2019年山东省济南市中考数学试卷
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2019年山东省济南市中考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.−7的相反数是（）1A.−7B.−C.7D.17【答案】C2.以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是()A.B.C.D.【答案】D3.2019年1月3日，“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面东经177.6度、南纬45.5度附近，实现了人类首次在月球背面软着陆．数字177.6用科学记数法表示为（）A.0.1776×103B.1.776×102C.1.776×103D.17.76×102【答案】B4.如图，DE//BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70∘，则∠CBE的度数为()A.20∘B.35∘C.55∘D.70∘【答案】B5.实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（）A.a−5>b−5B.6a>6bC.−a>−bD.a−b>0【答案】C试卷第1页，总15页,6.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.赵爽弦图B.笛卡尔心形线C.科克曲线D.斐波那契螺旋线【答案】C417.化简+的结果是()x2−4x+2221A.x−2B.C.D.x+2x−2x−2【答案】D8.在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，则这7次成绩的中位数和平均数分别是（）A.9.7m，9.9mB.9.7m，9.8mC.9.8m，9.7mD.9.8m，9.9m【答案】Ba9.函数y＝−ax+a与y=(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是（）xA.B.C.D.【答案】D试卷第2页，总15页,10.如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝6，∠B＝60∘，则阴影部分的面积为（）A.93−3πB.93−2πC.183−9πD.183−6π【答案】A11.某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37∘方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53∘方向．∘3请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为（）（参考数据：tan37≈，4∘4tan53≈）3A.225mB.275mC.300mD.315m【答案】C21212.关于x的一元二次方程ax+bx+=0有一个根是−1，若二次函数y＝ax+21bx+的图象的顶点在第一象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（）2111111A.<t<b.−1<t≤c.−≤t<d.−1<t<244222【答案】d二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）分解因式：m2−4m+4＝________．【答案】试卷第3页，总15页,(m−2)2如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于________．【答案】13一个n边形的内角和等于720∘，则n=________．【答案】62x−1若与若3−2x的和为4，则x=________.3【答案】−1某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中l1、l2分别表示去年、今年水费y（元）与用水量x(m3)之间的关系．小雨家去年用水量为150m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多________元．【答案】210如图，在矩形纸片abcd中，将ab沿bm翻折，使点a落在bc上的点n处，bm为折痕，连接mn；再将cd沿ce翻折，使点d恰好落在mn上的点f处，ce为折痕，连接ef并延长交bm于点p，若ad＝8，ab＝5，则线段pe的长等于试卷第4页，总15页,________．【答案】203三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）1−10∘计算：()+(π+1)−2cos60+9．2【答案】1−10∘解：()+(π+1)−2cos60+921=2+1−2×+32=3−1+3=5.5x−3≤2x+9,解不等式组x+10并写出它的所有整数解．3x>,2【答案】5x−3≤2x+9①,解：x+103x>②,2解①，得x≤4，解②，得x>2，∴原不等式组的解集为2<x≤4，∴原不等式组的所有整数解为3，4．如图，在平行四边形abcd中，e，f分别是ad和bc上的点，∠daf=∠bce．求证：bf=de．