【中考12年】江苏省南京市2001-2022年中考数学试题分类解析 专题11 圆

2022-2022年江苏南京中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题11：圆一、选择题1.（2022江苏南京2分）如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线的上一点，∠CBE=40°，则∠AOC等于【】A．20°B．40°C．80°D．100°【答案】C。【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质。【分析】根据圆内接四边形的外角等于内对角求出∠D，再利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠CBE=∠D。∴∠AOC=2∠D=80°。故选C。2.（江苏省南京市2022年2分）如图，正六边形ABCDEF的边长是a,分别以C、F为圆心，a为半径画弧，则图中阴影部分的面积是【】A、B、C、D、【答案】C。【考点】多边形内角和定理，扇形面积公式。【分析】∵正六边形的每个内角为，∴阴影为两个圆心角为120°的扇形。∴根据扇形面积公式得图中阴影部分的面积是。故选C。3.（江苏省南京市2022年2分）如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，PC＝3，PB＝1，则⊙O的半径等于【】．19\n（A）（B）3（C）4（D）【答案】C。【考点】切割线定理。【分析】因为PC，PA分别是圆的切线与割线，根据切割线定理可求得PC=3，从而求得AB=8，即可求得半径的长：∵PC，PA分别是圆的切线与割线，∴PC2=PB•PA。∵PC=3，PB=1，∴PA=9，AB=8。∴半径为4．故选C。4.（江苏省南京市2022年2分）正方形ABCD的边长是2cm，以直线AB为轴旋转一周，所得到的圆柱的侧面积为【】．（A）16π（B）8π（C）4π（D）4【答案】B。【考点】圆柱的计算。【分析】根据圆柱的侧面积公式=底面周长×高计算解：圆柱的侧面面积=π×2×2×2=8π（cm2）。故选B。5.（江苏省南京市2022年2分）如图，A，B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B=70°，则∠BAC等于【】A、70°B、35°C、20°D、10°【答案】C。【考点】等腰三角形的性质，切线的性质。【分析】欲求∠BAC，由AC是⊙O的切线知道∠OAC=90°，又可推知∠OAB=∠B，则∠BAC可求：∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=70°。19\n∵AC是⊙O的切线，∴OA⊥AC，即∠OAC=90°。∴∠BAC=∠OAC－∠OAB=20°。故选C。6.（江苏省南京市2022年2分）如图，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠OAC=20°，则∠AOB的度数是【】A.1O°B.20°C.40°D.70°【答案】C。【考点】圆周角定理，平行线的性质。【分析】∵∠OAC=20°，AO∥BC，∴∠ACB=∠OAC=20°。∴∠AOB=2∠ACB=40°。故选C。7.（江苏省南京市2022年2分）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边三角形ABC的边长为【】A．B．C．D．【答案】C。【考点】三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，垂径定理，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。【分析】连接OA，并作OD⊥AB于D，则∠OAD=30°，OA=2，∴AD=OA•cos30°=。∴AB=。故选C。8.（江苏省南京市2022年2分）如图，已知⊙O的半径为1，AB与⊙O相切于点A，OB与⊙O交于点C，OD⊥OA，垂足为D，则的值等于【】19\nA．ODB．OAC．CDD．AB【答案】A。【考点】切线的性质，锐角三角函数的定义。【分析】利用余弦的定义求解：∵CD⊥OA，∴∠CDO=90°。∵OC=1，∴cos∠AOB=OD：OC=OD。故选A。二、填空题1.（2022江苏南京2分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，⊙A与BC相切于点D，与AB相交于点E，则∠ADE等于▲。【答案】60°。【考点】切线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质。【分析】∵⊙A与BC相切于点D，∴AD⊥BD，即∠ADB=90°。∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠BAD=∠BAC=60°。∵AE=AD，∴△AED是等边三角形。∴∠ADE=60°。2.（2022江苏南京2分）已知⊙O的半径为4cm，AB是⊙O的弦，点P在AB上，且OP=2cm，PA=3cm，则PB=▲cm。