2025年高考数学一轮讲义第8章 第5课时　椭圆及其性质

第5课时　椭圆及其性质[考试要求]　1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2．掌握椭圆的简单应用．1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于____(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的____，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的____，焦距的一半称为半焦距．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2+y2b2＝1(a>b>0)y2a2+x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为____；短轴B1B2的长为____焦距|F1F2|＝____离心率e＝ca∈__________a，b，c的关系c2＝__________[常用结论]1．椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，当椭圆为x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)时，设∠F1PF2＝θ.9/9 (1)|PF1|·|PF2|≤PF1+PF222＝a2.(2)当PF2⊥x轴时，点P的坐标为c，±b2a．(3)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0．(4)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c．(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ．(6)S△F1PF2＝b2tanθ2＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，θ最大，S取最大值，最大值为bc.2．已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　)(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　)(3)关于x，y的方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　　)(4)x2a2+y2b2＝1(a>b>0)与y2a2+x2b2＝1(a>b>0)的焦距相同．(　　)二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第一册P109练习T1改编)若椭圆x225＋y2＝1上一点P到椭圆一个焦点的距离为7，则P到另一个焦点的距离为(　　)A．3　　B．4　C．5　　D．62．(人教A版选择性必修第一册P112例4改编)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　)A．长轴长为12　B．焦距为34C．短轴长为14　D．离心率为323．(人教A版选择性必修第一册P109练习T3改编)椭圆C：x225+y216＝19/9 的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，则△AF1B的周长为________．4．(人教A版选择性必修第一册P112练习T4改编)已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是________．考点一　椭圆的定义及应用[典例1]　(1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)A．x264-y248＝1　B．x248+y264＝1C．x248-y264＝1　D．x264+y248＝1(2)(2023·河南开封三模)已知点P是椭圆x225+y29＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠F1PF2＝13，则△PF1F2的面积为(　　)A．6　B．12C．922　D．22(3)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是椭圆上的动点，A(1，1)，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等．(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．(3)定义法求轨迹方程，或利用定义实现距离转化．[跟进训练]1．(1)已知A(－1，0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为(　　)A．x212+y211＝1　B．x236-y235＝19/9 C．x23-y22＝1　D．x23+y22＝1(2)(多选)已知P是椭圆x29+y24＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠F1PF2＝13，则(　　)A．△PF1F2的周长为12B．S△PF1F2＝22C．点P到x轴的距离为2105D．PF1·PF2＝2考点二　椭圆的标准方程　椭圆标准方程的特征[典例2]　(多选)(2024·山东威海模拟)若方程x23-t+y2t-1＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是(　　)A．若C为椭圆，则1＜t＜3B．若C为双曲线，则t＞3或t＜1C．曲线C可能是圆D．若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1＜t＜2[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　椭圆标准方程的求法[典例3]　(1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点-32，52，(3，5)，则椭圆的标准方程为________．(2)过点(3，－5)，且与椭圆y225+x29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．(3)已知中心在坐标原点的椭圆过点A(－3，0)，且离心率e＝53，则椭圆的标准方程为________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　9/9 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．2．椭圆的标准方程的两个应用(1)方程x2a2+y2b2＝1与x2a2+y2b2＝λ(λ>0)有相同的离心率．(2)与椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为x2a2+k+y2b2+k＝1(a>b>0，k＋b2>0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．[跟进训练]2．(1)如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为(　　)A．x236+y216＝1　B．x240+y215＝1C．x249+y224＝1　D．x245+y220＝1(2)(2024·湖北襄阳模拟)已知椭圆C的焦点为F1(0，－1)，F2(0，1)，过F2的直线与C交于P，Q两点，若|PF2|＝3|F2Q|，|PQ|＝45|QF1|，则椭圆C的标准方程为(　　)A．y235+x225＝1　B．y22＋x2＝1C．y23+x22＝1　D．y25+x24＝1(3)已知椭圆E的中心为原点，焦点在x轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为22－2，离心率为22，则椭圆E的方程为________.考点三　椭圆的简单几何性质　椭圆的长轴、短轴、焦距[典例4]　如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ9/9 绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则下列结论中正确的序号为(　　)①轨道Ⅱ的焦距为R－r；②若R不变，r越大，轨道Ⅱ的短轴长越小；③轨道Ⅱ的长轴长为R＋r；④若r不变，R越大，轨道Ⅱ的离心率越大．A．①②③　B．①②④C．①③④　D．②③④[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　离心率问题[典例5]　(1)已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，PF1=5PF2，则C的离心率为(　　)A．216　B．22C．12　D．23(2)已知F1，F2分别是椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率e的取值范围为(　　)A．0，22　B．22，1C．0，32　D．32，1[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　9/9 　与椭圆有关的最值(范围)问题[典例6]　(1)设A，B是椭圆C：x23+y2m＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　)A．(0，1]∪[9，＋∞)　B．(0，3]∪[9，＋∞)C．(0，1]∪[4，＋∞)　D．(0，3]∪[4，＋∞)(2)(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：x25＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为(　　)A．52　B．6C．5　D．2[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：(1)直接求出a，c.利用离心率公式e＝ca求解．(2)由a与b的关系求离心率．利用变形公式e＝1-b2a2求解．(3)构造a，c的齐次式．离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.2．利用椭圆几何性质求值或范围的思路(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系．(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求解．[跟进训练]3．(1)(多选)(2024·广东广州模拟)已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，点P(2，1)在椭圆C外，点Q在椭圆C上，则(　　)9/9 A．椭圆C的离心率的取值范围是0，22B．当椭圆C的离心率为32时，|QF1|的取值范围是[2－3，2＋3]C．存在点Q使得QF1·QF2＝0D.1QF1+1QF2的最小值为1(2)(2024·河北唐山摸底考试)已知F1，F2是椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，E上两点A，B满足3AF2＝2F2B，|AF1|＝2|AF2|，则椭圆E的离心率为________．过椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)上任意不同两点M，N作椭圆的切线，若两切线垂直且相交于点P，则动点P的轨迹为圆O：x2＋y2＝a2＋b2，此圆即椭圆的蒙日圆．椭圆的蒙日圆有如下性质：性质1：PM⊥PN.性质2：PO平分切点弦MN.性质3：S△MON的最大值为ab2，S△MON的最小值为a2b2a2+b2.[典例]　(多选)法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆Γ：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的蒙日圆为C：x2＋y2＝32a2，过C上的动点M作Γ的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ交Γ于A，B两点，则(　　)A．椭圆Γ的离心率为22B．△MPQ面积的最大值为32a2C．M到Γ的左焦点的距离的最小值为2-2aD．若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2，则k1k2＝－12[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　9/9 9/9