【中考12年】江苏省常州市2001-2022年中考数学试题分类解析 专题11 圆

2022-2022年江苏常州中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题11：圆一、选择题1.（2022江苏常州2分）已知⊙O的半径为5cm，A为线段OP的中点，当OP＝6cm时，点A与⊙O　的位置关系是【　　】　A．点A在⊙O内　B.点A在⊙O上　C.点A在⊙O外　　D.不能确定【答案】A。【考点】点与圆的位置关系【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系：d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内。因此，∵当OP=6厘米时，OA=3cm＜5cm（⊙O的半径）。∴点A在⊙O内。故选A。2.（2022江苏常州2分）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为5cm和7cm，圆心距O1O2＝3cm，则这两个圆的位置关系是【　　】A.外离　　　B.相交　　　C.内切　　　　D.外切【答案】C。【考点】两圆的位置关系。【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，∵⊙O1和⊙O2的半径分别是5cm和7cm，圆心距O1O2是3cm，∴7－5=2，5＋7=12，O1O2=3。∴2＜O1O2＜12。∴两圆相交。故选C。3.（江苏省常州市2022年2分）已知圆柱的母线长为5cm，表面积为28πcm2，则这个圆柱的底面半径是【】A.5cmB.4cmC.2cmD.3cm【答案】C。【考点】圆柱的计算。【分析】利用圆柱的表面积的计算公式列出方程求未知数：设圆柱的半径为x，则2πx2＋π×2x×5=28π．解得：x=2cm。故选C。18用心爱心专心\n4.（江苏省常州市2022年2分）若两圆没有公共点，则两圆的位置关系是【】A.外离B.内含C.外切D.外离或内含【答案】D。【考点】两圆的位置关系。【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和，有一个公共点），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差，有一个公共点），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和，没有公共点），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差，有两个公共点），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差，没有公共点）。因此：外离或内含时，两圆没有公共点。故选D。5.（江苏省常州市2022年2分）两圆的半径分别为3和5，圆心距为2，则两圆的位置关系是【】（A）外切（B）内切（C）相交（D）内含【答案】B。【考点】两圆的位置关系。【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，∵两圆的半径分别为3和5，圆心距为2，即5－3=2，两圆半径之差等于圆心距，∴两圆内切。故选B。6.（江苏省常州市2022年2分）如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么它的侧面积等于【】（A）（B）（C）（D）【答案】B。【考点】圆柱的计算。【分析】圆柱的侧面的展开图是个矩形，长为圆柱底面圆的周长，宽为母线长，那么侧面积=底面周长×高=2×4×π×5=40πcm2。故选B。7.（江苏省常州市2022年2分）如图，已知⊙O的半径为5，弦，则圆心O到AB的距离是【】A．1B．2C．3D．418用心爱心专心\n【答案】C。【考点】垂径定理，勾股定理。【分析】作OD⊥AB于D．根据垂径定理和勾股定理求解：作OD⊥AB于D，根据垂径定理知OD垂直平分AB，∴AD=4。又∵OA=5，∴根据勾股定理可得，OD=3。故选C。8.（江苏省常州市2022年2分）如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是【】A．B．C．D．【答案】B。【考点】切线的性质【分析】设QP的中点为O，圆O与AB的切点为D，连接OD，连接CO，CD，则有OD⊥AB。∵AB=10，AC=8，BC=6，∴AB2=AC2＋BC2。∴由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形。∴OC+OD=PQ。