【中考12年】江苏省泰州市2001-2022年中考数学试题分类解析 专题11 圆

2022-2022年江苏泰州中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题11：圆一、选择题1.（2022江苏泰州3分）已知两圆的直径分别是5和2，圆心距为3,那么这两圆的公切线的条数是【】。A.1B.2C.3D.4【答案】B。【考点】圆与圆的位置关系。【分析】由题意知，两圆的直径分别为是5和2，圆心距是3，∴两圆的半径分别为是2.5和1。∵2.1－1＜3＜2.1＋1，∴两圆相交。∴两圆公切线条数为2。故选B。2.（2022江苏泰州4分）如图，点p是半径这5的⊙O内一点，且OP=3。在过点P的所有⊙O的弦中，弦长为整数的弦的条数为【】。A.2B.3C.4D.5【答案】C。【考点】垂径定理，勾股定理。【分析】由于⊙O的半径为5，OP=3，则过点P的弦最短时弦垂直于OP，根据垂径定理和勾股定理知此时弦最短为8；最长时弦为经过OP的直径10；而8，10之间只有整数9，长度为9的弦有两条，所以长度为整数的弦的条数一共有4条。故选C。3.（2022江苏泰州4分）某学校建一个喷泉水池，没计的底面半径为4m的正六边形，池底是水磨石地面。现用的磨光机的磨头是半径为2dm的圆形砂轮，磨池底时磨头磨不到的部分的面积为【】。A.B.C.D.22\n【答案】B。【考点】正多边形和圆，切线长定理，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形面积。【分析】当圆形砂轮与正六边形的两边相切时，图形DCB不能被磨到，则不能磨到的面积为两个三角形的和减去扇形ABC的面积．这样的面积有6个，求出CABD的面积，再乘以6即可得到：如图，AC=AB=2dm，∠CDB=120°，切点分别为C，B点，则∠ACD=∠ABD=90°，由切线长定理知，CD=BD。∴△ACD≌△ABD，∠CAD=∠BAD=30°，BD=ABtan30°=dm。∴不能磨到的总面积=（dm2）。故选B。4.（江苏省泰州市2022年4分）下面四个命题中，正确的命题有【】①函数中，当x＞－1时，y随x增大而增大；②如果不等式的解集为空集，则a＞1；③圆内接正方形面积为8cm2，则该圆周长为4πcm；④AB是⊙O的直径，CD是弦，A、B两点到CD的距离分别为10cm、8cm，则圆心到弦CD的距离为9cm。A、1个B、2个C、3个D、4个【答案】A。【考点】二次函数的性质，不等式的解集，梯形中位线定理，垂径定理，正多边形和圆。【分析】①∵，∴图象的对称轴是，开口向上。又∵二次函数的增减性是以对称轴为分界线的，∴当时，图象中y随x增大而减小，当时，图象中是y随x增大而增大。所以①错误。②不等式组的解集为空集，两个不等式的解无公共部分，∴a+1≥2，即a≥1。所以②错误。③∵圆内接正方形面积为8cm2，∴正方形边长为cm。∴根据弦径定理和勾股定理，知圆的半径为2cm。∴该圆周长为4πcm。所以③正确。22\n④根据AB、CD的位置关系，分类求解：如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，A、B两点到CD的距离分别为10cm、8cm，则当弦与直径不垂直时，圆心到弦CD的距离为9cm，当弦与直径垂直时，圆心到弦CD的距离为1cm。所以④错误。因此正确的有1个。故选A。5.（江苏省泰州市2022年4分）圆内接正三角形的一条边所对的圆周角为【】A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【答案】D。【考点】圆周角定理，等边三角形的性质。【分析】根据等边三角形的性质及圆周角定理进行分析，从而得到答案：圆内接正三角形的三个内角均为60°，一条边所对的圆周角有两个且互补，即60°或120°。故选D。6.（江苏省泰州市2022年4分）(03大连)已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2和5，O1O2=7,则⊙O1和⊙O2的位置关系是【】A.外切B.内切C.相交D.相离【答案】A。【考点】圆与圆的位置关系。【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，∵⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=7，∴r1＋r2=5＋2=7=O1O2。∴两圆外切。故选A。7.（江苏省泰州市2022年3分）两圆的半径R、r分别是方程x2－3x＋2=0的两根，且圆心距d=3，则两圆的位置关系为【】A．外切B．