【中考12年】江苏省苏州市2001-2022年中考数学试题分类解析 专题11 圆

2022-2022年江苏苏州中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题11：圆一、选择题1.（2022江苏苏州3分）如图，已知∠AOB=30°，P为边OA上一点，且OP=5 cm，若以P为圆心，r为半径的圆与OB相切，则半径r为【】A．5cmB．cmC．cmD．cm【答案】C。【考点】直线与圆的位置关系，含30度角直角三角形的性质。【分析】作PD⊥OB于D，∵在直角三角形POD中，∠AOB=30°，P为边OA上一点，且OP=5 cm，∴PD=（cm）。∵根据直线和圆相切，则圆的半径等于圆心到直线的距离，∴r=cm。故选C。2.（2022江苏苏州3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，以AC为直径作圆与斜边交于点P，则BP的长为【】A．6.4B．3.2C．3.6D．8【答案】C。【考点】圆周角定理，相似三角形的判定和性质。【分析】连接PC，∵AC是直径，∴∠APC=90°。21用心爱心专心\n∵在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，∴∠APC=∠ACB=90°。∵∠A=∠A，∴△APC∽△ACB。∴，即。∴PA=6.4。∴PB=AB－PA=10－6.4=3.6。故选C。3.（江苏省苏州市2022年3分）如图，⊙O的弦AB=8cm，弦CD平分AB于点E。若CE=2cm，则ED长为【】A.8cmB.6cmC.4cmD.2cm【答案】A。【考点】相交弦定理【分析】根据相交弦定理求解：根据相交弦定理，得AE•BE=CE•ED，即ED=（cm）。故选A。4.（江苏省苏州市2022年3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=1600，则∠BCD=【】A.B.C.D.【答案】B。【考点】圆内接四边形的性质，圆周角定理。【分析】根据同弧所对的圆周角与圆心角的关系，易求得圆周角∠BAD的度数；由于圆内接四边形的内对角互补，则∠BAD+∠BCD=180°，由此得解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD=180°。又∵∠BAD=∠BOD=80°，∴∠BCD=180°－∠BAD=100°。故选B。5.（江苏省苏州市2022年3分）如图，⊙O的内接△ABC的外角∠ACE的平分线交⊙O于点D。DF⊥AC，垂足为F，DE⊥BC，垂足为E。21用心爱心专心\n给出下列4个结论：①CE=CF，②∠ACB=∠EDF，③DE是⊙O的切线，④。其中一定成立的是【】A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④【答案】D。【考点】角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平角定义，四边形内角和定理，切线的判定，圆周角定理。【分析】①∵CD是∠ACE的平分线，∴∠DCE=∠DCF。∵DF⊥AC，DE⊥BC，∴∠DEC=∠DFC=900。又∵DC=DC，∴△CDE≌△CDF（AAS）。∴CE=CF。∴①正确。②∵根据四边形内角和定理∠ACE＋∠EDF＋∠DEC＋∠DFC=3800和∠DEC=∠DFC=900，∴∠ACE+∠EDF=180°。又∵∠ACB+∠ACE=180°，∴∠ACB=∠EDF。∴②正确。③如图，连接OD、OC，则∠ODC=∠OCD。∴∠ODE=∠OCD＋∠CDE=∠OCD＋900－∠DCE=∠DCA－∠OCF＋900－∠DCE=900－∠OCF≠900。∴DE不是⊙O的切线。∴③错误。【只有当∠OCF=0，即AC是圆的直径时，DE才是⊙O的切线。同样可证，当圆心O在△ABC内时，∠ODE=900＋∠OCF≠900，DE也不是⊙O的切线。】④如图，连接AD，BD。根据圆内接四边形的外角等于内对角得∠DCE=∠DAB，又∵∠DCE=∠DCF，∠DCA=∠DBA，∴∠DAB=∠DBA＜900。∴。综上所述，①②④正确。故选D。21用心爱心专心\n6.（江苏省苏州市2022年3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=700，则∠BOD=【】A.350B.700C.1100D.1400【答案】D。【考点】圆内接四边形的性质，圆周角定理。【分析】根据圆的内接四边形外角等于内对角求出∠A=∠DCE=70°，再根据同弧所对圆心角等于圆周角一半的圆周角定理，可求∠BOD=2∠A=140°。