由三角形的三边关系知，CF+FD＞CD，只有当点O在CD上时，OC+OD=PQ有最小值为CD的长，即当点O在RtABC斜边AB的高CD上时，PQ=CD有最小值。由直角三角形的面积公式得CD=BC•AC÷AB=4.8。故选B。9.（江苏省常州市2022年2分）如图，若⊙的直径AB与弦AC的夹角为30°，切线CD与AB的延长线交于点D，且⊙O的半径为2，则CD的长为【】18用心爱心专心\nA.B.C.2D.4【答案】A。【考点】圆周角定理，切线的性质，三角形外角性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】连接OC，BC。∵AB是直径，∴∠ACB=90°。∵CD是切线，∴∠OCD=90°。∵∠A=30°，∴∠COB=2∠A=60°。∴CD=OC•tan∠COD=。故选A。10.（江苏省常州市2022年2分）若两圆的半径为别为2和3，圆心距为5，则两圆的位置关系为【】A．外离B．外切C．相交D．内切【答案】B。【考点】两圆的位置关系。【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此∵两圆半径之和等于圆心距：2＋3=5，∴两圆的位置关系为外切。故选B。11.（2022江苏常州2分）已知两圆半径分别为7，3，圆心距为4，则这两圆的位置关系为【】A.外离B.内切C.相交D.内含【答案】B。【考点】两圆的位置关系。【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，∵两半径之差7－3等于两圆圆心距4，∴两圆内切。故选B。二、填空题1.（2022江苏常州3分）已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝1200，OB＝1，则∠BAD=18用心爱心专心\n　　▲　　度，∠BCD＝　　▲　　度，弧的长＝　　▲　　.【答案】60；120；。【考点】圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，圆内接四边形的性质，弧长的计算。【分析】∵∠BOD和∠BOD是同弧所对的圆周角和圆心角，且∠BOD=120°，∴∠BAD=∠BOD=×120°=60°。∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD=180°－∠BAD=180°－60°=120°。∵∠BOD=120°，OB=1，∴弧的长=2.（2022江苏常州3分）已知：如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC＝4，PB＝8，则PA＝　　▲　　，sin∠P=　　▲　　，CD=　　▲　　.【答案】2；；。【考点】切割线定理，垂径定理，切线的性质，锐角三角函数定义【分析】∵PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，PC=4，PB=8，∴PC2=PA•PB【注：没学习切割线定理可连接AC，通过证明△ACP∽△CBP得到】∵PC＝4，PB＝8，∴PA=。∴AB=6。∴圆的半径是3。连接OC，∵OC=3，OP=5，∴sin∠P=。18用心爱心专心\n∵CD⊥AB于点E，∴CD=2CE。∵CE=。∴CD=3.（江苏省常州市2022年2分）已知记扇形的圆心角为1500，它所对的弧长为20πcm，则扇形的半径为▲cm，扇形的面积是▲cm2.【答案】24；。【考点】扇形面积的计算，弧长的计算。【分析】根据弧长公式求出半径，根据面积公式求面积：∵根据已知和弧长公式，得，∴r=24cm。∴根据面积公式，得扇形的面积=cm2。4.（江苏省常州市2022年2分）如图，AB为⊙O直径，CE切⊙O于点C，CD⊥AB，D为垂足，AB=12cm，∠B=300，则∠ECB=▲_0；CD=▲cm【答案】60；。【考点】圆周角定理，弦切角定理，直角三角形两锐角的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】由圆周角定理可知：∠ACB=90°，因此∠B和∠A互余，由此可求出∠A的度数；从而可根据弦切角定理求得∠ECB的度数。在Rt△ACB中，已知了∠B=30°，可根据AB的长求出BC的值，从而可在Rt△BCD中求出CD的长：∵AB为⊙O直径，∠B=300，∴∠ACB=90°，∠A=60°。∴由弦切角定理知，∠ECB=∠A=60°。在Rt△ABC中，∠B=30°，AB=12cm，∴BC=AB•cos∠B=cm。在Rt△BCD中，∠B=30°，BC=cm，∴CD=BC•sin∠B=cm。5.