【答案】试卷第5页，总15页,证明：∵四边形abcd是平行四边形，∴∠b=∠d，∠bad=∠bcd，ab=cd，∵∠daf=∠bce，∴∠baf=∠dce，∠b=∠d,在△abf和△cde中，ab=cd,∠baf=∠dce,∴△abf≅△cde(asa)，∴bf=de．为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买a种图书花费了3000元，购买b种图书花费了1600元，a种图书的单价是b种图书的1.5倍，购买a种图书的数量比b种图书多20本．（1）求a和b两种图书的单价；（2）书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按8折销售学校当天购买了a种图书20本和b种图书25本，共花费多少元？【答案】a种图书的单价为30元，b种图书的单价为20元共花费880元如图，ab，cd是⊙o的两条直径，过点c的⊙o的切线交ab的延长线于点e，连接ac，bd．(1)求证：∠abd=∠cab；(2)若b是oe的中点，ac=12，求⊙o的半径．【答案】(1)证明：∵ab，cd是⊙o的两条直径，∴oa=oc=ob=od，∴∠oac=∠oca，∠odb=∠obd，∵∠aoc=∠bod，∴∠oac=∠oca=∠odb=∠obd，即∠abd=∠cab；试卷第6页，总15页,(2)解：连接bc，∵ab是⊙o的直径，∴∠acb=90∘，∵ce为⊙o的切线，∴∠oce=90∘，∵b是oe的中点，∴bc=ob，∵ob=oc，∴△obc为等边三角形，∴∠abc=60∘，∴∠a=30∘，3∴bc=ac=43，3∴ob=43，即⊙o的半径为43．某学校八年级共400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，数据统计如下：4.24.14.74.14.34.34.44.64.15.25.24.55.04.54.34.44.85.34.55.24.44.24.35.34.95.24.94.84.65.14.24.44.54.14.55.14.45.05.25.3根据数据绘制了如下的表格和统计图：等级视力(x)频数频率ax<4.240.1b4.2≤x≤4.4120.3c4.5≤x≤4.7ad4.8≤x≤5.0be5.1≤x≤5.3100.25合计401试卷第7页，总15页,根据上面提供的信息，回答下列问题：（1）统计表中的a＝________，b＝________；（2）请补全条形统计图；（3）根据抽样调查结果，请估计该校八年级学生视力为“e级”的有多少人？（4）该年级学生会宣传部有2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学参加“防控近视，爱眼护眼”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．【答案】8,0.15d组对应的频数为40×0.15＝6，补全图形如下：估计该校八年级学生视力为“e级”的有400×0.25＝100（人）；列表如下：男男女女男（（（男女女，，，男男男）））试卷第8页，总15页,男（（（男女女，，，男男男）））女（（（男男女，，，女女女）））女（（（男男女，，，女女女）））得到所有等可能的情况有12种，其中恰好抽中一男一女的情况有8种，82所以恰好选到1名男生和1名女生的概率=．123k如图1，点a(0,8)、点b(2,a)在直线y＝−2x+b上，反比例函数y=(x>0)的图象x经过点B．（1）求a和k的值；（2）将线段AB向右平移m个单位长度(m>0)，得到对应线段CD，连接AC、BD．DE①如图2，当m＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求的EF值；②在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是以BC为腰的等腰三形，求所有满足条件的m的值．【答案】∵点A(0,8)在直线y＝−2x+b上，∴−2×0+b＝8，∴b＝8，∴直线AB的解析式为y＝−2x+8，试卷第9页，总15页,将点B(2,a)代入直线AB的解析式y＝−2x+8中，得−2×2+8＝a，∴a＝4，∴B(2,4)，k将B(2,4)在反比例函数解析式y=(x>0)中，得k＝xy＝2×4＝8；x8①由（1）知，B(2,4)，k＝8，∴反比例函数解析式为y=，x当m＝3时，∴将线段AB向右平移3个单位长度，得到对应线段CD，∴D(2+3,4)，即：D(5,4)，8∵DF⊥x轴于点F，交反比例函数y=的图象于点E，x8∴E(5,)，58128∴DE＝4−=，EF=，55512DE53∴=8=；EF25②如图，∵将线段AB向右平移m个单位长度(m>0)，得到对应线段CD，∴CD＝AB，AC＝BD＝m，∵A(0,8)，B(2,4)，∴C(m,8)，D((m+2,4)，∵△BCD是以BC为腰的等腰三形，∴Ⅰ、当BC＝CD时，∴BC＝AB，∴点B在线段AC的垂直平分线上，∴m＝2×2＝4，Ⅱ、当BC＝BD时，∵B(2,4)，C(m,8)，∴BC=(m−2)2+(8−4)2，∴(m−2)2+(8−4)2=m，∴m＝5，即：△BCD是以BC为腰的等腰三形，满足条件的m的值为4或5．试卷第10页，总15页,小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．（一）猜测探究在△ABC中，AB=AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．