故选D。7.（江苏省苏州市2022年3分）如图，AB是⊙的直径，弦CD垂直平分OB，则∠BDC=【】Ａ。15°Ｂ。20°Ｃ。30°Ｄ。45°【答案】【考点】圆周角定理，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质。【分析】连接OC，BC，∵弦CD垂直平分OB，∴根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，得OC=BC。又∵OC=OB，∴△OCB是等边三角形。∴∠COB=60°。∴根据同弧所对圆周角是圆心角一半的圆周角定理，得∠D=30°。故选C。8.（江苏省苏州市2022年3分）如图．AB为⊙O的直径，AC交⊙O于E点，BC交⊙O于D点，CD=BD，∠C=70°．现给出以下四个结论：①∠A=45°；②AC=AB：③；④CE·AB=2BD2．21用心爱心专心\n其中正确结论的序号是【】A．①②B．②③C．②④D．③④9.（2022江苏苏州3分）一组数据2，4，5，5，6的众数是【】A.2B.4C.5D.6【答案】C。【考点】众数。【分析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中，出现次数最多的是5，故这组数据的众数为5。故选C。4.（2022江苏苏州3分）如图，一个正六边形转盘被分成6个全等三角形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止时，指针指向阴影区域的概率是【】21用心爱心专心\nA.B.C.D.【答案】B。【考点】几何概率。【分析】确定阴影部分的面积在整个转盘中占的比例，根据这个比例即可求出转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率：转动转盘被均匀分成6部分，阴影部分占2份，转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是。故选B。二、填空题1.（2022江苏苏州2分）已知两圆的半径分别为12和7，若两圆外离，则两圆圆心距d的范围是▲。【答案】d＞19。【考点】两圆的位置关系。【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，若两圆外离，则两圆圆心距d＞12＋7=19。2.（2022江苏苏州2分）弯制管道时，先按中心线计算其“展直长度”，再下料．根据如图所示的图形可算得管道的展直长度为▲mm．（单位：mm，精确到1mm）。【答案】389mm。【考点】弧长的计算。【分析】管道的展直长度实际上就是弧长，所以利用弧长公式即可求出：21用心爱心专心\n管道的展直长度为（mm）。3.（江苏省苏州市2022年2分）底面半径为2cm，高为3cm的圆柱的体积为▲（结果保留）【答案】12π。【考点】圆柱的计算。【分析】根据圆柱的体积=底面积×高，得：圆柱的体积=π×22×3=12π。4.（江苏省苏州市2022年3分）如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中，B点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为▲。【答案】（2，0）。【考点】定圆的条件，坐标与图形性质，垂径定理。【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心。则圆心是（2，0），如图所示：5.（江苏省苏州市2022年3分）如图，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为▲cm2（结果保留）【答案】。【考点】扇形面积的计算。【分析】把相应数值代入求值即可：。6.（江苏省2022年3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB．若∠ABD=65°，则∠ADC=▲．21用心爱心专心\n【答案】25°。【考点】圆周角定理，平行线的性质，直角三角形两锐角的关系。【分析】∵CD∥AB，∴∠ADC=∠BAD。又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°。又∵∠ABD=65°，∴∠ADC=∠BAD=90°－∠ABD=25°。7.（江苏省2022年3分）已知正六边形的边长为1cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为▲cm（结果保留）．【答案】。【考点】正六边形的性质，扇形弧长公式。