内切C．外离D．相交【答案】A。【考点】两圆的位置关系，一元二次方程根与系数的关系。【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，∵半径R、r分别是方程x2－3x＋2=0的两根，∴R+r=3=d。22\n∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知⊙O1与⊙O2的位置关系是外切。故选A。8.（江苏省泰州市2022年3分）如图，一扇形纸片，圆心角∠AOB为120°，弦AB的长为cm，用它围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，则该圆锥底面圆的半径为【】A.cmB．cmC.cmD．cm9.（2022江苏泰州3分）如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A=50°，则∠OCD的度数是【】A．40°B．45°C．50°D．60°【答案】A。【考点】圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理。【分析】连接OB，22\n∵∠A和∠BOC是弧所对的圆周角和圆心角，且∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°。又∵OD⊥BC，∴根据垂径定理，∠DOC=∠BOC=50°。∴∠OCD=1800－900－500=400。故选A。二、填空题1.（江苏省泰州市2022年2分）半径分别为5和3的两圆，圆心距为4，则这两圆公切线的条数为▲.【答案】2。【考点】圆与圆的位置关系。【分析】根据圆心距和两圆半径的关系可得两圆的位置关系，根据位置关系又可得公切线条数：∵5－3＜4＜5＋3，∴两圆相交。∴两圆公切线的条数为2。2.（江苏省泰州市2022年3分）已知圆锥的底面直径为8㎝，母线长为9㎝，则它的表面积是▲㎝2（结果保留）.【答案】52π。【考点】圆锥的计算。【分析】由圆锥的底面直径为8㎝得圆锥的底面半径为4㎝，根据圆锥表面积的计算公式：表面积=底面积＋侧面积=π×底面半径2＋底面周长×母线长，得表面积=π×42+×2π×4×9=52π。3.（江苏省泰州市2022年3分）某工人师傅需要把一个半径为6cm的圆形铁片加工截出边长最大的正六边形的铁片，则此正六边形的边长为▲cm.【答案】6。【考点】正多边形和圆。【分析】根据正六边形的边长与它的外接圆的半径相等知，此正六边形的边长为6cm。4.（江苏省泰州市2022年3分）如下图，圆锥底面圆的直径为6cm，高为4cm，则它的全面积为▲_cm2(结果保留π).【答案】24π。22\n【考点】圆锥的计算，勾股定理【分析】∵底面圆的直径为6cm，∴底面半径=3cm，底面周长=6πcm。又∵高为4cm，∴根据勾股定理，得圆锥的母线长=5cm。∴圆锥表面积=底面积＋侧面积=π×底面半径2＋底面周长×母线长÷2=π×32＋6π×5÷2=24π（cm2）。5.（江苏省泰州市2022年3分）半径分别为6和4的两圆内切，则它们的圆心距为▲_.【答案】2。【考点】圆与圆的位置关系。【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，两圆内切，根据圆心距等于两圆半径之差，得得圆心距=6－4=2。6.（江苏省泰州市2022年3分）用半径为12cm，圆心角为的扇形做成一个圆锥模型的侧面，则此圆锥的高为▲cm（结果保留根号）．【答案】。【考点】圆锥的计算，勾股定理。【分析】已知扇形的圆心角及半径就是已知圆锥的底面周长，从而求出底面半径，底面半径，圆锥的高，母线长即扇形半径，构成直角三角形，可以利用勾股定理解决：∵扇形的弧长即圆锥的底面周长是cm，∴底面半径是5cm。∴圆锥的高是cm。7.（江苏省泰州市2022年3分）分别以梯形ABCD的上底AD、下底BC的长为直径作⊙、⊙，若两圆的圆心距等于这个梯形的中位线长，则这两个圆的位置关系是▲.【答案】外切。【考点】圆与圆的位置关系，梯形中位线定理。【分析】根据梯形中位线定理，中位线等于梯形两底和的一半，即为两圆的半径和；由此可知，两圆的圆心距等于梯形的中位线长，即等于两圆的半径和，则可知两圆外切。8.（江苏省泰州市2022年3分）若O为△ABC的外心，且∠BOC=60º，则∠BAC=▲°.【答案】300或150°。22\n【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理。【分析】因为∠BOC是所对的圆心角，∠BAC是所对的圆周角，所以有两种情况：①∠BAC=∠BOC=300，②∠BAC=（360°－∠BOC）=150°。