【答案】4。【考点】相交弦定理。【分析】根据相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”进行计算：如图，作直线OP交⊙O于C、D两点，∵⊙O的半径为4cm，OP=2cm，PA=3cm，∴PC=4－2=2cm，PD=4+2=6cm。由相交弦定理得：PA•PB=PC•PD，∴PB=（cm）。【没学相交弦定理的可连接AC、BD，应用△APC∽△DPB求解】3.（江苏省南京市2022年2分）19\n如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为G，F是CG的中点，延长AF交⊙O于E，CF＝2，AF＝3，则EF的长是▲.【答案】4。【考点】垂径定理，相交弦定理。【分析】根据相交弦定理及垂径定理求解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足是G，F是CG的中点，∴CG=GD，CF=FG=CG。∵CF=2，∴CG=GD=2×2=4，FD=2+4=6。由相交弦定理得EF•AF=CF•FD，即EF=CF•FDAF=2×63=4。4.（江苏省南京市2022年2分）如图，⊙O的两条弦AB、CD相交于点P，PD＝2PB，PC＝2cm，则PA＝▲cm．【答案】4。【考点】相交弦定理。【分析】由相交弦定理可以得到PA•PB=PC•PD，然后利用已知条件即可求出PA：。5.（江苏省南京市2022年2分）如图，割线PAB与⊙O交于点A、B，割线PCD与⊙O交于点C、D，PA=PC，PB=3cm，则PD=▲cm．【答案】3。【考点】切割线定理。【分析】根据割线定理得PA•PB=PC•PD，已知PA=PC从而可得到PB=PD=3cm。19\n6.（江苏省南京市2022年3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠C=30°，AB=，则⊙O的半径为▲．【答案】2。【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理。【分析】作直径AD，连接BD，得∠ABD=90°，∠D=∠C=30°，∴AD=4，即圆的半径是2。7.（江苏省南京市2022年3分）已知和的半径分别为3cm和5cm，且它们内切，则圆心距等于▲cm．【答案】2。【考点】圆与圆的位置关系。【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，由于和内切，则圆心距=5－3=2。8.（江苏省南京市2022年3分）如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器▲台．【答案】3。【考点】圆周角定理【分析】∵∠A=65°，∴该圆周角所对的弧所对的圆心角是130°。又∵360°÷130°=，∴共需安装这样的监视器3台。19\n9.（江苏省2022年3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB．若∠ABD=65°，则∠ADC=▲．【答案】25°。【考点】圆周角定理，平行线的性质，直角三角形两锐角的关系。【分析】∵CD∥AB，∴∠ADC=∠BAD。又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°。又∵∠ABD=65°，∴∠ADC=∠BAD=90°－∠ABD=25°。10.（江苏省2022年3分）已知正六边形的边长为1cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为▲cm（结果保留）．【答案】。【考点】正六边形的性质，扇形弧长公式。【分析】如图，连接AC，则由正六边形的性质知，扇形ABmC中，半径AB=1，圆心角∠BAC=600，∴弧长。由正六边形的对称性，知，所得到的三条弧的长度之和为弧长的6倍，即。11.（江苏省南京市2022年2分）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点．若两圆的半径分别为3cm和5cm，则AB的长为▲cm．【答案】8。【考点】圆的切线的性质，勾股定理，垂径定理。【分析】连接OA、OC，由切线的意义知△OAC为直角三角形，再由勾股定理得OA2=OC2+AC219\n，即52=32+AC2，所以AC=4，再由垂径定理得AB=2AC=8。12.（江苏省南京市2022年2分）如图，点C在⊙O上，将圆心角∠AOB绕点O按逆时针方向旋转到∠A/OB/，旋转角为α（0°＜α＜180°）．若∠AOB=30°，∠BCA/=40°，则∠α=▲°．【答案】110°。【考点】旋转的性质，圆周角与圆心角的关系。【分析】根据同弧所对圆周角与圆心角的的一半，得∠BOA/=2∠BCA/=80°，所以∠α=∠AOB+∠BOA/=30°+80°=110°。13.（江苏省南京市2022年2分）如图，海边有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓（弓形的弧是⊙O的一部分）区域内，∠AOB=80°，为了避免触礁，轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为▲°．