【分析】如图，连接AC，则由正六边形的性质知，扇形ABmC中，半径AB=1，圆心角∠BAC=600，∴弧长。由正六边形的对称性，知，所得到的三条弧的长度之和为弧长的6倍，即。8.（江苏省苏州市2022年3分）如图，在4×4的方格纸中(共有16个小方格)，每个小方格都是边长为1的正方形．、、分别是小正方形的顶点，则扇形的弧长等于▲．(结果保留根号及)．【答案】。【考点】扇形的弧长公式。21用心爱心专心\n【分析】由图形可知，扇形的半径，根据扇形的弧长公式可计算出弧长为：。9.（江苏省苏州市2022年3分）如图，已知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使得AC＝3BC，CD与⊙O相切，切点为D．若CD＝，则线段BC的长度等于▲．【答案】1。【考点】圆的切线性质，勾股定理。【分析】连接OD,则由圆的切线性质得OD⊥CD，由AC＝3BC有OC＝2BC＝2OB。∴Rt△CDO中,根据勾股定理有。10.（2022江苏苏州3分）已知扇形的圆心角为45°，弧长等于，则该扇形的半径是▲.【答案】2。【考点】弧长的计算。【分析】根据弧长的公式，得，即该扇形的半径为2。三、解答题1.（2022江苏苏州6分）如图，已知AB是半圆O的直径，AP为过点A的半圆的切线。在上任取一点C（点C与A、B不重合），过点C作半圆的切线CD交AP于点D；过点C作CE⊥AB，垂足为E．连接BD，交CE于点F。（1）当点C为的中点时（如图1），求证：CF=EF；（2）当点C不是21用心爱心专心\n的中点时（如图2），试判断CF与EF的相等关系是否保持不变，并证明你的结论。【答案】解：（1）证明：∵DA是切线，AB为直径，∴DA⊥AB。∵点C是的中点，且CE⊥AB，∴点E为半圆的圆心。又∵DC是切线，∴DC⊥EC。又∵CE⊥AB，∴四边形DAEC是矩形。∴CD∥AO，CD=AD。∴，即EF=AD=EC。∴F为EC的中点，CF=EF。（2）CF=EF保持不变。证明如下：如图，连接BC，并延长BC交AP于G点，连接AC，∵AD、DC是半圆O的切线，∴DC=DA。∴∠DAC=∠DCA。∵AB是直径，∴∠ACB=90°。∴∠ACG=90°。∴∠DGC+∠DAC=∠DCA+∠DCG=90°。∴∠DGC=∠DCG。∴在△GDC中，GD=DC。∵DC=DA，∴GD=DA。∵AP是半圆O的切线，∴AP⊥AB。又∵CE⊥AB，∴CE∥AP。∴△BCF∽△BGD，△BEF∽△BAD。∴。∵GD=AD，∴CF=EF。【考点】探究型，圆的综合题，切线的性质，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由题意得DA⊥AB，点E为半圆的圆心，DC⊥EC，可得四边形DAEC是矩形，即可得出21用心爱心专心\n，即可得EF与EC的关系，可知CF=EF。（2）连接BC，并延长BC交AP于G点，连接AC，由切线长定理可得DC=DA，∠DAC=∠DCA，由角度代换关系可得出∠DGC=∠DCG，即可得GD=DC=DA，由已知可得CE∥AP，所以，即可知CF=EF。2.（江苏省苏州市2022年7分）已知：⊙与⊙外切于点，过点的直线分别交⊙、⊙于点、，⊙的切线交⊙于点、，为⊙的弦，（1）如图（1），设弦交于点，求证：；（2）如图（2），当弦绕点旋转，弦的延长线交直线B于点时，试问：是否仍然成立？证明你的结论。【答案】解：（1）证明：连结，过点作⊙与⊙的公切线。∴。又∵是⊙的切线，∴。又∵，∴。又∵，∴。∴，即。（2）仍成立。证明如下：连结，过点作⊙和⊙的公切线。∵是⊙的切线，∴。∴。∴。又∵，∴。又∵，∴。∴，即。【考点】相切两圆21用心爱心专心\n切线的性质，弦切角定理，切线长定理，等腰三角形的性质，对顶角的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）连结，过点作⊙与⊙的公切线。根据弦切角定理可得，由也是⊙的切线，根据切线长定理可得，从而根据等腰三角形等边对等角的性质，得到，由对顶角相等的性质，得到。又，从而，根据相似三角形的性质即可证明。（2）同（1）可以证明。3.（江苏省苏州市2022年7分）如图，已知AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点D，AC＝10，BC＝6，求AB和CD的长。【答案】解：∵AB是⊙O直径，BC是⊙O的切线，∴BC⊥AB。∴在Rt△ABC中，。∵CA是⊙O的割线，∴CD•CA=BC2。∴CD×10=62，∴CD=3.6。【考点】切线的性质，切割线定理，勾股定理。【分析】由AB是⊙O直径，BC是⊙O的切线可以得到BC⊥AB，利用勾股定理在Rt△ABC中可以求出AB的长，又由CA是⊙O的割线看得到BC2=CD•CA，根据这个等式可即可求出CD。