9.（江苏省2022年3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB．若∠ABD=65°，则∠ADC=▲．【答案】25°。【考点】圆周角定理，平行线的性质，直角三角形两锐角的关系。【分析】∵CD∥AB，∴∠ADC=∠BAD。又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°。又∵∠ABD=65°，∴∠ADC=∠BAD=90°－∠ABD=25°。10.（江苏省2022年3分）已知正六边形的边长为1cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为▲cm（结果保留）．【答案】。【考点】正六边形的性质，扇形弧长公式。【分析】如图，连接AC，则由正六边形的性质知，扇形ABmC中，半径AB=1，圆心角∠BAC=600，∴弧长。由正六边形的对称性，知，所得到的三条弧的长度之和为弧长的6倍，即。11.（江苏省泰州市2022年3分）已知扇形的圆心角为120°，半径为15cm，则扇形的弧长为▲cm（结果保留）．【答案】。【考点】扇形的弧长公式。22\n【分析】将=120，=15代入°圆心角的弧长公式。12.（江苏省泰州市2022年3分）如图在的网格图（每个小正方形的边长均为1个单位长度）中，⊙A的半径为2个单位长度，⊙B的半径为1个单位长度，要使运动的⊙B与静止的⊙A内切，应将⊙B由图示位置向左平移▲个单位长度．【答案】4或6。【考点】两圆的位置关系。【分析】由图形可直观地得到⊙B应向左平移4个或6个单位长度，即可与⊙A内切。13.（江苏省泰州市2022年3分）如图⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为，则弦AC、BD所夹的锐角＝▲．【答案】750。【考点】圆周角定理，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，三角形外角定理。【分析】如图，过点B、C分别作⊙O的直径BE、CF，连接AE、DF、BC。则∵BE、CF分别是⊙O的直径，∴∠BAE=∠CDF=900。在Rt△ABE中，BE=2，AB=，∴。∴。22\n在Rt△CDF中，CF=2，CD=1，∴。∴。又∵∠ACB=∠AEB=450，∠CBD=∠CFD=300，∴=∠ACB＋∠CBD=750。三、解答题1.（2022江苏泰州10分）已知，如图，⊙O的半径为R，锐角△ABC内接于⊙O，且BC=a。（1）求证：；（2）若BC边上的高为AD。求证：。并指出点A在什么位置时的值最大；（3）若，BC=4。求当的值最大时△ABC的面积。【答案】解：（1）证明：过点C作⊙O的直径CE，连接EB。∴∠CBE=900。又∵∠BAC和∠BEC是同弧所对的圆周角，∴∠BAC=∠BEC。在Rt△BEC中，，即，∴。（2）证明：连接AE。∴∠EAC=900。∵AD为BC边上的高，∴∠BDA=900。又∵∠AEC和∠DBA是同弧所对的圆周角，∴∠AEC=∠DBA。∴△AEC∽△DBA。∴，即。∴。当点A是优弧的中点时，AD取得最大值，此时的值最大。22\n（3）连接OB。∵，BC=4。∴由（1）得。∴OA=OB=3。当的值最大时，△ABC为等腰三角形，∵AD为BC边上的高，∴BD=CD=2。∴在Rt△OBD中，由勾股定理，得OD=。∴AD=。∴。【考点】圆周角定理，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理。【分析】（1）过点C作⊙O的直径CE，连接EB，由直径所对圆周角是直角和同弧所对圆周角相等的性质，根据锐角三角函数定义，即可得，从而证得。（2）连接AE，易证△AEC∽△DBA，根据相似三角形对应边成比例的性质，可得，从而。（3）连接OB，由（1）得，得半径OA=OB=3。当的值最大时，△ABC为等腰三角形，由勾股定理，得OD=，从而可得AD=，由BC和AD即可求得△ABC的面积。2.（2022江苏泰州10分）如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于点Q，点R在OA的延长线上，且RP=RQ。（1）求证：RQ是⊙O的切线；（2）求证：；（3）当RA≤OA时，试确定∠B的范围。22\n【答案】解：（1）证明：连接OQ。∵OB=OC，PR=RQ，∴∠OBP=∠OQP，∠RPQ=∠RQP。∵∠OBP+∠BPO=90°，∠BPO=∠RPQ，∴∠OQP+∠RQP=90°，即∠OQR=90°。∴RQ是⊙O的切线。