（江苏省常州市2022年2分）如图，DE是⊙O直径，弦AB⊥DE，垂足为C，若AB=6，CE=1，则CD=▲；OC=▲.18用心爱心专心\n【答案】9；4。【考点】勾股定理，垂径定理。【分析】连接OA．根据垂径定理和勾股定理求解：设圆的半径为x，则OA=x，CD=2x－CE=2x－1，OC=x－CE=x－1。在Rt△OAC中，根据勾股定理可得：，解得x=5。∴CD=10－1=9，OC=5－1=4。6.（江苏省常州市2022年1分）如果把人的头顶和脚底分别看作一个点，把地球赤道看作一个圆，那么身高2米的汤姆沿着地球赤道环行一周，他的头顶比脚底多行▲米。【答案】4π。【考点】圆的认识。【分析】根据圆的周长公式进行分析即可得到答案：设地球的半径是R米，则人头绕地球环形时，人头经过的圆的半径是（R+2）米．地球的周长是2πR米，人头环形一周的周长是2π（R+2）米，因而他的头顶比脚底多行2π（R+2）－2πR=4π米。7.（江苏省常州市2022年3分）如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，若PA=6，PB=4，弧AB的度数为60°，则BC=▲，∠PCA=▲度，∠PAB=▲度。【答案】5；30；30。【考点】切割线定理，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理。【分析】根据切割线定理得PA2=PB•PC可求得PC与BC的长，根据圆周角定理知：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，即∠PCA=30°，最后根据弦切角定理得∠PAB=30°：∵PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，∴PA2=PB•PC。∵PA=6，PB=4，∴PC=9。∴BC=5。18用心爱心专心\n∵弧AB的度数为60°，∴∠PCA=30°。∴∠PAB=30°。8.（江苏省常州市2022年2分）如图，在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，则BC=▲cm,∠ABD=▲°。【答案】8，45。【考点】圆周角定理，勾股定理。【分析】已知AB是⊙O的直径，由圆周角定理可知：∠ACB=90°。在Rt△ACB中，利用勾股定理可求得BC的长：。又∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=45°。∴根据同弧所对的圆周角的关系，可求出∠ABD的度数：∠ABD=∠ACD=45°。9.（江苏省常州市2022年2分）已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则扇形的弧长是▲，扇形的面积是▲。【答案】；。【考点】扇形面积的计算，弧长的计算。【分析】利用弧长公式和扇形的面积公式即可计算：扇形的弧长=（）。扇形的面积（）。10.（江苏省常州市2022年2分）已知扇形的半径为2cm，面积是，则扇形的弧长是▲cm，扇形的圆心角为▲°．【答案】；120。【考点】扇形的计算。【分析】由扇形的半径为2cm，面积是可求得扇形的圆心角：；从而求出扇形的弧长=（或用扇形面积=×弧长×半径求得）。18用心爱心专心\n11.（江苏省常州市2022年2分）已知扇形的半径为3cm，扇形的弧长为πcm，则该扇形的面积是▲cm2，扇形的圆心角为▲°.【答案】；60。【考点】扇形的计算。【分析】直接用扇形的面积=弧长×半径÷2求得面积；代入用圆心角和半径表示的面积公式面积=即可求得圆心角：（cm2）；由，得扇形的圆心角为。12.（江苏省2022年3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB．若∠ABD=65°，则∠ADC=▲．【答案】25°。【考点】圆周角定理，平行线的性质，直角三角形两锐角的关系。【分析】∵CD∥AB，∴∠ADC=∠BAD。又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°。又∵∠ABD=65°，∴∠ADC=∠BAD=90°－∠ABD=25°。13.（江苏省2022年3分）已知正六边形的边长为1cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为▲cm（结果保留）．【答案】。【考点】正六边形的性质，扇形弧长公式。【分析】如图，连接AC，则由正六边形的性质知，扇形ABmC中，半径AB=1，圆心角∠BAC=600，∴弧长。18用心爱心专心\n由正六边形的对称性，知，所得到的三条弧的长度之和为弧长的6倍，即。14.