2013年山东省济南市中考数学试卷
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2013年山东省济南市中考数学试卷一、选择题(本大题共15小题,每小题3分,共45分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)1.−6的相反数是()11A.−B.C.−6D.666【答案】D2.如图是由3个相同的小立方体组成的几何体,它的主视图是()A.B.C.D.【答案】A3.十八大以来,我国经济继续保持稳定增长,2013年第一季度国内生产总值约为118900亿元,将数字118900用科学记数法表示为()A.0.1189×105B.1.189×105C.11.89×104D.1.189×104【答案】B4.如图,直线a,b被直线c所截,a//b,∠1=130∘,则∠2的度数是()A.130∘B.60∘C.50∘D.40∘【答案】C5.下列各式计算正确的是()A.(a2)2=a4B.a+a=a2C.3a2+a2=2a2D.a4⋅a2=a8【答案】试卷第1页,总13页,A3x−1>56.不等式组的解集在数轴上表示正确的是()2x≤6A.B.C.D.【答案】C7.为了解七年级学生参与家务劳动的时间,李老师随机调查了七年级8名学生一周内参与家务劳动的时间(单位:小时)分别是1,2,3,3,3,4,5,6,则这组数据的众数是()A.2.5B.3C.3.375D.5【答案】B2x68.计算+,其结果是()x+3x+3A.2B.3C.x+2D.2x+6【答案】A9.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−1,0),B(−2,3),C(−3,1),将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90∘,得到△AB′C′,则点B′的坐标为()A.(2,1)B.(2,3)C.(4,1)D.(0,2)【答案】A试卷第2页,总13页,10.如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,AB=10,AC=6,OD⊥BC,垂足是D,则BD的长为()A.2B.3C.4D.6【答案】C11.已知x2−2x−8=0,则3x2−6x−18的值为()A.54B.6C.−10D.−18【答案】B12.如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处,发现此时绳子末端距离地面2m,则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)()A.12mB.13mC.16mD.17m【答案】D13.如图,平行四边形OABC的顶点B,C在第一象限,点A的坐标为(3,0),点D为k边AB的中点,反比例函数y=(x>0)的图象经过C,D两点,若∠COA=α,则k的x值等于()A.8sin2αB.8cos2αC.4tanαD.2tanα【答案】C试卷第3页,总13页,14.已知直线l1//l2//l3//l4,相邻两条平行线间的距离均为h,矩形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上,放置方式如图所示,AB=4,BC=6,则tanα的值等于()2343A.B.C.D.3432【答案】C15.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(0,−2),与x轴交点的横坐标分别为x1,x2,且−1<x1<0,1<x2<2,下列结论正确的是()a.a<0b.a−b+c<0b2c.−>1D.4ac−b<−8a2a【答案】D二、填空题(共6小题,每小题3分,满分18分)计算:3(2x+1)−6x=________.【答案】3分解因式:a2−4=________.【答案】(a+2)(a−2)试卷第4页,总13页,小明和小华做投掷飞镖游戏各5次,两人成绩(单位:环)如图所示,根据图中的信息可以确定成绩更稳定的是________.(填“小明”或“小华”)【答案】小明如图,AB是⊙O的直径,点D在⊙O上,∠BAD=35∘,过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C,则∠C=________度.