(1)如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是________，NB与MC的数量关系是________；(2)如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，(1)中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用如图3，在△A1B1C1中，A1B1=8，∠A1B1C1=60∘，∠B1A1C1=75∘，P是B1C1上的任意点，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转75∘，得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值．【答案】解：(1)结论：∠NAB=∠MAC，NB=MC．理由：如图1中，∵∠MAN=∠CAB，∴∠NAB+∠BAM=∠BAM+∠MAC，∴∠NAB=∠MAC.∵AB=AC，AN=AM，∴△NAB≅△MAC(SAS)，∴BN=CM．故答案为：∠NAB=∠MAC，NB=MC．(2)如图2中，(1)中结论仍然成立．试卷第11页，总15页,理由：∵∠MAN=∠CAB，∴∠NAB+∠BAM=∠BAM+∠MAC，∴∠NAB=∠MAC，∵AB=AC，AN=AM，∴△NAB≅△MAC(SAS)，∴NB=MC．（二）如图3中，在A1C1上截取A1N=A1B1，连接PN，作NH⊥B1C1于H，作A1M⊥B1C1于M．∵∠C1A1B1=∠PA1Q，∴∠QA1B1=∠PA1N，∵A1Q=A1P，A1B1=AN，∴△QA1B1≅△PA1N(SAS)，∴B1Q=PN，∴当PN的值最小时，QB1的值最小.在Rt△A1B1M中，∵∠A1B1M=60∘，A1B1=8，∴AM=AB⋅sin60∘=43.11∵∠MA1C1=∠B1A1C1−∠B1A1M=75∘−30∘=45∘，∴A1C1=46，∴NC1=A1C1−A1N=46−8.在Rt△NHC1中，∵∠C1=45∘，∴NH=43−42，根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PN的值最小，∴QB1的最小值为43−42．试卷第12页，总15页,如图1，抛物线C:y＝ax2+bx经过点A(−4,0)、B(−1,3)两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180∘，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；12（2）如图2，直线l:y＝kx−经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为5m(m<−2)，连接DO并延长，交抛物线C′于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求m的值；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】216a−4b=0将A(−4,0)、B(−1,3)代入y＝ax+bx中，得a−b=3a=−1解得b=−4∴抛物线C解析式为：y＝−x2−4x，配方，得：y＝−x2−4x＝−(x+2)2+4，∴顶点为：G(−2,4)；∵抛物线C绕点O旋转180∘，得到新的抛物线C′．∴新抛物线C′的顶点为：G′(2,−4)，二次项系数为：a′＝1∴新抛物线C′的解析式为：y＝(x−2)2−4＝x2−4x12123将A(−4,0)代入y＝kx−中，得0＝−4k−，解得k=−，555312∴直线l解析式为y=−x−，55∵D(m,−m2−4m)，∴直线DO的解析式为y＝−(m+4)x，由抛物线C与抛物线C′关于原点对称，可得点D、E关于原点对称，∴E(−m,m2+4m)如图2，过点D作DH//y轴交直线l于H，过E作EK//y轴交直线l于K，312312则H(m,−m−)，K(−m,m−)，55552312217122312∴DH＝−m−4m−(−m−)＝−m−m+，EK＝m+4m−(m−)＝555555试卷第13页，总15页,21712m+m+，55∵DE＝2EMME1∴=，MD3∵DH//y轴，EK//y轴∴DH//EK∴△MEK∽△MDHEKME1∴==，即DH＝3EKDHMD32171221712∴−m−m+=3(m+m+)55552解得：m1＝−3，m2=−，5∵m<−2∴m的值为：−3；由（2）知：m＝−3，∴D(−3,3)，E(3,−3)，OE＝32，如图3，连接BG，在△ABG中，∵AB2＝(−1+4)2+(3−0)2＝18，BG2＝2，AG2＝20∴AB2+BG2＝AG2∴△ABG是Rt△，∠ABG＝90∘，BG21∴tan∠GAB===，AB323∵∠DEP＝∠GAB1∴tan∠DEP＝tan∠GAB=，31在x轴下方过点O作OH⊥OE，在OH上截取OH=OE=2，3过点E作ET⊥y轴于T，连接EH交抛物线C于点P，点P即为所求的点；∵E(3,−3)，∴∠EOT＝45∘∵∠EOH＝90∘∴∠HOT＝45∘∴H(−1,−1)，设直线EH解析式为y＝px+q，13p+q=−3p=−2则，解得−p+q=−13q=−213∴直线EH解析式为y=−x−，2213−7−73−7+73y=−x−x1=4x2=4解方程组22，得，，y=−x2−4x73−573+5y1=y2=−887+7373−7∴点P的横坐标为：−或．