【答案】40。【考点】圆周角定理，三角形的外角性质。【分析】为了避免触礁，轮船P与A、B的张角∠APB的最大值是轮船P落在圆周上，根据同弦所对的圆周角是圆心角的一半的定理，轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为40°。三．解答题1.（2022江苏南京7分）如图，AB是⊙O的直径，P在AB的延长线上，PD与⊙O相切于D，C在⊙O上，PC=PD。（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）连接AC，若AC=PC，PB=1，求⊙O的半径。19\n【答案】解：（1）证明：连接OC，OD。∵PD与⊙O相切于D，∴∠PDO=90°。∵C在⊙O上，PC=PD，OP=OP，OC=OD，∴△OCP≌△ODP（SSS）。∴∠OCP=∠PDO=90°。∴PC是⊙O的切线。（2）连接OC。∵AC=PC，∴∠CAO=∠CPA。∵AO=CO，∴∠CAO=∠OCA。∵在△ACP中，∠CAP＋∠CPA＋∠ACP=1800，∴3∠CPA＋900=1800，即∠CPA=30°。∴在Rt△OCP中，OC=OP，即OC=（1+OB）。∵OC=OB，∴OC=1。∴⊙O的半径为1。【考点】切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角直角三角形的性质。【分析】（1）要证PC是⊙O的切线，只要连接OC，OD，通过证明△OCP≌△ODP得出∠OCP=90°即可。（2）运用等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理求出∠CPA的度数，应用含30度角直角三角形的性质得出⊙O的半径。2.（2022江苏南京7分）如图1，在平面上，给定了半径为r的圆O，对于任意点P，在射线OP上取一点P′，使得OP•OP′=r2，这把点P变为点P的变换叫做反演变换，点P与点P′叫做互为反演点。（1）如图2，⊙O内外各一点A和B，它们的反演点分别为A和B′。求证：∠A′=∠B；（2）如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形，那么这两个图形叫做互为反演图形。19\n①选择：如果不经过点O的直线l与⊙O相交，那么它关于⊙O的反演图形是【】A、一个圆；B、一条直线；C、一条线段；D、两条射线②填空：如果直线l与⊙O相切，那么它关于⊙O的反演图形是▲；该图形与圆O的位置关系是▲。3.（2022江苏南京11分）（1）如图1，已知A点坐标为（0，3），⊙A的半径为1，点B在x轴上。①若B点坐标为（4，0），⊙B的半径为3，试判断⊙A与⊙B的位置关系；②若⊙B过点M（2，0），且与⊙A相切，求B点坐标。（2）如图2，点A在y轴上，⊙A在x轴的上方。问：能否在x轴的正半轴上确定一点B，使⊙B与y轴相切，并且与⊙A外切，为什么？19\n【答案】解：（1）①∵A（0，3），B（4，0），∴OA=3，OB=4，AB=。∴两圆外离。②设B（x，0），∵⊙B过点M（2，0），∴⊙B的半径为。则AB=。若⊙A与⊙B外切，，时，，解得x=0；时，，解得x=－4，与不符。∴B（0，0）。若⊙A与⊙B内切，，时，，解得x=－4；时，，解得x=0，与不符。∴B（－4，0）。（2）能。过A作AD∥x轴，连接OD交⊙A于C，连接AC并延长交x轴于B，则以B为圆心，以OB为半径的⊙B与y轴相切，并且与⊙A外切。理由如下：∵AD∥x轴，∴∠ADO=∠BOD。∵AC=AD，∴∠ADC=∠ACD。∴∠OCB=∠BOC。∴BC=OB。∴以B为圆心，以OB为半径的⊙B与y轴相切，并且与⊙A外切。【考点】圆与圆的位置关系，坐标与图形性质，勾股定理，平行的性质，等腰判定和性质。【分析】19\n（1）①先根据A、B的坐标求出圆心距AB的长，然后和两圆的半径进行比较即可；②本题可设出B点的坐标，然后表示出圆心距AB的长，和⊙B的半径长，分内切和外切两种情况进行求解。（2）可过A作x轴的平行线交⊙A于D，连接OD交⊙A于C，连接AC并延长交x轴于B，则⊙B以BC为半径，与y轴相切，与⊙A外切。4.（江苏省南京市2022年9分）已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，O1在⊙O2上，⊙O2的弦BC切⊙O1于B，延长BO1、CA交于点P、PB与⊙O1交于点D。（1）求证：AC是⊙O1的切线；（2）连结AD、O1C，求证：AD∥O1C；（3）如果PD＝1，⊙O1的半径为2，求BC的长。【答案】解：（1）证明：连接O1A，∵BC是⊙O1的切线，∴∠O1BC=90°。∵∠O1AP是圆O2的内接四边形的外角，∴∠PAO1=∠O1BC=90°。∴AC是⊙O1的切线。 （2）证明：连接AB，∵PC切⊙O1于点A，∴∠PAD=∠ABD。∵∠ACO1=∠ABO1，∴∠PAD=∠ACO1。∴AD∥O1C。（3）∵PC是⊙O1的切线，PB是⊙O1的割线，∴PA2=PD•PB。∵PD=1，PB=5，∴PA=。又∵AD∥O1C．∴，即。∴AC=2。∵AC，BC都是⊙O1的切线，∴BC=AC=2。【考点】切线的性质和判定，圆内接四边形的性质，圆周角定理，平行的判定和性质，切割线定理，切线长定理。