１２·江西）当狓＝－４时，槡６－３狓的值是．１１５．（２０１２·湖南衡阳）计算：槡２４－槡１８×槡＝．３１６．（２０１１·四川内江）若犿＝２０１１，则犿５－２犿４－１１槡２０１２－１２１．（２０１１·湖南湘潭）先化简，再求值：狓（－），其中狓＝狓狓＋１２０１１犿３的值为．槡５－１．１７．（２０１１·广东茂名）已知一个正数的两个平方根分别为２犪－２和犪－４，则犪的值是．０狓１８．（２０１１·湖北荆州）若等式－２＝１成立，则狓的取（槡３）值范围为．狓＋１１＋狓２三、解答题２２．（２０１０·辽宁朝阳）先化简，再求值：狓÷（狓－２狓），其１９．（２０１２·山东德州）已知狓＝槡３＋１，狔＝槡３－１，求中狓＝槡２＋１．２２狓－２狓狔＋狔２２的值．狓－狔趋势总揽法则进行实数的混合运算．２０１３年对二次根式的考查仍将以基本题型为主，考查时多２．要特别注意二次根式运算的法则、方法、技巧．实数的运算主以填空题、选择题的形式出现，题目中包含若干个知识点，同时要是由二次根式、三角函数等组成的混合算式的计算，一般难度不渗透数形结合的思想．其中重点考查最简二次根式、同类二次根大，运算时要认真审题，确定符号，明确运算顺序，灵活运用法则．式的概念，以及二次根式的化简、求值．可能还会与一元二次方３．通过观察、归纳、猜想一些规律题目．程、函数等知识相联系．４．通过类比思想进行二次根式的计算，如二次根式计算可高分锦囊类比同类项计算：槡２＋２槡２＝３槡２，犪＋２犪＝３犪，这样通过类比有１．理解二次根式的有关概念．能正确运用二次根式的运算利于掌握计算方法．常考点清单３．槡犪犫＝（犪≥０，犫≥０）．一、二次根式的有关概念犪４．槡＝（犪≥０，犫＞０）．１．二次根式的定义．犫形如槡犪的式子叫做二次根式．三、二次根式的运算２．最简二次根式．１．二次根式的加减．满足下列两个条件的二次根式是最简二次根式．进行二次根式的加减计算时，先将二次根式化成，（１）被开方数的因数是整数，因式是整式，即被开方数不含再将相同的二次根式进行合并．．２．二次根式的乘除．（２）被开方数中不含的因数或因式．（１）槡犪·槡犫＝（犪≥０，犫≥０）；二、二次根式的性质槡犪（２）＝（犪≥０，犫＞０）；１．（槡犪）２＝犪（）．槡犫（犪≥０），（３）因式的外移：槡犪２犫＝＝，如槡２７２２．槡犪＝｜犪｜＝｛．（犪＜０）＝；刘徽的贡献和地位刘徽的工作，不仅对中国古代数学的发展产生了深远影响，而且在世界数学史上也确立了崇高的历史地位，成为中国传统数学理论体系的奠基者之一．经他注释的《九章算术》影响、支配中国古代数学的发展１０００余年，是东方数学的典范之一，与希腊欧几里得（约前３３０～前２７５）的《原本》所代表的古代西方数学交相辉映．鉴于刘徽的巨大贡献，所以不少书上把他称作“中国数学史上的牛顿”．\n因式的内移：犪槡犫＝，如３槡２＝．【答案】原式＝狓－２·狓＝１．２狓－２狓狓易混点剖析当狓＝槡２－１时，原式＝槡２＋１．１．平方根和算术平方根：一个正数的平方根有两个，且这两个平方根互为相反数．一【例２】（２０１２·浙江丽水）计算：２ｓｉｎ６０°＋｜－３｜－槡１２１－１个正数的正的平方根才是此正数的算术平方根．０的平方根和算－（３）．术平方根都是０．【解析】本题涉及特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式２．