（2）证明：延长AO交⊙O于点C，连接BC，AQ，∵∠BPC=∠QPA，∠BCP=∠AQP，∴△BCP∽△AQP。∴。∴。∴。（3）当RA=OA时，∠R=30°，易得∠B=15°；当R与A重合时，∠B=45°。∵R是OA延长线上的点，∴R与A不重合。∴∠B≠45°。又∵RA≤OA，∴∠B＜45°。∴15°≤B＜45°。【考点】圆的综合题，圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）要证明RQ是⊙O的切线只要证明∠OQR=90°即可。（2）延长AO交⊙O于点C，连接BC，AQ，证明△BCP∽△AQP，从而得到PB•PQ=PC•PA，整理即可得到。（3）分别考虑当RA=OA时或与A重合时，∠B的度数，从而确定其取值范围。3.（江苏省泰州市2022年12分）已知：如图，⊙O和⊙O’相交于A、B两点，AC是⊙O’的切线，交⊙O于C点，连结CB并延长交⊙O’于点F，D为⊙O’上一点，且∠DAB＝∠C，连结DB交延长交⊙O于点E。（1）求证：DA是⊙O的切线；22\n（2）求证：；（3）若BF＝4，CA＝，求DE的长。【答案】解：（3）证明：连接O’O，O’A，OA，AB。AB与O’O相交于点H。∵AC是⊙O’的切线，∴∠O’AC=900。∵AB是两圆的公共弦，∴O’O⊥AB，即∠AHO=900。又∵圆心角∠AOH是AB所对圆心角的一半，∴∠C=∠AOH=900－∠HAO=900－∠BAC－∠CAO。∴∠DAO=∠DAB＋∠BAC＋∠CAO=∠C＋∠BAC＋∠CAO=（900－∠BAC－∠CAO）＋∠BAC＋∠CAO=900。即AO⊥DA。又∵AO是⊙O的半径，∴DA是⊙O的切线。（2）证明：连接AB，AF，FD，AE。∵∠AFB和∠ADB，∠BFD和∠DAB都分别是同弧所对的圆周角，∴∠AFB=∠ADB，∠BFD=∠DAB。又∵∠DAB＝∠C，∴∠AFD=∠AFB＋∠BFD=∠ADB＋∠DAB=∠ADB＋∠C。∵∠ADF和∠ABF是同弧所对的圆周角，∴∠ADF=∠ABF。又∠ABF是△ABC的一个外角，∴∠ABF=∠ADB＋∠C。∴∠ADF=∠ADB＋∠C。∴∠AFD=∠ADF。∴AF=AD。又∵∠AFC=∠ADE，∠C=∠E，∴△ABE≌△AFC（AAS）。∴DE=FC。又∵AC是⊙O’的切线，DA是⊙O的切线，22\n∴根据切线长定理，得，。∴。（3）∵，BF＝4，CA＝，∴，即。解得=9（已舍去负值）。由（2）知，DE=FC。∴DE=9。4.（江苏省泰州市2022年10分）已知：如图，⊙O与⊙O1内切于点A，AO是⊙O1的直径，⊙O的弦AC交⊙O1于点B，弦DF经过点B且垂直于OC，垂足为点E.⑴求证：DF与⊙O1相切.（3分）⑵求证：2AB2=AD·AF.（3分）⑶若AB=，cos∠DBA=，求AF和AD的长.（4分）22\n【答案】解：（1）证明：连接O1B，∵O1B=O1A，∴∠O1AB=∠O1BA。∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA。∴∠O1BA=∠OCA。∴O1B∥OC。∵OC⊥DF，∴O1B⊥DF。∴DF与⊙O1相切。（2）证明：连接OB，则OB⊥AC，∴AC=2AB=2BC。∵OC⊥DF，∴。∴∠CAD=∠CAF。∵∠D=∠ACF，∴△ABD∽△AFC。∴。∵AC=2AB，∴2AB2=AD•AF。（3）∵Rt△BEC中，BC=AB=，cos∠CBE=cos∠DBA=，∴BE=BCcos∠CBE=2，。∵Rt△BEC∽Rt△OBC，∴，即。∴。∵Rt△BEC∽Rt△OEB，∴，即。∴OE=1。连接OF，在Rt△OEF中，OF=OC=5，OE=1，根据勾股定理有。∴。∵弧，∴∠CAF=∠BFC。∴△ACF∽△FCB。∴CF2=CB•CA=2AB2=40。∴CF=。∴，即，∴。22\n由（2）知：2AB2=AD•AF，即，∴。【考点】圆周角定理，平行的判定和性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，勾股定理。【分析】（1）连接O1B，证O1B⊥DF即可，由于OC⊥DF，因此只需证O1B∥OC即可。可通过不同圆中圆的半径对应的角相等来求得，由此可得证。（2）通过证△ABD和△AFC相似来求解．连接OB，则OB⊥AC，因此可根据垂径定理得出AC=2AB，那么通过两三角形相似得出的，即可得出所求的结论。（3）先求出BF的长，然后根据△FCB和ACF△得出的CF2=CB•CA，求出CF的长，还是这两个相似三角形，根据求出AF的长，从而可根据（2）的结果求出AD的长。5.