19\n【分析】（1）证AC是圆O1的切线，可连接O1A然后证O1A⊥PC即可，可通过∠PAO1是圆O2的内接四边形的外角来求解。（2）证AD∥O1C，证∠PAD=∠O1CA即可，可通过与两角相等的中间角来求解；连接BA，那么∠O1BA就是与两角相等的中间角。（3）由于BC，AC同与圆O1相切，因此根据切线长定理AC=BC，那么求BC也就是求AC的长，有了PD和⊙O1的半径即O1D，O1B的值，那么可根据切割线定理求出PA，由（2）得出的平行线，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于PA，PC，PD，PO的比例关系，而PD，DQ1，PA的值都已知，因此可求出AC的长，也就求出了BC的长。5.（江苏省南京市2022年8分）已知：⊙O1与⊙O2外切，⊙O1的半径R＝2，设⊙O1的半径是r.（1）如果⊙O1与⊙O2的圆心距d=4,求r的值；（2）如果⊙O1、⊙O2的公切线中有两条互相垂直，并且r≤R,求r的值。【答案】解：（1）由⊙O1与⊙O2的圆心距d=4和⊙O1的半径R＝2，得2＋r=4，即r=2。 （2）情形一，如图1：这时r=R=2。情形2，如图2：根据切线长定理得到等腰直角三角形，则有AO=OB=2，，∴，解得。【考点】相切两圆的性质，勾股定理。【分析】（1）根据两圆外切，圆心距等于两圆半径之和进行计算。（2）分r=R和r＜R两种情形求解。r=R时直接可得。r＜R时，根据切线长定理和切线的性质定理发现两个等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到方程进行计算。6.（江苏省南京市2022年8分）阅读下面材料：19\n对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些回所覆盖．例如：图1中的三角形被一个圆所覆盖，图2中的四边形被两个圆所覆盖．图1图2回答下列问题：⑴边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm；⑵边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm；⑶长为2cm，宽为1cm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是cm，这两个圆的圆心距是cm．【答案】解：（1）。（2）。（3）；1。【考点】正多边形和圆【分析】当一个图形被一个圆覆盖时，当圆是这个图形的外接圆时，圆最小；当矩形被两圆覆盖，圆最小时，两圆的公共弦一定是1cm，则每个圆内的部分是一个边长是1的正方形：（1）以正方形的对角线为直径做圆是覆盖正方形的最小圆，半径r的最小值=； （2）边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，这个最小的圆是正三角形的外接圆，如图作三角形ABC的高AD构成直角三角形ABD，斜边AB=1，BD=。∵三角形是正三角形，∴∠ABC=60°。∵O是外心，∴∠OBC=30°，OD=OB。设OA=OB=x，则OD=x，在直角三角形OBD中，根据勾股定理列方程：，解得：x=。19\n（3）如图：矩形ABCD中AB=1，BC=2，则覆盖ABCD的两个圆与矩形交于E、F两点，由对称性知E、F分别是AD和BC的中点，则四边形ABFE、EFCD是两个边长为1的正方形，所以圆的半径r=，两圆心距=1。7.（江苏省南京市2022年9分）如图⊙O与⊙O’相交于A、B两点，点O在⊙O’上，⊙O’的弦OC交AB于点D．⑴求证：OA＝OC·OD；⑵如果AC＋BC＝OC，⊙O的半径为r．求证：AB＝【答案】证明：（1）连接OB，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA。∵∠OCA=∠OBA，∴∠OAB=∠OCA。∵∠AOC=∠DOA，∴△AOC∽△DOA。∴，即OA2=OC•OD。（2）∵△AOC∽△DOA，∴。同理可得，。∴，即。∵AC+BC=OC，OA=r，∴AB=r。【考点】圆与圆的位置关系，相交两圆的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）欲证OA2=OC•OD，通过证明△AOC∽△DOA妈可以得出。（2）因为AC+BC=OC，⊙O的半径为r，欲证AB=r，只需证明（AC+BC）：OC=AB：OA；通过证明△AOC∽△DOA，△OBD∽△OCB，得出比例形式相加，即可得出。8.（江苏省南京市2022年11分）如图，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm．半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上．设运动时间为t(s)，当t=0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC=8cm．19\n（1）当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切？