二次根式的概念：化简、负指数四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行二次根式槡犪中，犪可以是数，也可以是单项式、多项式、分式计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．二次根式的加减等代数式，但必须要求犪≥０，这是前提．只将系数相加减．３．最简二次根式与同类二次根式：同类二次根式是在化简为最简二次根式的基础上比较被开【答案】原式＝２×槡３＋３－２槡３－３＝－槡３．２方数，若两个或几个最简二次根式的被开方数相同，则它们就是【例３】（２０１２·湖北荆门）先化简，后求值：同类二次根式．１犪＋１４．槡犪·槡犫＝槡犪犫，但槡犪犫不一定等于槡犪·槡犫，如（犪－３－犪２－１）·（犪－３），其中犪＝槡２＋１．槡（－２）×（－３）≠槡－２·槡－３．【解析】本题是一道关于分式化简和二次根式的综合类题，注意不能去掉分母．易错题警示犪－３２【例１】（２０１２·江苏张家港）先化简，再求值：【答案】原式＝１－＝．犪－１犪－１１２２（狓－狓２）÷（１－狓），其中狓＝槡２－１．当犪＝槡２＋１时，原式＝２＝槡２．槡２＋１－１【解析】先利用分式化简知识进行化简，再将狓值代入进行二次根式的计算．２０１２～２０１１年浙江省中考仿真演练一、选择题槡狓＋２６．（２０１１·衢州三模）函数狔＝中自变量狓的取值范围是２狓－１１．（２０１２·椒江二中、温中实验学校第一次联考）若槡（犪－２）＝．２－犪，则犪的取值范围是（）．Ａ．犪＝２Ｂ．犪＞２７．（２０１１·杭州模拟）与槡２的积为正整数的是．（写出一个即可）Ｃ．犪≥２Ｄ．犪≤２２．（２０１２·杭州一模）已知：犿，狀是两个连续自然数（犿＜狀），且三、解答题狇＝犿狀，设狆＝槡狇＋狀＋槡狇－犿，则狆（）．８．（２０１２·金华五模）－２Ａ．总是奇数计算：（１）＋ｔａｎ４５°－｜－３｜．２Ｂ．总是偶数Ｃ．有时奇数，有时偶数Ｄ．有时有理数，有时无理数３．（２０１１·杭州模拟）当狓＝－２时，二次根式槡５－２狓的值为（）．Ａ．１Ｂ．±１Ｃ．３Ｄ．±３４．（２０１１·义乌模拟）下列属于最简二次根式的是（）．Ａ．槡９Ｂ．槡３１Ｃ．槡８Ｄ．槡２二、填空题２５．（２０１２·椒江二中、温中实验学校第一次联考）若槡犪＝３，槡犫＝２，且犪犫＜０，则犪－犫＝．熊庆来（一）熊庆来是中国著名的数学家和教育家．他生于１８９３年，卒于１９６９年，云南弥勒人．熊庆来１８岁时考入云南省高等学堂，因为成绩优异，２０岁时便被派往比利时学习采矿技术．后来他又到法国留学，并获得了博士学位．熊庆来主要从事函数论方面的研究，他定义了一个“无穷级函数”，国际上称之为“熊氏无穷数”．\n２０１２～２０１１年全国中考仿真演练一、选择题１１．（２０１２·江苏无锡前洲中学模拟）计算：０１．（２０１２·上海黄浦二模）下列根式中，与槡１８为同类二次根式｜－２｜＋槡８＋（π－１）－４ｓｉｎ４５°．的是（）．Ａ．槡２Ｂ．槡３Ｃ．槡５Ｄ．槡６２．（２０１２·湖北荆门东宝区模拟）下列计算：①槡３×槡５＝槡１５；②３＝槡３；③３槡２＝槡２；④槡１６＝４．其中错误的槡１００１０槡２７３１２．（２０１２·江苏苏州吴中区教学质量调研）“欲穷千里目，更上是（）．一层楼”说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为犺，Ａ．①Ｂ．②观测者视线能达到的最远距离为犱，则犱＝槡２犺犚，其中犚是Ｃ．③Ｄ．④地球半径（通常取６４００ｋｍ）．小丽站在海边一块岩石上，眼３．