（江苏省泰州市2022年12分）如图,B为线段AD上一点,△ABC和△BDE都是等边三角形,连结CE并延长交AD的延长线于点F,△ABC的外接圆⊙O交CF于点M.（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）求证：AC2＝CM·CF；（3）若CM＝,MF＝,求BD；（4）若过点D作DG∥BE交EF于点G,过G作GH∥DE交DF于点H,则易知△DGH是等边三角形.设等边△ABC、△BDE、△DGH的面积分别为S1、S2、S3,试探究S1、S2、S3之间的等量关系,请直接写出其结论.【答案】解：（1）证明：连结OB。　∵△ABC和△BDE都是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠CAB＝∠ABC＝∠EBD＝60°，且∠OBC＝30°。又∵∠CBE＝180°－60°－60°＝60°，∴∠OBE＝30°＋60°＝90°，即OB⊥BE。∴BE是⊙O的切线。22\n（2）证明：连结AM，则∠AMC＝∠ABC＝∠CAF＝60°。又∵∠ACM＝∠FCA，∴△ACM∽△FCA。∴。∴AC2＝CM·CF。（3）由AC2＝CM·CF，CM＝，MF＝，得AC2＝CM·（CM＋MF），解得AC＝2。∴AB=AC=2。设FB＝x，由FB·FA＝FM·FC，得，解得，（舍去）。∴FB＝4。由EB∥AC，得，∴。∴BE＝。∴BD＝。（4）或。【考点】切线的判定，等边三角形的性质，切割线定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，代数式化简。【分析】（1）连接OB，证明∠OBE=90°即可。（2）欲证AC2=CM•CF，即证AC：CF=CM：AC，连接AM，通过证明△ACM∽△FCA可以得出。（3）由（2）的结论先求出AC的长，再根据割线定理得出FB•FA=FM•FC，求出FB，再由EB∥AC得出BE：AC=FB：FA，求出BE，得出BD的长。（4）探究S1、S2、S3之间的等量关系：如图，易知△ABC、△BDE、△DGH都是等边三角形，设△ABC、△BDE、△DGH边长分别为，HF为。由AC∥BE∥DG，得△ACF∽△BEF∽△DGF。∴，即。22\n由得，由得。∴，去分母，得，即。又由△ABC∽△BDE∽△DGH，根据相似三角形面积比是相似比的平方得。∴S1、S2、S3之间的等量关系为或6.（江苏省泰州市2022年9分）如图，AB切⊙O于点B，OA交⊙O于C点，过C作DC⊥OA交AB于D，且BD：AD=1：2.（1）求∠A的正切值;（3分）（2）若OC=1，求AB及的长.（6分）【答案】解：（1）∵DC⊥OA，OC为半径．∴DC为⊙O的切线。又∵AB为⊙O的切线，∴DC=DB。在Rt△ACD中，∵sinA=，BD：AD=1：2。∴sinA=。∴∠A=30°。∴tanA=（2）连结OB。∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB。在Rt△AOB中∵tanA=，OB=1，∴AB=。22\n∵∠A=30°，∴∠O=60°。∴。【考点】切线的判定和性质，锐角三角函数定义，弧长的计算。【分析】（1）易知DB、DC都是⊙O的切线，由切线长定理可得DB=DC，那么结合已知条件则有：DC：AD=1：2；即Rt△ACD中，sinA=，由此可求出∠A的度数，多而可的∠A的正切值。（2）连接OB．在构建的含30°角的Rt△OBA中，已知了OB=OC=1，可求出AB的长及∠BOC的度数，从而可根据弧长公式求出的长。7.（江苏省泰州市2022年9分）已知：∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心、2为半径作⊙O，交AN于D、E两点，设AD=，⑴如图⑴当取何值时，⊙O与AM相切；⑵如图⑵当为何值时，⊙O与AM相交于B、C两点，且∠BOC=90°．【答案】解：（1）如图1，过点O作OF⊥AM于点F。当OF=r=2时，⊙O与AM相切，此时OA=OF÷sin30°=4，∴AD=OA－OD=4－2=2。∵以上步骤是可逆的，∴当=AD=2时，⊙O与AM相切。 （2）如图2，过点O点作OG⊥AM于点G。∵OB=OC=2，∠BOC=90°，OG⊥AM，∴BG=CG=OG=，BC=2。又∵在Rt△AOG中,∠MAN=30°，OG=，∴OA=2。∴AD=OA－OD=2－2。∵以上步骤是可逆的，∴当x=AD=2－2时，⊙O与AM相交于B、C两点，且∠BOC=90°。22\n【考点】切线的判定的性质，垂径定理，勾股定理和逆定理，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，等腰直角三角形的性质。