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高考总动员2022届高考数学大一轮复习第8章第5节椭圆课时提升练文新人教版

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课时提升练(四十四) 椭 圆一、选择题1.(2022·西安模拟)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方程是(  )A.+=1    B.+=1C.+=1D.+y2=1【解析】 由题意可知c=1,=,∴a=2,b2=a2-c2=3.∴C的方程为+=1.【答案】 C2.(2022·银川模拟)已知正方形ABCD,以A,B为焦点,且过C,D两点的椭圆的离心率为(  )A.-1  B.  C.  D.-1【解析】 依题意,设|AB|=m,则题中的椭圆的离心率是e==-1,故选D.【答案】 D3.(2022·四川高考)从椭圆+=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是(  )A.B.C.D.【解析】 由题意设P(-c,y0),将P(-c,y0)代入+=1,得+=1,则y=b2=b2·=.∴y0=或y0=-(舍去),7\n∴P,∴kOP=-.∵A(a,0),B(0,b),∴kAB==-.又∵AB∥OP,∴kAB=kOP,∴-=-,∴b=c.∴e====.故选C.【答案】 C4.(2022·衡水模拟)已知F1,F2是椭圆+y2=1的两个焦点,P为椭圆上一动点,则使|PF1|·|PF2|取最大值的点P为(  )A.(-2,0)B.(0,1)C.(2,0)D.(0,1)或(0,-1)【解析】 由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=4,∴|PF1|·|PF2|≤2=4,当且仅当|PF1|=|PF2|=2,即P(0,-1)或(0,1)时,取“=”.【答案】 D5.(2022·福建高考)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是(  )A.5B.+C.7+D.6【解析】 如图所示,设以(0,6)为圆心,以r为半径的圆的方程为x2+(y-6)2=r2(r>0),与椭圆方程+y2=1联立得方程组,消掉x2得9y2+12y+r2-46=0.7\n令Δ=122-4×9(r2-46)=0,解得r2=50,即r=5.由题意易知P,Q两点间的最大距离为r+=6,故选D.【答案】 D6.椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A1、A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1斜率的取值范围是(  )A.B.C.D.【解析】 由题意可得A1(-2,0),A2(2,0),当PA2的斜率为-2时,直线PA2的方程为y=-2(x-2),代入椭圆方程,消去y化简得19x2-64x+52=0,解得x=2或x=.由点P在椭圆上得点P,此时直线PA1的斜率k=.同理,当直线PA2的斜率为-1时,直线PA2方程为y=-(x-2),代入椭圆方程,消去y化简得7x2-16x+4=0,解得x=2或x=.由点P在椭圆上得点P,此时直线PA1的斜率k=.数形结合可知,直线PA1斜率的取值范围是.【答案】 B二、填空题7.(2022·上海八校联考)直线x-2y+2=0过椭圆+=1的左焦点F1和一个顶点B7\n,则椭圆的方程为________.【解析】 注意到直线x-2y+2=0与两坐标轴的交点坐标分别是(-2,0),(0,1),依题意得F1(-2,0),B(0,1),即b=1,c=2,a2=22+12=5,所求的椭圆的方程是+y2=1.【答案】 +y2=18.(2022·辽宁高考)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=________.【解析】 椭圆+=1中,a=3.如图,设MN的中点为D,则|DF1|+|DF2|=2a=6.∵D,F1,F2分别为MN,AM,BM的中点,∴|BN|=2|DF2|,|AN|=2|DF1|,∴|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|)=12.【答案】 129.若方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是________.【解析】 因为方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,所以|a|-1>a+3>0,解得-3<a<-2.【答案】 (-3,-2)三、解答题10.7\n图852(2022·江苏高考)如图852,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C.(1)若点C的坐标为,且BF2=,求椭圆的方程;(2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.【解】 设椭圆的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0).(1)因为B(0,b),所以BF2==a.又BF2=,故a=.因为点C在椭圆上,所以+=1,解得b2=1.故所求椭圆的方程为+y2=1.(2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上,所以直线AB的方程为+=1.解方程组得或所以点A的坐标为.又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为.因为直线F1C的斜率为=,直线AB的斜率为-,且F1C⊥AB,所以·=-1.又b2=a2-c2,整理得a2=5c2.7\n故e2=,因此e=.11.(2022·安徽高考)设F1,F2分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|F1B|.(1)若|AB|=4,△ABF2的周长为16,求|AF2|;(2)若cos∠AF2B=,求椭圆E的离心率.【解】 (1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,得|AF1|=3,|F1B|=1.因为△ABF2的周长为16,所以由椭圆定义可得4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8.故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5.(2)设|F1B|=k,则k>0且|AF1|=3k,|AB|=4k.由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k.在△ABF2中,由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B,即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-(2a-3k)·(2a-k),化简可得(a+k)(a-3k)=0.而a+k>0,故a=3k.于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k.因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2,可得F1A⊥F2A,故△AF1F2为等腰直角三角形.从而c=a,所以椭圆E的离心率e==.12.(2022·绍兴模拟)图853如图853所示,椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),7\nF2(c,0).已知点M在椭圆上,且点M到两焦点距离之和为4.(1)求椭圆的方程;(2)设与MO(O为坐标原点)垂直的直线交椭圆于A,B(A,B不重合),求·的取值范围.【解】 (1)∵2a=4,∴a=2,又M在椭圆上,∴+=1,解得b2=2,∴所求椭圆方程+=1.(2)由题意知kMO=,∴kAB=-,设直线AB的方程为y=-x+m,联立方程组消去y,得13x2-4mx+2m2-4=0,Δ=(4m)2-4×13×(2m2-4)=8(26-m2)>0.∴m2<26,设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=.则·=x1x2+y1y2=7x1x2-m(x1+x2)+m2=∈.∴·的取值范围是.7

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发布时间:2022-08-25 16:55:47 页数:7
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文章作者:U-336598

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