（２０１２·江苏南通三模）已知１－犪＝槡１－犪，则犪的取值范睛离海平面的高度犺为２０ｍ，她观测到远处一艘船刚露出２犪槡犪海平面，求此时犱的值．围是（）．Ａ．犪≤０Ｂ．犪＜０Ｃ．０＜犪≤１Ｄ．犪＞０４．（２０１１·四川内江模拟）槡２５的算术平方根是（）．Ａ．±５Ｂ．５Ｃ．±槡５Ｄ．槡５５．（２０１１·湖北武汉月调考模拟）二次根式槡１＋２狓有意义，则狓（第１２题）的取值范围是（）．１１Ａ．狓≥Ｂ．狓≤－２２１１Ｃ．狓≥－２Ｄ．狓≤２１３．（２０１１·四川中江县毕业生诊断考试）计算：－１二、填空题１２１（）－２×＋槡８－２ｓｉｎ４５°－｜槡２－２｜．２槡８６．（２０１２·上海市奉贤区调研试题）方程槡２狓－１＝１的解是．２７．（２０１２·贵州兴仁中学一模）槡狓－１＋（狔－２０１２）＝０，则狓＝．２８．（２０１２·江苏苏州市吴中区教学质量调研）若槡犪－６犪＋９＝４－２犪，则实数犪的值为．３９．（２０１１·湖北黄冈浠水中考调研）化简槡８犪犫＝．三、解答题１０．（２０１２·上海青浦二模）计算：１４．（２０１１·湖北武汉模拟）先化简，再求值．１－２２＋槡３狓１５狓４１（－槡３）０＋（）＋槡２７－．５槡５＋２槡２０狓－４槡５狓，其中狓＝３．３２－槡３熊庆来（二）熊庆来非常热爱教育事业，他为培养中国的科学人才做出了卓越贡献．１９３０年，他在清华大学当数学系主任时，从学术杂志上看到了华罗庚的名字，了解到华罗庚的自学经历和数学才华后，破格录取只有初中学历的华罗庚到清华大学学习．\n１．槡１６的平方根是（）．７．计算：Ａ．±４Ｂ．４（１）（槡７）２２３９；－槡（－３）－槡０．５１２×槡１Ｃ．±２Ｄ．２１６２．若狓＝槡犪－槡犫，狔＝槡犪＋槡犫，则狓狔的值为（）．Ａ．２槡犪Ｂ．２槡犫Ｃ．犪＋犫Ｄ．犪－犫２３．若化简｜１－狓｜－槡狓－８狓＋１６的结果为２狓－５，则狓的取值（２）３４３狓３３－槡－８＝－槡６２５．范围是（）．Ａ．狓为任意实数Ｂ．１≤狓≤４Ｃ．狓≥１Ｄ．狓≤４２２４．实数犪，犫在数轴上的位置如图所示，化简槡犪－槡犫－槡（犪－犫）２．８．判断下面各式是否成立：（１）槡２２＝２２；３槡３（第４题）３３（２）槡３＝３；８槡８４４（３）槡４＝４．１５槡１５－１２０５．计算：２ｓｉｎ６０°＋（－１）－槡（槡２－槡３）２÷（）．２１－槡２２０６．计算：（－２）－槡８＋（１－槡３）．熊庆来（三）在熊庆来的指导下，华罗庚通过不断的努力，成为我国著名的数学家．我国许多著名的科学家也都是熊庆来的学生．他在７０多岁高龄时，虽已身染重病，还是耐心地指导着两位研究生，这两位研究生就是后来享誉数学界的数学家杨乐和张广厚．熊庆来爱惜和培养人才的高尚品格，深受人们的敬佩．１９２１年，他在当时的东南大学任教时，发现一个叫刘光的学生虽然很贫困，但非常有才华，熊庆来便经常指点他读书、研究，在经济上还经常帮助他．\n当狓＝槡５－１时，原式＝１＝槡５．槡５－１＋１５狓＋１２狓２－１－狓２２２．原式＝÷狓２狓＝狓＋１·２狓狓（狓＋１）（狓－１）２＝．狓－１２（槡２）２将狓＝槡２＋１代入上式，原式＝＝＝槡２．槡２＋１－１槡２２年模拟提优［２０１２～２０１１年浙江省中考仿真演练］１．Ｄ２．Ａ３．Ｃ［解析］把狓＝－２代入即可．１槡２４．Ｂ［解析］槡９＝３，槡８＝２槡２，＝．槡２２５．－７６．狓≥－２且狓≠１［解析］保证被开方的二次根式非负性以及分母不为零即可．７．槡２（答案不唯一）［解析］只要使二次根号去掉即可，例如１．５二次根式槡２·槡８＝４即可．３年考题探究８．原式＝４＋１－３＝２［２０１２～２０１０年浙江省中考真题演练］［２０１２～２０１１年全国中考仿真演练］１．