44试卷第14页，总15页,试卷第15页，总15页</x≤4，∴原不等式组的所有整数解为3，4．如图，在平行四边形abcd中，e，f分别是ad和bc上的点，∠daf=∠bce．求证：bf=de．【答案】试卷第5页，总15页,证明：∵四边形abcd是平行四边形，∴∠b=∠d，∠bad=∠bcd，ab=cd，∵∠daf=∠bce，∴∠baf=∠dce，∠b=∠d,在△abf和△cde中，ab=cd,∠baf=∠dce,∴△abf≅△cde(asa)，∴bf=de．为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买a种图书花费了3000元，购买b种图书花费了1600元，a种图书的单价是b种图书的1.5倍，购买a种图书的数量比b种图书多20本．（1）求a和b两种图书的单价；（2）书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按8折销售学校当天购买了a种图书20本和b种图书25本，共花费多少元？【答案】a种图书的单价为30元，b种图书的单价为20元共花费880元如图，ab，cd是⊙o的两条直径，过点c的⊙o的切线交ab的延长线于点e，连接ac，bd．(1)求证：∠abd=∠cab；(2)若b是oe的中点，ac=12，求⊙o的半径．【答案】(1)证明：∵ab，cd是⊙o的两条直径，∴oa=oc=ob=od，∴∠oac=∠oca，∠odb=∠obd，∵∠aoc=∠bod，∴∠oac=∠oca=∠odb=∠obd，即∠abd=∠cab；试卷第6页，总15页,(2)解：连接bc，∵ab是⊙o的直径，∴∠acb=90∘，∵ce为⊙o的切线，∴∠oce=90∘，∵b是oe的中点，∴bc=ob，∵ob=oc，∴△obc为等边三角形，∴∠abc=60∘，∴∠a=30∘，3∴bc=ac=43，3∴ob=43，即⊙o的半径为43．某学校八年级共400名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，数据统计如下：4.24.14.74.14.34.34.44.64.15.25.24.55.04.54.34.44.85.34.55.24.44.24.35.34.95.24.94.84.65.14.24.44.54.14.55.14.45.05.25.3根据数据绘制了如下的表格和统计图：等级视力(x)频数频率ax<4.240.1b4.2≤x≤4.4120.3c4.5≤x≤4.7ad4.8≤x≤5.0be5.1≤x≤5.3100.25合计401试卷第7页，总15页,根据上面提供的信息，回答下列问题：（1）统计表中的a＝________，b＝________；（2）请补全条形统计图；（3）根据抽样调查结果，请估计该校八年级学生视力为“e级”的有多少人？（4）该年级学生会宣传部有2名男生和2名女生，现从中随机挑选2名同学参加“防控近视，爱眼护眼”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．【答案】8,0.15d组对应的频数为40×0.15＝6，补全图形如下：估计该校八年级学生视力为“e级”的有400×0.25＝100（人）；列表如下：男男女女男（（（男女女，，，男男男）））试卷第8页，总15页,男（（（男女女，，，男男男）））女（（（男男女，，，女女女）））女（（（男男女，，，女女女）））得到所有等可能的情况有12种，其中恰好抽中一男一女的情况有8种，82所以恰好选到1名男生和1名女生的概率=．123k如图1，点a(0,8)、点b(2,a)在直线y＝−2x+b上，反比例函数y=(x></t<b.−1<t≤c.−≤t<d.−1<t<244222【答案】d二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）分解因式：m2−4m+4＝________．【答案】试卷第3页，总15页,(m−2)2如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于________．【答案】13一个n边形的内角和等于720∘，则n=________．【答案】62x−1若与若3−2x的和为4，则x=________.3【答案】−1某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中l1、l2分别表示去年、今年水费y（元）与用水量x(m3)之间的关系．小雨家去年用水量为150m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多________元．【答案】210如图，在矩形纸片abcd中，将ab沿bm翻折，使点a落在bc上的点n处，bm为折痕，连接mn；再将cd沿ce翻折，使点d恰好落在mn上的点f处，ce为折痕，连接ef并延长交bm于点p，若ad＝8，ab＝5，则线段pe的长等于试卷第4页，总15页,________．【答案】203三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）1−10∘计算：()+(π+1)−2cos60+9．2【答案】1−10∘解：()+(π+1)−2cos60+921=2+1−2×+32=3−1+3=5.5x−3≤2x+9,解不等式组x+10并写出它的所有整数解．3x>
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