【没有学习切割线定理的，可连接BC，根据直径所对圆周角是直角的圆周角定理知∠ADB=900，从而根据△BCD∽△ACB得对应边成比例而求出CD。】4.（江苏省苏州市2022年7分）如图1，⊙O的直径为AB，过半径OA的中点G作弦CE⊥AB，在上取一点D，分别作直线CD、ED，交直线AB于点F、M。（1）求∠COA和∠FDM的度数；（2）求证：△FDM∽△COM；（3）如图2，若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在上，仍作直线CD、ED，分别交直线AB于点F、M。试判断：此时是否仍有△FDM∽△COM？证明你的结论。21用心爱心专心\n【答案】解：（1）∵AB为直径，CE⊥AB，∴，CG=EG。在Rt△COG中，∵OG=OC，∴∠OCG=30°。∴∠COA=60°。又∵∠CDE的度数=的度数=的度数=∠COA的度数=60°，∴∠FDM=180°－∠CDE=120°。（2）证明：∵∠COM=180°－∠COA=120°，∴∠COM=∠FDM。在Rt△CGM和Rt△EGM中，，∴Rt△CGM≌Rt△EGM（HL）。∴∠GMC=∠GME。又∵∠DMF=∠GME，∴∠GMC=∠DMF。∴△FDM∽△COM。 （3）结论仍成立。证明如下：∵∠EDC的度数=的度数=的度数=∠COA的度数，∴∠FDM=180°－∠COA=∠COM。∵AB为直径，∴CE⊥AB。在Rt△CGM和Rt△EGM中，∴Rt△CGM≌Rt△EGM（HL）。∴∠GMC=∠GME。∴△FDM∽△COM。【考点】圆周角定理，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角的关系，平角定义，直角三角形全等的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定。【分析】（1）由于CG⊥OA，根据垂径定理可得出，，那么根据圆周角定理可得出∠CDE=∠COA，在Rt△COG中，可根据OG是半径的一半得出∠AOC是60°，那么就能得出∠FDM=180°－∠CDE=120°。（2）在（1）中根据垂径定理得出OA是CE的垂直平分线，那么△CMG和△BMG就应该全等，可得出∠CMA=∠EMG，也就可得出∠CMO=∠FMD，在（1）中已经证得∠AOC=∠EDC=60°，那么∠COM=∠MDF，因此两三角形相似。21用心爱心专心\n（3）可按（2）的方法得出∠DMF=∠CMO，关键是再找出一组对应角相等，还是用垂径定理来求，根据垂径定理我们可得出，那么∠AOC=∠EDC，根据等角的余角相等即可得出∠COM=∠FDM，由此可证出两三角形相似。5.（江苏省苏州市2022年6分）如图，⊙O2与⊙O1的弦BC切于C点，两圆的另一个交点为D，动点A在⊙O1，直线AD与⊙O2交于点E，与直线BC交于点F。（1）如图1，当A在弧CD上时，求证：①△FDC∽△FCE；②AB∥EC；（2）如图2，当A在弧BD上时，是否仍有AB∥EC？请证明你的结论。【答案】解：（1）证明：①∵BC为⊙O2的切线，∴∠D=∠FCE。又∵∠F=∠F，∴△FDC∽△FCE。②在⊙O1中，∠B=∠D，∠D=∠FCE，∴∠FCE=∠B。∴AB∥EC。 （2）仍有AB∥EC。证明如下：∵四边形ABCD是⊙O1的内接四边形，∴∠FBA=∠FDC。∵BC为⊙O2的切线，∴∠FCE=∠FDC。∴∠FCE=∠FBA。∴AB∥EC。【考点】弦切角定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定，平行线的判定。【分析】（1）①在△FDC与△FCE中，由弦切角定理得：∠D=∠FCE，已知公共角∠F，由此可判定两三角形相似。②根据平行线的判定，只需证明∠FCE=∠B；①中证得∠D=∠FCE，而⊙O1中，根据圆周角定理，可得∠D=∠B，将等角代换可得出∠B=∠FCE，由此得证。（2）根据平行线的判定，只需证明∠FCE=∠FBA，思路同（1）②，根据圆内接四边形的性质，得∠FBA=∠FDC；由弦切角定理，得∠FCE=∠FDC，将等角代换后可证得所求的结论。6.（江苏省苏州市2022年6分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D是⊙O上的一点，且AD∥CO。21用心爱心专心\n（1）求证：△ADB∽△OBC；（2）若AB=2，BC=，求AD的长。（结果保留根号）【答案】解：（1）∵AD∥OC，∴∠A=∠COB。又∵AB是直径，BC是⊙O的切线，∴∠D=∠OBC=90°。∴△ADB∽△OBC。 （2）在Rt△OBC中，OB=AB=1，BC=，∴OC=∵△ADB∽△OBC，∴，即。∴。【考点】相似三角形的判定和性质，圆周角定理，切线的性质，勾股定理。【分析】（1）根据平行线的性质得∠A=∠COB，根据直径所对的圆周角是直角得∠D=∠OBC，就可以判定△ADB∽△OBC。（2）根据相似三角形的对应边成比例可以计算出OC的长。7.（江苏省苏州市2022年7分）如图①，△ABC内接于⊙O，且∠ABC＝∠C，点D在弧BC上运动．过点D作DE∥BC．DE交直线AB于点E，连结BD．(1)求证：∠ADB=∠E；(2)求证：AD2=AC·AE；(3)当点D运动到什么位置时，△DBE∽△ADE请你利用图②进行探索和证明【答案】解：（1）证明：∵DE∥BC，∴∠ABC=∠E。∵∠ADB，∠C都是AB所对的圆周角，∴∠ADB=∠C。又∠ABC=∠C，∴∠ADB=∠E。 （2）证明：∵∠ADB=∠E，∠BAD=∠DAE，∴△ADB∽△AED。21用心爱心专心\n∴，即AD2=AB•AE。又∵∠ABC=∠C，∴AB=AC，∴AD2=AC•AE。（3）点D运动到弧BC中点时，△DBE∽△ADE。证明如下：∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC。∵∠DBC所对的是弧，∠EAD所对的是弧，且，∴∠DBC=∠EAD。∴∠EDB=∠EAD。又∠DEB=∠AED，∴△DBE∽△ADE。【考点】圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由DE∥BC，可得∠ABC=∠E；由∠ADB，∠C都是AB所对的圆周角，得∠ADB=∠C；又∠ABC=∠C，因此∠ADB=∠E。（2）由∠ABC=∠C得AB=AC；由△ADB∽△AED得；即AD2=AB•AE=AC•AE。（3）点D运动到弧BC中点时，△DBE∽△ADE。由，得∠BAD=∠DBC；由DE∥BC，得∠EDB=∠DBC；又∠BDE=∠BAD，因此△DBE∽△ADE。8.（江苏省苏州市2022年8分）如图，BC是⊙O的直径，点A在圆上，且AB=AC=4．P为AB上一点，过P作PE⊥AB分别BC、OA于E、F(1)设AP=1，求△OEF的面积．(2)设AP=a(0＜a＜2)，△APF、△OEF的面积分别记为S1、S2。①若S1=S2，求a的值；②若S=S1+S2，是否存在一个实数a，使S＜?若存在，求出一个a的值；若不存在，说明理由．【答案】解：(1)∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°。又∵AB=AC，∴∠B=∠C=45°。21用心爱心专心\n∵OA⊥BC，∴∠B=∠1=45°。∵PE⊥AB，∴∠2=∠1=45°。∴∠4=∠3=45°。则△APF、△OEF与△OAB均为等腰直角三角形。∵AP=l，AB=4，∴AF=,OA=。∴OE=OF=。∴△OEF的面积为。(2)①∵PF=AP=a．∴AF=．OE=OF=一。∴，∵S1=S2，∴，解得。∵，∴。②不存在。理由如下：∵，∴当时，S取得最小值为。∵，∴不存在这样实数a，使S＜。【考点】圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，二次函数的最值。【分析】(1)根据已知条件，证出△APF、△OEF与△OAB均为等腰直角三角形即易求出△OEF的面积。（2）①由S1=S2列出方程，解之即可。②求出S关于的函数关系式，由二次函数的最值求出S的最小值，与比较即可。9.（江苏省苏州市2022年9分）)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BM平分∠ABC交AC于M，以A为圆心，AM为半径作OA交BM于N，AN的延长线交BC于D，直线AB交OA于P、K两点．作MT⊥BC于T(1)求证AK=MT；(2)求证：AD⊥BC；(3)当AK=BD时，求证：．21用心爱心专心\n【答案】证明：（1）∵∠BAC=90°，BM平分∠ABC交AC于M，MT⊥BC，∴AM=MT。又∵AM=AK，∴AK=MT。（2）∵BM平分∠ABC交AC于M，∴∠ABM=∠CBM。又∵AM=AN，∴∠AMN=∠ANM。又∵∠ANM=∠BND，∴∠AMN=∠BND。∵∠BAC=900，∴∠ABM＋∠AMB=900。∴∠CBM＋∠BND=900。∴∠BDN=900。∴AD⊥BC。（3）∵BNM和BPK是⊙A的割线，∴BN·BM=BP·BK。即。∵AK=BD，AK=MT，∴BD=MT。∵AD⊥BC，MT⊥BC，∴∠ADB=∠MTC=900。∴∠C＋∠CMT=900。∵∠BAC=900，∴∠C＋∠ABC=900。∴∠ABM=∠CMT。