Ｂ２．Ｂ１．Ａ［解析］槡１８＝３槡２．［２０１２～２０１０年全国中考真题演练］３槡２槡６２．Ｃ［解析］＝．１．Ｂ［解析］狓＋３＞０．槡２７３２．Ｃ［解析］狓－２≥０．３．Ｃ［解析］１－犪≥０，得犪≤１．又犪＞０，所以０＜犪≤１．３．Ｂ［解析］槡４是求４的算术平方根．４．Ｄ［解析］槡２５＝５，５的算术平方根是槡５．４．Ｃ［解析］狓－３＞０．１５．Ｃ［解析］由１＋２狓≥０，得狓≥－．５．Ｂ［解析］２＝槡４＜槡６＜槡９＝３．２６．狓＝１［解析］方程两边平方即可．６．Ｂ［解析］３＝槡９＜槡１２＜槡１６＝４．７．１［解析］由平方及二次根式的非负性得狓＝１，狔＝２０１２．１７．Ｂ［解析］由２犪－１≤０，得犪≤２．８．１［解析］方程两边平方，得犪＝１或犪＝７（二次根式无３８．Ｃ［解析］±槡４９＝±槡７．意义，故舍去）．９．Ａ［解析］由狓－槡３≥０，得狓≥槡３．９．２｜犫｜槡２犪犫［解析］槡８犪犫３＝槡４犫２·２犪犫＝２｜犫｜槡２犪犫．１０．Ａ［解析］由２狓－５＝０，得狓＝５，此时狔＝－３．（２＋槡３）２２１０．原式＝１＋９＋３槡３－＝１０＋３槡３－（７＋４槡３）４－３５∴２狓狔＝２×２×（－３）＝－１５．＝３－槡３．１１．Ｃ［解析］３槡８－槡２无法合并，槡２＋槡３无法合并，槡８÷槡２＝２．１１．原式＝２＋２槡２＋１－４×槡２＝３．２１２．Ｂ［解析］１＜槡３＜槡４＝２．１２．由犚＝６４００ｋｍ，犺＝０．０２ｋｍ，１３．３槡３［解析］槡１２＋槡３＝２槡３＋槡３＝３槡３．得犱＝槡２×０．０２×６４００＝槡２５６＝１６（ｋｍ）．１４．３槡２［解析］槡６－３狓＝槡１８＝３槡２．１槡２１５．槡６［解析］原式＝２槡６－槡６＝槡６．１３．原式＝２－４×＋２槡２－２×２＋（槡２－２）＝槡２．２槡２１６．０［解析］犿＝槡２０１２＋１，犿５－２犿４－２０１１犿３＝犿３（犿２槡５狓３－２犿－２０１１）＝犿３［（犿－１）２－２０１２］１４．原式＝槡５狓＋槡５狓－２＝２槡５狓．＝犿３×０＝０．１３１１１７．２［解析］由（２犪－２）＋（犪－４）＝０，得犪＝２．当狓＝３时，原式＝２槡５×３＝２槡１５．１８．狓≥０且狓≠１２２０１３考情预测狓烄３≥０，１．Ｃ［解析］槡１６＝４，４的平方根是±２．狓≥０，［解析］烅得｛２．Ｄ［解析］本题主要考查平方差公式．狓狔＝（槡犪－槡犫）（槡犪狓狓≠１２．－２≠０，烆槡３＋槡犫）＝（槡犪）２－（槡犫）２＝犪－犫．（狓－狔）２狓－狔３．Ｂ［解析］原式＝（狓－１）－（４－狓）＝２狓－５．１９．原式＝＝，（狓－狔）（狓＋狔）狓＋狔∴１－狓≤０，狓－４≤０，当狓＝槡３＋１，狔＝槡３－１时，原式＝２１槡３即１≤狓≤４．＝＝．２槡３槡３３４．－２犫［解析］本题主要考查无理数、二次根式及绝对值的２０．原式＝２－槡３＋槡２＋１＋槡３－槡２＝３．知识，在计算时应灵活运用槡犪２＝｜犪｜．１１狓＋１－狓１槡３２１．狓（狓－狓＋１）＝狓·狓（狓＋１）＝狓＋１．５．原式＝２×２＋（－２）－（槡３－槡２）÷１＝槡３－２－槡３＋槡２\n＝槡２－２．８．上面三题都正确．６．原式＝４－２槡２＋１＝５－２槡２．（１）槡５５＝５５．５２４槡２４７．（１）原式＝７－３－０．８×＝３．４狀狀３（２）规律：狀＋２＝狀２．（２）３４３狓３－槡８＝－槡６２５，槡狀－１槡狀－１３４３狓３－（－２）＝－２５，狀狀３狀３证明：槡狀＋狀２＝狀２＝狀狀２．３４３狓＝－２７，－１槡－１槡－１狓３＝－２７，３４３３－２７３狓＝＝－．槡３４３７