（江苏省常州市2022年2分）已知扇形的半径为3㎝，面积为3㎝2，则扇形的圆心角是▲，扇形的弧长是▲㎝（结果保留）。【答案】120°；。【考点】扇形的计算。【分析】由扇形的半径为3cm，面积是可求得扇形的圆心角：；从而求出扇形的弧长=（或用扇形面积=×弧长×半径求得）。16.（2022江苏常州2分）已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长，则此扇形的半径是▲cm，面积是▲cm2。【答案】24，．【考点】扇形弧长，扇形面积公式。【分析】用扇形弧长和扇形面积公式直接求出：设扇形的半径是r，则由扇形弧长公式有，18用心爱心专心\n。由扇形面积公式有，扇形面积为。17.（2022江苏常州2分）如图，DE是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为C，若AB=6，CE=1，则OC=▲CD=▲。【答案】4，9。【考点】直径垂直平分弦，勾股定理。【分析】。18.（2022江苏常州2分）已知扇形的半径为3cm，圆心角为1200，则此扇形的的弧长是▲cm，扇形的面积是▲cm2（结果保留π）。【答案】，。【考点】扇形的的弧长和面积。【分析】直接根据扇形的的弧长和面积公式计算即可：扇形的的弧长=（cm），扇形的面积=（cm2）。三、解答题1.（2022江苏常州6分）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AE切⊙O于点A，BD∥AE交AC的延长线于点D，求证：AB2=AC•AD【答案】证明：∵BD∥AE，∴∠EAD=∠D。∵AE切⊙O于点A，∴∠EAD=∠ABC。∴∠ABC=∠D。∵∠BAC=∠DAB，∴△ACB∽△ABD。∴AB：AD=AC：AB。∴AB2=AC•AD。【考点】弦切角定理，相似三角形的判定和性质。18用心爱心专心\n【分析】欲证AB2=AC•AD，即证AB：AD=AC：AB，可以通过证明△ABC∽△ABD得出．而已知∠BAD公共，又可以根据已知条件推出∠ABC=∠D，由两角对应相等的两个三角形相似，得出△ACB∽△ABD，从而得到结论。2.（2022江苏常州6分）已知：如图，⊙O的弦AD、BC互相垂直，垂足为E，∠BAD＝∠α，∠CAD＝∠β，且siaα=，cosβ=，AC=2，求（1）EC的长；（2）AD的长。3.（江苏省常州市2022年6分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，边AD，BC的延长线相交于点P，直线AE切⊙O于点A，且AB×CD=AD×PC，求证：（1）△ABD∽△CPD；（2）AE∥BP。18用心爱心专心\n【答案】证明：（1）∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD=∠DCP。又∵AB•CD=AD•PC，∴。∴△ABD∽△CPD。（2）由（1）得∠ABD=∠P。又∵AE为切线，AD为弦，∴∠EAD=∠ABP，即∠P=∠EAD。∴AE∥BP。【考点】圆内接四边形的性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质，平行的判定。【分析】（1）已知AB•CD=AD•PC，即，所以要证△ABD∽△CPD，只需证得两组对应边的夹角相等即可，而这组角可通过圆内接四边形的性质求得。（2）在（1）的基础上，可求得∠ABD=∠P；根据弦切角定理可求得∠EAD=∠ABD，即∠EAD=∠P；内错角相等，可证得两直线平行。4.（江苏省常州市2022年6分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，E是AB上一点，直线CE与⊙O交于点F，连结AF，与直线CD交于点G。求证：（1）∠ACD=∠F；（2）AC2=AG·AF。【答案】证明：（1）连接BC，则∠ACB=90°，∠ABC=∠F。∵∠ACD+∠CAD=90°，∠CAD+∠ABC=90°，∴∠ACD=∠ABC。∴∠ACD=∠F。 （2）由（1）得出的∠ACD=∠F，又∵∠CAG=∠FAC，∴△ACG∽△AFC。18用心爱心专心\n∴。∴AC2=AG•AF。【考点】圆周角定理，相似三角形的判定和性质【分析】（1）本构建相等的中间角通过转换来求解，连接BC，根据圆周角定理得∠ABC=∠F，根据同角的余角相等得∠ACD=∠ABC，由此可得证。（2）要证AC2=AG·AF，即要AC：AG=AF：AC即可，只要△ACG∽△AFC。已知了一个公共角，而（1）中又证得了∠ACD=∠F，由此可得出两三角形相似，根据相似三角形即可得出所求的比例关系。5.