2012年山东省济南市中考数学试卷
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2012年山东省济南市中考数学试卷一、选择题(共15小题,每小题3分,满分45分)1.−12的绝对值是()11A.12B.−12C.D.−1212【答案】A2.如图,直线a//b,直线c与a,b相交,∠1=65∘,则∠2=()A.115∘B.65∘C.35∘D.25∘【答案】B3.2012年伦敦奥运会火炬传递路线全长约为12800公里,数字12800用科学记数法表示为()A.1.28×103B.12.8×103C.1.28×104D.0.128×105【答案】C4.下列事件中必然事件的是()A.任意买一张电影票,座位号是偶数B.正常情况下,将水加热到100∘C时水会沸腾C.三角形的内角和是360∘D.打开电视机,正在播动画片【答案】B5.下列各式计算正确的是()A.3x−2x=1B.a2+a2=a4C.a5÷a5=aD.a3⋅a2=a5【答案】D6.下面四个立体图形中,主视图是三角形的是()试卷第1页,总12页,A.B.C.D.【答案】C7.化简5(2x−3)+4(3−2x)结果为()A.2x−3B.2x+9C.8x−3D.18x−3【答案】A8.暑假即将来临,小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动,那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为()1111A.B.C.D.2369【答案】B9.如图,在8×4的矩形网格中,每个小正方形的边长都是1,若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上,则tan∠ACB的值为()112A.B.C.D.3322【答案】A10.下列命题是真命题的是()A.对角线相等的四边形是矩形B.一组邻边相等的四边形是菱形C.四个角是直角的四边形是正方形D.对角线相等的梯形是等腰梯形【答案】试卷第2页,总12页,D11.一次函数y=kx+b的图象如图所示,则方程kx+b=0的解为()A.x=2B.y=2C.x=−1D.y=−1【答案】C12.已知⊙O和⊙O的半径是一元二次方程x2−5x+6=0的两根,若圆心距OO=12125,则⊙O1和⊙O2的位置关系是()A.外离B.外切C.相交D.内切【答案】B13.如图,∠MON=90∘,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM,ON上,当B在边ON上运动时,A随之在边OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2,BC=1,运动过程中,点D到点O的最大距离为()1455A.2+1B.5C.D.52【答案】A14.如图,矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴,物体甲和物体乙分别由点A(2,0)同时出发,沿矩形BCDE的边作环绕运动,物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动,物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动,则两个物体运动后的第试卷第3页,总12页,2012次相遇地点的坐标是()A.(2,0)B.(−1,1)C.(−2,1)D.(−1,−1)【答案】D15.如图,二次函数的图象经过(−2,−1),(1,1)两点,则下列关于此二次函数的说法正确的是()A.y的最大值小于0B.当x=0时,y的值大于1C.当x=−1时,y的值大于1D.当x=−3时,y的值小于0【答案】D二、填空题(共6小题,每小题3分,满分18分)分解因式:________2−1=________.【答案】a,(a+1)(a−1)计算:2sin30∘−16=________.【答案】−32x−4<0不等式组的解集为________.x+1≥0【答案】−1≤x<2如图,在Rt△ABC中,∠C=90∘,AC=4,将△ABC沿CB向右平移得到△DEF,若平移距离为2,则四边形ABED的面积等于________.试卷第4页,总12页,【答案】8如图,在Rt△ABC中,∠B=90∘,AB=6,BC=8,以其三边为直径向三角形外作三个半圆,矩形EFGH的各边分别与半圆相切且平行于AB或BC,则矩形EFGH的周长是________.【答案】48如图,济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁,抛物线的表达式为y=ax2+bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同,则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需________秒.【答案】36三、解答题(共7小题,共57分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)(1)解不等式3x−2≥4,并将解集在数轴上表示出来.a−1a2−2a+1(2)化简:÷.a−22a−4【答案】试卷第5页,总12页,解:(1)移项得,3x≥6,系数化为1得,x≥2,在数轴上表示为.a−12(a−2)(2)原式=×,a−2(a−1)22=.a−1(1)如图1,在▱ABCD中,点E,F分别在AB,CD上,AE=CF.求证:DE=BF.(2)如图2,在△ABC中,AB=AC,∠A=40∘,BD是∠ABC的平分线,求∠BDC的度数.【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,∠A=∠C,在△ADE和△CBF中,AD=CB∠A=∠C,AE=CF∴△ADE≅△CBF(SAS),∴DE=BF;(2)解:∵AB=AC,∠A=40∘,180∘−40∘∘∴∠ABC=∠C==70,2又BD是∠ABC的平分线,1∘∴∠DBC=∠ABC=35,2∴∠BDC=180∘−∠DBC−∠C=75∘.冬冬全家周末一起去济南山区参加采摘节,他们采摘了油桃和樱桃两种水果,其中油桃比樱桃多摘了5斤,若采摘油桃和樱桃分别用了80元,且樱桃每斤价格是油桃每斤价格的2倍,问油桃和樱桃每斤各是多少元?【答案】油桃每斤为8元,则樱桃每斤是16元.