2025年高考数学一轮讲义第1章 第3课时　不等式的性质

第3课时　不等式的性质[考试要求]　1．掌握等式性质.2．会比较两个数的大小.3．理解不等式的性质，并能简单应用．1．比较实数a，b大小的基本事实作差法a-b>0⇔a__b，a-b＝0⇔a__b，a-b<0⇔a__b.(a，b∈R)2．不等式的性质性质1　对称性：a>b⇔______；性质2　传递性：a>b，b>c⇒______；性质3　可加性：a>b⇔______________；性质4　可乘性：a>b，c>0⇒__________；a>b，c<0⇒__________；性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒______________；性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒__________；性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．[常用结论]若a>b>0，m>0，则(1)真分数性质：b-ma-m<ba<b+ma+m(b－m>0)，即真分数越加越大，越减越小；(2)假分数性质：a+mb+m<ab<a-mb-m(b－m>0)，即假分数越加越小，越减越大．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a＞b，则ac2＞bc2．(　　)(2)若ba>1，则b>a．(　　)(3)若1a>1b，则b<a．(　　)4/4 (4)若a<b<0，则1a2n<1b2n(n∈N*)．(　　)二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P43习题2.1T3改编)设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则(　　)A．M＞N　　　　B．M≥NC．M＜N　D．M≤N2．(人教A版必修第一册P43习题2.1T10改编)已知b克糖水中有a克糖(b>a>0)，再添加m克水(m>0)，糖水变淡了．下面式子可以说明这一事实的是(　　)A．ab+m＜ab　B．ab+m＞abC．ab＜a+mb+m　D．a+mb+m＜ab3．(人教A版必修第一册P42练习T2改编)用不等号“＞”或“＜”填空．(1)如果a＜b，c＞d，那么a－c________b－d；(2)如果a＜b＜0，那么1a2________1b2；(3)如果c＞a＞b＞0，那么ac-a________bc-b.4．(人教A版必修第一册P43习题2.1T5改编)已知－1<a<2，－3<b<5，则a－b的取值范围是________．考点一　数(式)的大小比较[典例1]　(1)若a<0，b<0，则p＝b2a+a2b与q＝a＋b的大小关系为(　　)A．p<q　　　　　　　B．p≤qC．p>q　D．p≥q(2)若a>b>1，P＝aeb，Q＝bea，则P，Q的大小关系是(　　)A．P>Q　B．P＝QC．P<Q　D．不能确定[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形(因式分解、配方、有理化等)；③定号；④4/4 得出结论．(2)作商法：①作商；②变形(因式分解、配方、有理化等)；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．[跟进训练]1．(1)已知a，b为不相等的实数，记M＝a2－ab，N＝ab－b2，则M与N的大小关系为(　　)A．M>N　　　　　B．M＝NC．M<N　D．不确定(2)已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为________．考点二　不等式的性质[典例2]　(1)(2023·北京朝阳区一模)若a>0>b，则(　　)A．a3>b3　B．|a|>|b|C．1a<1b　D．ln(a－b)>0(2)(2024·湖北武汉模拟)下列说法正确的是(　　)A．若ac2≥bc2，则a≥bB．若ca>cb，则a<bC．若a＋b>0，c－b>0，则a>cD．若a>0，b>0，m>0，且a<b，则a+mb+m>ab[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　判断不等式正误的常用方法(1)利用不等式的性质进行验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时，要特别注意应用性质条件．(2)利用特殊值法排除错误不等式．(3)利用函数的单调性，当利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较．[跟进训练]4/4 2．(多选)若1a<1b<0，则下列不等式正确的是(　　)A．1a+b<1ab　B．|a|＋b>0C．a－1a>b－1b　D．lna2>lnb2考点三　不等式性质的应用[典例3]　(多选)(2024·重庆模拟)已知－2<a＋b<4，2<2a－b<8，则下列不等式不正确的是(　　)A．0<a<4　B．0<b<2C．－6<a＋2b<6　D．0<a＋2b<8[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得代数式的取值范围．提醒：在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．[跟进训练]3．(多选)已知6＜a＜60，15＜b＜18，则下列结论正确的是(　　)A．ab∈13，4　B．a＋b∈(21，78)C．a－b∈(－9，42)　D．a+bb∈75，3994/4