【答案】20若直线y=kx与四条直线x=1,x=2,y=1,y=2围成的正方形有公共点,则k的取值范围是________.【答案】1≤k≤22如图,D、E分别是△ABC边AB、BC上的点,AD=2BD,BE=CE,设△ADC的面积为S1,△ACE的面积为S2,若S△ABC=6,则S1−S2的值为________.试卷第5页,总13页,【答案】1三、解答题(共7小题,57分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(1)计算:(2013−1)0+tan45∘32(2)解方程:=.xx−1【答案】解:(1)原式=1+1=2;(2)去分母得:3x−3=2x,解得:x=3,经检验x=3是分式方程的解.解决下列问题.(1)如图1,在△ABC和△DCE中,AB//DC,AB=DC,BC=CE,且点B,C,E在一条直线上.求证:∠A=∠D;(2)如图2,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=4,∠AOD=120∘,求AC的长.【答案】(1)证明:∵AB//DC,∴∠B=∠DCE,AB=DC,在△ABC和△DCE中∠B=∠DCE,CB=CE,∴△ABC≅△DCE(SAS),∴∠A=∠D;(2)解:∵四边形ABCD是矩形,∴AO=BO=CO=DO,∵∠AOD=120∘,试卷第6页,总13页,∴∠AOB=60∘,∴△AOB是等边三角形,∴AO=AB=4,∴AC=2AO=8.某寄宿制学校有大、小两种类型的学生宿舍共50间,大宿舍每间可住8人,小宿舍每间可住6人,该校360名住宿生恰好住满这50间宿舍.求大、小宿舍各有多少间?【答案】解:设大宿舍有x间,小宿舍有y间,由题意,得x+y=50,8x+6y=360,x=30.解得:y=20.答:大宿舍有30间,小宿舍有20间.在一个不透明的袋子中,装有2个红球和1个白球,这些球除了颜色外都相同.(1)搅匀后从中随机摸出一球,请直接写出摸到红球的概率;(2)如果第一次随机摸出一个小球(不放回),充分搅匀后,第二次再从剩余的两球中随机摸出一个小球,求两次都摸到红球的概率.(用树状图或列表法求解)【答案】解:(1)∵在一个不透明的袋子中,装有2个红球和1个白球,这些球除了颜色外都相同,22∴摸到红球的概率为:=;2+13(2)画树状图得:∵共有6种等可能的结果,两次都摸到红球的有2种情况,21∴两次都摸到红球的概率为:=.63试卷第7页,总13页,如图,点A的坐标是(−2,0),点B的坐标是(6,0),点C在第一象限内且△OBC为等边三角形,直线BC交y轴于点D,过点A作直线AE⊥BD,垂足为E,交OC于点F.(1)求直线BD的函数表达式;(2)求线段OF的长;(3)连接BF,OE,试判断线段BF和OE的数量关系,并说明理由.【答案】解:(1)∵△OBC是等边三角形,∴∠OBC=60∘,OC=BC=OB,∵点B的坐标为(6,0),∴OB=6,在Rt△OBD中,∠OBC=60∘,OB=6,∴∠ODB=30∘,∴BD=12,∴OD=122−62=63,∴点D的坐标为(0,63),6k+b=0设直线BD的解析式为y=kx+b,则可得,b=63k=−3解得:,b=63∴直线BD的函数解析式为y=−3x+63.(2)∵∠OCB=60∘,∠CEF=90∘,∴∠CFE=30∘,∴∠AFO=30∘(对顶角相等),又∵∠OBC=60∘,∠AEB=90∘,∴∠BAE=30∘,∴∠BAE=∠AFO,∴OF=OA=2.试卷第8页,总13页,(3)连接BF,OE,如图所示:∵A(−2,0),B(6,0),∴AB=8,在Rt△ABE中,∠ABE=60∘,AB=8,1∴BE=AB=4,2∴CE=BC−BE=2,∴OF=CE=2,CE=OF在△COE和△OBF中,∠OCE=∠BOF=60∘,CO=OB∴△COE≅△OBF(SAS),∴OE=BF.如图1,在△ABC中,AB=AC=4,∠ABC=67.5∘,△ABD和△ABC关于AB所在的直线对称,点M为边AC上的一个动点(重合),点M关于AB所在直线的对称点为N,△CMN的面积为S.(1)求∠CAD的度数;(2)设CM=x,求S与x的函数表达式,并求x为何值时S的值最大?