（2）当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．【答案】解：（1）△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切有以下四种情形：情形一：当半圆O所在的圆运动到点E与点C重合时，半圆O在AC左边与AC相切，如图1。此时，半圆O运动的距离为8－6=2。∴t=2÷2=1(s)。情形二：当半圆O所在的圆运动到点O与点C重合时，半圆O在AB左边与AB相切，如图2。此时，半圆O运动的距离为8。∴t=8÷2=4(s)。情形三：当半圆O所在的圆运动到点D与点C重合时，半圆O在AC右边与AC相切，如图3。此时，半圆O运动的距离为8＋6=14。∴t=14÷2=7(s)。情形四：当半圆O所在的圆运动到AB右边与AB相切时，如图4。此时，半圆O运动的距离为8＋12＋12=32。∴t=32÷2=16(s)。综上所述，当t=1，4，7，16s时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切。（2）当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分的有两种情形：情形一：当半圆O所在的圆运动到点O与点C重合时，半圆O在AB左边与AB相切，如图2。此时半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域重叠部分为圆面积=9πcm2。19\n情形二：当半圆O所在的圆运动到点D与点C重合时，半圆O在AC右边与AC相切，如图3。此时半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域重叠部分为扇形OCF加上△OBF。∵∠COF=2∠ABC=60°，∴扇形OCF的面积为cm2。∵△OBF的边OB上的高=，∴△OBF的面积为cm2。∴重叠部分面积=＋cm2。综上所述，当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域重叠部分的面积为9πcm2或＋cm2。【考点】运动问题，直线与圆相切的性质，扇形和三角形的面积，等腰三角形的性质，三角形外角定理，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。【分析】（1）根据直线与圆相切的性质分四种情形分别讨论即可。（2）分两种情形分别求出重叠部分的面积。9.（江苏省南京市2022年8分）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB=45°，BC∥AD，CD∥AB．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．【答案】解：（1）直线CD与⊙O相切。理由如下：如图，连接OD。∵OA=OD，∠DAB=45°，∴∠ODA=45°。∴∠AOD=90°。∵CD∥AB，∴∠ODC=∠AOD=90°，即OD⊥CD。又∵点D在⊙O上，直线CD与⊙O相切。（2）∵BC∥AD，CD∥AB，∴四边形ABCD是平行四边形。∴CD=AB=2。∴S梯形OBCD=。19\n∴图中阴影部分的面积为S梯形OBCD－S扇形OBD=。【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行的性质，直线与圆相切的判定，平行四边形的判定和性质。扇形面积。【分析】（1）欲判断直线CD与⊙O的位置关系，由图形可猜想其结论为相切，由条件∠DAB=45°，CD∥AB知∠ADC=135°，再连接OD得∠ADO=45°，因此∠ODC=90°，猜想得证。（2）观察图形发现阴影部分可在梯形ODCB中求解：梯形ODCB的面积减扇形OBD的面积。10.（2022江苏南京8分）某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图，在和扇形中，与、分别相切于A、B，，E、F事直线与、扇形的两个交点，EF=24cm，设的半径为xcm，①用含x的代数式表示扇形的半径；②若和扇形两个区域的制作成本分别为0.45元和0.06元，当的半径为多少时，该玩具成本最小？【答案】解：（1）连接O1A。∵⊙O1与O2C、O2D分别切一点A、B，∴O1A⊥O2C，O2E平分∠CO2D。∵，∴∠AO2O1=∠CO2D=30°。在Rt△O1AO2中，，∴O1O2=AO1sin∠AO2O1=xsin30°=2x。∵EF=24cm，∴FO2=EF－EO1－O1O2=24－3x，即扇形O2CD的半径为（24－3x）cm。（2）设该玩具的制作成本为y元，则19\n。∴当x=4时，y的值最小。答：当⊙O1的半径为4cm时，该玩具的制作成本最小。【考点】切线的性质，锐角三角函数定义，扇形面积的计算，二次函数的最值。【分析】（1）连接O1A．由切线的性质知∠AO2O1=∠CO2D=30°；然后在Rt△O1AO2中利用锐角三角函数的定义求得O1O2=2x；最后由图形中线段间的和差关系求得扇形O2CD的半径FO2。（2）设该玩具的制作成本为y元，则根据圆形的面积公式和扇形的面积公式列出y与x间的函数关系，然后利用二次函数的最值即可求得该玩具的最小制作成本。19