（江苏省常州市2022年8分）如图，正三角形ABC的边长为1cm，将线段AC绕点A顺时针旋转120°至AP1，形成扇形D1；将线段BP1绕点B顺时针旋转120°至BP2，形成扇形D2；将线段CP2绕点C顺时针旋转120°至CP3，形成扇形D3；将线段AP3绕点A顺时针旋转120°至AP4，形成扇形D4……。设为扇形Dn的弧长（n=1，2，3……）,回答下列问题：（1）按照要求填表：n1234（2）根据上表所反映的规律，试估计n至少为何值时，扇形Dn的弧长能绕地球赤道一周？（设地球赤道半径为6400km）。【答案】解：（1）填表如下：n1234（2）根据上述规律可得：，解得n=2.98×108。∴估计n=2.98×108时，扇形Dn的弧长能绕地球赤道一周。【考点】分类归纳（图形的变化类），弧长的计算，等边三角形的性质。18用心爱心专心\n【分析】（1）从图中可以找出规律，弧长的圆心角不变都是120度，变化的是半径，而且第一次是1，第二次是2，第三次是3，依此下去，然后按照弧长公式计算：；。（2）由和地球赤道半径为6400km列方程求解，注意单位一致。6.（江苏省常州市2022年7分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，求AB的长。【答案】解：∵AB=AC，∴。∴∠ABC=∠D。又∵∠BAE=∠DAB，∴△ABE∽△ADB。∴，即AB2=AE•AD=2×6=12。∴AB=。【考点】圆周角定理，相似三角形的判定和性质【分析】观察发现所求的线段和已知的线段能够放到两个三角形中，即△ABE和△ADB。根据等弧所对的圆周角相等和公共角即可证明两个三角形相似，再根据相似三角形的对应边的比相等得到要求的线段的长。7.（江苏省常州市2022年6分）如图，有一木制圆形脸谱工艺品，H、T两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面两耳连线中点D处打一小孔．现在只有一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），请你用两种不同的方法确定点D的位置（画出图形表示），并且分别说明理由．理由是：【答案】解：画图如下18用心爱心专心\n方法一：如图①，过点O作TH的垂线L交TH于D，则点D就是TH的中点。依据是垂径定理。方法二：如图②，分别过点T、H画HC⊥TO，TE⊥HO，HC与TE相交于点F，过点O、F作直线L交HT于点D，则点D就是HT的中点。由画图知，Rt△HOC≌Rt△TOE（AAS），易得HF=TF。又∵OH=OT，∴点O、F在HT的中垂线上，所以HD=TD。【考点】垂径定理，全等三角形的判定和性质，线段中垂线的判定和性质。【分析】可以根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦；也可以根据和线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。还可过点T，H作圆O的切线，两切线的交点G，连接OG的直线L与HT的交点D，也是HT的中点（如图3）。8.（2022江苏常州10分）在平面直角坐标系xOy中，已知动点P在正比例函数y=x的图象上，点P的横坐标为m（m＞0）。以点P为圆心，为半径的圆交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C、D两点（D点在点C的上方）。点E为平行四边形DOPE的顶点（如图）。（1）写出点B、E的坐标（用含m的代数式表示）；（2）连接DB、BE，设△BDE的外接圆交y轴于点Q（点Q异于点D），连接EQ、BQ。试问线段BQ与线段EQ的长是否相等？为什么？（3）连接BC，求∠DBC－∠DBE的度数。18用心爱心专心\n【答案】解：（1）B（3m，0），E（m，4m）。（2）线段BQ与线段EQ的长相等。理由如下：由（1）知B（3m，0），E（m，4m），∵根据圆的对称性，点D点B关于y=x对称，∴D（0，3m）。∴，，。∴。∴△BDE是直角三角形。∴BE是△BDE的外接圆的直径。设△BDE的外接圆的圆心为点G，则由B（3m，0），E（m，4m）得G（2m，2m）。过点G作GI⊥DG于点I，则I（0，2m）。根据垂径定理，得DI=IQ，∴Q（0，m）。∴。∴BQ=EQ。（3）延长EP交x轴于点H，则EP⊥AB，BH=2m。根据垂径定理，得AH=BH=2m，AO=m。根据圆的对称性，OC=OA=m。又∵OB=3m，，，∴。。又∵∠COB=∠EDB=900，∴△COB∽△EDB。∴∠OBC=∠DBE。18用心爱心专心\n∴∠DBC－∠DBE=∠DBC－∠OBC=∠DBO。又∵OB=OC，∴∠DBO=450。∴∠DBC－∠DBE=450。18用心爱心专心