(3)S的值最大时,过点C作EC⊥AC交AB的延长线于点E,连接EN(如图2),P为线段EN上一点,Q为平面内一点,当以M,N,P,Q为顶点的四边形是菱形时,请直接写出所有满足条件NP的长.【答案】∵AB=AC,∠ABC=67.5∘,∴∠ACB=∠ABC=67.5∘,试卷第9页,总13页,∴∠CAB=180∘−67.5∘−67.5∘=45∘,∵△ABD和△ABC关于AB所在的直线对称,∴∠DAB=∠CAB=45∘,∴∠CAD=45∘+45∘=90∘.由(1)知:AN⊥AM,∵点M、N关于AB所在直线对称,∴AM=AN,∵CM=x,∴AN=AM=4−x,11∴S=×CM×AN=x(4−x),2212∴S=−x+2x,22∴当x=−1=2时,S有最大值.2×(−)2∵CE⊥AC,∴∠ECA=90∘,∵∠CAB=45∘,∴∠CEA=∠EAC=45∘,∴CE=AC=4,在Rt△ECA中,AC=EC=4,由勾股定理得:EA=42+42=42,∵AM=AN,∠CAB=∠DAB,∴AO⊥MN,MO=NO,在Rt△MAN中,AM=AN=4−2=2,由勾股定理得:MN=22+22=22,∴MO=NO=2,由勾股定理得:AO=22−(2)2=2,∴EO=42−2=32,在Rt△EON中,EO=32,MO=2,由勾股定理得:EM=(32)2+(2)2=25,分为三种情况:①当以MN为对角线时,此时P在E上,即NP=NE=25;②以MN为一边时,以N为圆心,以MN为半径画弧交NE于P,试卷第10页,总13页,此时NP=MN=22;③以MN为一边时,过M作MZ⊥NE于Z,则PZ=NZ,∵AE⊥MN,∴∠EON=∠MZN=90∘,∵∠ENO=∠MNZ,∴△ENO∽△MNZ,ENNO∴=,MNZN252∴=,22ZN2∴ZN=5,54∴NP=2ZN=5,54即所有满足条件NP的长是25或22或5.522如图1,抛物线y=−x+bx+c与x轴相交于点A,C,与y轴相交于点B,连接3AB,BC,点A的坐标为(2,0),tan∠BAO=2,以线段BC为直径作⊙M交AB于点D,过点B作直线l//AC,与抛物线和⊙M的另一个交点分别是E,F.(1)求该抛物线的函数表达式;(2)求点C的坐标和线段EF的长;(3)如图2,连接CD并延长,交直线l于点N,点P,Q为射线NB上的两个动点(点P在点Q的右侧,且不与N重合),线段PQ与EF的长度相等,连接DP,CQ,四边形CDPQ的周长是否有最小值?若有,请求出此时点P的坐标并直接写出四边形CDPQ周长的最小值;若没有,请说明理由.试卷第11页,总13页,【答案】∵点A(2,0),tan∠BAO=2,∴AO=2,BO=4,∴点B的坐标为(0,4).22∵抛物线y=−x+bx+c过点A,B,38−+2b+c=0∴3,c=42b=−解得3,c=4222∴此抛物线的解析式为y=−x−x+4.331∵抛物线对称轴为直线x=−,2∴点A关于对称轴的对称点C的坐标为(−3,0),点B的对称点E的坐标为(−1,4),∵BC是⊙M的直径,3∴点M的坐标为(−,2),2如图1,过点M作MG⊥FB,则GB=GF,3∵M(−,2),23∴BG=,2∴BF=2BG=3,∵点E的坐标为(−1,4),∴BE=1,∴EF=BF−BE=3−1=2.四边形CDPQ的周长有最小值.2+OB2=#/DEL/#5,理由如下:∵BC=OC32+42#/DEL/#AC=CO+OA=3+2=5,∴AC=BC,∵BC为⊙M直径,∴∠BDC=90∘,即CD⊥AB,∴D为AB中点,∴点D的坐标为(1,2).如图2,作点D关于直线l的对称点D1(1,6),点C向右平移2个单位得到C1(−1,0),连接C1D1与直线l交于点P,点P向左平移2个单位得到点Q,四边形CDPQ即为周长最小的四边形.设直线C1D1的函数表达式为y=mx+n(m≠0),−m+n=0m=3∴,,m+n=6n=3∴直线C1D1的表达式为y=3x+3,∵yp=4,1∴xp=,3试卷第12页,总13页,1∴点P的坐标为(,4);3C=25+210+2.四边形CDPQ最小试卷第13页,总13页</x1<0,1<x2<2,下列结论正确的是()a.a<0b.a−b+c<0b2c.−>
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