【分析】（1）过O作OF⊥AM于F，根据切线的概念，切线到圆心的距离等于半径故当OF=r=2时，⊙O与AM相切，然后解直角三角形求得AD的值。（2）过O点作OG⊥AM于G，证得△OBC，△BGO与△CGO是等腰直角三角形，再解直角三角形，求得AD的值。8.（江苏省泰州市2022年9分）已知：如图，△ABC中，CA=CB，点D为AC的中点，以AD为直径的⊙O切BC于点E，AD=2．（1）求BE的长；（2）过点D作DE∥BC交⊙O于点F，求DF的长．【答案】解：（1）如图，连接OE交FD于点G，∵点D为AC的中点，AD=2，AD为⊙O的直径，∴OC=3。OE=OA=OC=1。∵BC切⊙O于E，∴OE⊥BC.∴。∴BE=4－。（2）∵DF∥BC，∴△OGD∽△OEC。∴，即。∴GD=。∵OE⊥BC，DF∥BC，∴OE⊥FG。∴。【考点】切线的性质，勾股定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）根据AD=2，AD=CD可以得到OC，OE的长，根据勾股定理得到就可以求出CE的长。（2）过点OG⊥DF与G，则DG=FD，可以证明△OGD∽△OEC，然后利用相似三角形的对应边成比例可以求出DG，也就可以求出DF。9.（江苏省泰州市2022年9分）22\n如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE，△ABE与△ADC相似吗？请证明你的结论.【答案】解：△ABE与△ADC相似。证明如下：∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°。∵AD是△ABC的边BC上的高，∴∠ADC=90°。∴∠ABE=∠ADC。又∵∠AEB=∠ACD，∴△ABE∽△ADC。【考点】圆周角定理，相似三角形的判定。【分析】由AE是直径可得∠ABE是直角，所以∠ABE=∠ADC，由∠C、∠E是同弧所对的圆周角可得∠C=∠E，所以△ABE与△ADC相似。10.（江苏省泰州市2022年10分）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD的边BC为大圆的弦，边AD与小圆相切于点M，OM的延长线与BC相交于点N。（1）点N是线段BC的中点吗？为什么？（2）若圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圆的半径。【答案】解：（1）点N是线段BC的中点，理由如下：∵AD与小圆相切于点M，∴ON⊥AD。又∵AD∥BC，∴ON⊥BC。∴点N是线段BC的中点。（2）连接OB,设小圆的半径为r，则ON＝r＋5，OB＝r＋6，且BN＝5。在Rt△OBN中：5²＋(r＋5)²＝(r＋6)²解得：r＝7cm。答：小圆的半径为7cm。【考点】弦径定理，矩形的性质，勾股定理。22\n【分析】(1)要证点N是线段BC的中点，只要证ON⊥BC，由已知边AD与小圆相切于点M知ON⊥AD，而ABCD是矩形对边平行，从而有ON⊥BC,根据垂直于弦的直径平分弦的弦径定理得证。（2）根据已知条件，利用勾股定理求解。11.（2022江苏泰州12分）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；（2）若PC=，求⊙O的半径和线段PB的长；（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．【答案】解：（1）AB=AC。理由如下：连接OB。∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA=∠OAC=90°。∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPB=90°。∵OP=OB，∴∠OBP=∠OPB。∵∠OPB=∠APC，∴∠ACP=∠ABC。∴AB=AC。（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则由OA=5得，OP=OB=r，PA=5－r。又∵PC=，∴。由（1）AB=AC得，解得：r=3。∴AB=AC=4。∵PD是直径，∴∠PBD=90°=∠PAC。22\n∵∠DPB=∠CPA，∴△DPB∽△CPA。∴，即，解得。（3）作线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，则OE=AC=AB=。又∵圆O要与直线MN交点，∴OE=≤r，∴r≥。又∵圆O与直线l相离，∴r＜5。∴⊙O的半径r的取值范围为≤r＜5．22