在△ABD和△CMT中，∵，∴△ABD≌△CMT（ASA）。∴AB=MC。∵AK=AM，∴AB＋AK=MC＋AM，即BK=AC。∴。【考点】角平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，对顶角的性质，垂直的判定，割线长定理，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边距离相等的性质，有AM=MT，从而由圆的半径相等结论。（2）由已知，根据角平分线的性质、等腰三角形的性质和对顶角的性质即能得到∠CBM＋∠BND=900的结论，从而根据三角形内角和定理得到∠BDN=900，即AD⊥BC。（3）根据割线长定理，有，故只要证得BK=AC即可证得结论。由△ABD≌△CMT可得AB=MC，由圆半径相等得AK=AM，从而AB＋AK=MC＋AM，即BK=AC。10.（江苏省苏州市2022年8分）21用心爱心专心\n如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交于⊙O于点D，连接AD．(1)弦长AB等于▲（结果保留根号）；(2)当∠D＝20°时，求∠BOD的度数；(3)当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程．【答案】解:(1)。（2）∵∠BOD是△BOC的外角，∠BCO是△ACD的外角，∴∠BOD＝∠B＋∠BCO，∠BCO＝∠A＋∠D。∴∠BOD＝∠B＋∠A＋∠D。又∵∠BOD和∠A分别是弧BD所对的圆心角和圆周角，∴∠BOD＝2∠A。又∵∠B＝30°，∠D＝20°，∴2∠A＝∠A＋30°＋20°，即∠A＝50°。∴∠BOD＝2∠A＝100°。（3）∵∠BCO＝∠A＋∠D，∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D。∴要使△DAC∽△BOC，只能∠DCA＝∠BCO＝90°。此时∠BOC＝60°，∠BOD＝120°，∴∠DAC＝60°。∴△DAC∽△BOC。∵∠BCO＝90°，即OC⊥AB，∴AC＝AB＝。∴当AC＝时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似。【考点】弦径定理,直角三角函数,圆周角定理,三角形外角定理，相似三角形的判定。【分析】(1)由OB＝2，∠B＝30°知。(2)由∠BOD是圆心角,它是圆周角A的两倍,而得求。(3)要求AC的长度为多少时，△DAC∽△BOC，只能∠DCA＝∠BCO＝90°，据此可求。11.（2022江苏苏州8分）如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为.21用心爱心专心\n⑴当时，求弦PA、PB的长度；⑵当x为何值时，的值最大？最大值是多少？【答案】解：（1）∵⊙O与直线l相切于点A，AB为⊙O的直径，∴AB⊥l。又∵PC⊥l，∴AB∥PC.∴∠CPA=∠PAB。∵AB为⊙O的直径，∴∠APB=90°。∴∠PCA=∠APB.∴△PCA∽△APB。∴，即PA2=PC·PD。∵PC=，AB=4，∴。∴在Rt△APB中，由勾股定理得：。（2）过O作OE⊥PD，垂足为E。∵PD是⊙O的弦，OF⊥PD，∴PF=FD。在矩形OECA中，CE=OA=2，∴PE=ED=x－2。∴CD=PC－PD=x－2（x－2）=4－x。∴。∵∴当时，有最大值，最大值是2。【考点】切线的性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，矩形的判定和性质，二次函数的最值。【分析】（1）由直线l与圆相切于点A，且AB为圆的直径，根据切线的性质得到AB垂直于直线l，又PC垂直于直线l，根据垂直于同一条21用心爱心专心\n直线的两直线平行，得到AB与PC平行，根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△PCA与△PAB相似，由相似得比例，将PC及直径AB的长代入求出PA的长，在Rt△APB中，由AB及PA的长，利用勾股定理即可求出PB的长。（2）过O作OE垂直于PD，与PD交于点E，由垂径定理得到E为PD的中点，再由三个角为直角的四边形为矩形得到OACE为矩形，根据矩形的对边相等，可得出EC=OA=2，用PC-EC的长表示出PE，根据PD=2PE表示出PD，再由PC-PD表示出CD，代入所求的式子中，整理后得到关于x的二次函数，配方后根据自变量x的范围，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值。21用心爱心专心