试卷第6页,总12页,济南以“泉水”而闻名,为保护泉水,造福子孙后代,济南市积极开展“节水保泉”活动,宁宁利用课余时间对某小区300户居民的用水情况进行了统计,发现5月份各户居民的用水量比4月份有所下降,宁宁将5月份各户居民的节水量统计整理如下统计图表:节11.52.53水量(米3)户508010070数(1)300户居民5月份节水量的众数,中位数分别是多少米3?(2)扇形统计图中2.5米3对应扇形的圆心角为________度;(3)该小区300户居民5月份平均每户节约用水多少米3?【答案】该小区300户居民5月份平均每户节约用水2.1米3.如图1,在菱形ABCD中,AC=2,BD=23,AC,BD相交于点O.(1)求边AB的长;(2)如图2,将一个足够大的直角三角板60∘角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处,绕点A左右旋转,其中三角板60∘角的两边分别与边BC,CD相交于点E,F,连接EF与AC相交于点G.①判断△AEF是哪一种特殊三角形,并说明理由;②旋转过程中,当点E为边BC的四等分点时(BE>CE),求CG的长.【答案】解:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,试卷第7页,总12页,11∴△AOB为直角三角形,且OA=AC=1,OB=BD=3.22在Rt△AOB中,由勾股定理得:AB=OA2+OB2=12+(3)2=2.(2)①△AEF是等边三角形.理由如下:∵由(1)知,菱形边长为2,AC=2,∴△ABC与△ACD均为等边三角形,∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60∘.又∵∠EAF=∠CAF+∠CAE=60∘,∴∠BAE=∠CAF.在△ABE与△ACF中,∠BAE=∠CAF,∵AB=AC=2,∠EBA=∠FCA,∴△ABE≅△ACF(ASA),∴AE=AF,∴△AEF是等腰三角形.又∵∠EAF=60∘,∴△AEF是等边三角形.②∵BC=2,E为四等分点,且BE>CE,13∴CE=,BE=.22由①知△ABE≅△ACF,3∴CF=BE=.2∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180∘,∠AEG=∠FCG=60∘,∠EGA=∠CGF,∴∠EAC=∠GFC.在△CAE与△CFG中,∠EAC=∠GFC,∵∠ACE=∠FCG,∴△CAE∼△CFG,3CGCFCG2∴=,即1=,CEAC223解得CG=.8试卷第8页,总12页,k如图,已知双曲线y=经过点D(6,1),点C是双曲线第三象限上的动点,过C作xCA⊥x轴,过D作DB⊥y轴,垂足分别为A,B,连接AB,BC.(1)求k的值;(2)若△BCD的面积为12,求直线CD的解析式;(3)判断AB与CD的位置关系,并说明理由.【答案】k∵双曲线y=经过点D(6,1),xk∴=1,6解得k=6;设点C到BD的距离为h,∵点D的坐标为(6,1),DB⊥y轴,∴BD=6,1∴S△BCD=×6⋅h=12,2解得h=4,∵点C是双曲线第三象限上的动点,点D的纵坐标为1,∴点C的纵坐标为1−4=−3,6∴=−3,x解得x=−2,∴点C的坐标为(−2,−3),设直线CD的解析式为y=kx+b,−2k+b=−3则,6k+b=11k=解得2,b=−21所以,直线CD的解析式为y=x−2;2AB//CD.6理由如下:∵CA⊥x轴,DB⊥y轴,设点C的坐标为(c,),点D的坐标c为(6,1),试卷第9页,总12页,∴点A、B的坐标分别为A(c,0),B(0,1),设直线AB的解析式为y=mx+n,mc+n=0则,n=11m=−解得c,n=11所以,直线AB的解析式为y=−x+1,c设直线CD的解析式为y=ex+f,6ec+f=则c,6e+f=11e=−c解得,c+6f=c1c+6∴直线CD的解析式为y=−x+,cc1∵AB、CD的解析式k都等于−,c∴AB与CD的位置关系是AB//CD.如图1,抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A(−3,0),B(−1,0),与y轴相交于点C,⊙O1为△ABC的外接圆,交抛物线于另一点D.(1)求抛物线的解析式;(2)求cos∠CAB的值和⊙O1的半径;(3)如图2,抛物线的顶点为P,连接BP,CP,BD,M为弦BD中点,若点N在坐标平面内,满足△BMN∽△BPC,请直接写出所有符合条件的点N的坐标.【答案】∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A(−3,0),B(−1,0),9a−3b+3=0∴,a−b+3=0试卷第10页,总12页,a=1解得,b=4∴抛物线的解析式为:y=x2+4x+3.由(1)知,抛物线解析式为:y=x2+4x+3,∵令x=0,得y=3,∴C(0,3),∴OC=OA=3,则△AOC为等腰直角三角形,∴∠CAB=45∘,2∴cos∠CAB=.2在Rt△BOC中,由勾股定理得:BC=12+32=10.如答图1所示,连接O1B、O1C,由圆周角定理得:∠BOC=2∠BAC=90∘,1∴△BO1C为等腰直角三角形,2∴⊙O1的半径O1B=BC=5.2抛物线y=x2+4x+3=(x+2)2−1,∴顶点P坐标为(−2,−1),对称轴为x=−2.又∵A(−3,0),B(−1,0),可知点A、B关于对称轴x=−2对称.如答图2所示,由圆及抛物线的对称性可知:点D、点C(0,3)关于对称轴对称,∴D(−4,3).又∵点M为BD中点,B(−1,0),53∴M(−,),2252323∴BM=[−−(−1)]+()=2;222在△BPC中,B(−1,0),P(−2,−1),C(0,3),由两点间的距离公式得:BP=2,BC=10,PC=25.∵△BMN∽△BPC,3BMBNMN22BNMN∴==,即==,BPBCPC210253解得:BN=10,MN=35.2设N(x,y),由两点间的距离公式可得:2232(x+1)+y=(10)2,52322(x+)+(y−)=(35)2271x1=x2=22解之得,,,39y1=−y2=−227319∴点N的坐标为(,−)或(,−).2222试卷第11页,总12页,试卷第12页,总12页
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