2024年高考数学一轮复习讲义（学生版）第1章　§1.3　等式性质与不等式性质

§1.3　等式性质与不等式性质考试要求　1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．知识梳理1．两个实数比较大小的方法作差法(a，b∈R)2．等式的性质性质1　对称性：如果a＝b，那么；性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么；性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么.3．不等式的性质性质1　对称性：a>b⇔；性质2　传递性：a>b，b>c⇒；性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；性质4　可乘性：a>b，c>0⇒；a>b，c<0⇒；性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒；性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒；性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．常用结论1．若ab>0，且a>b⇔<.2．若a>b>0，m>0⇒<；若b>a>0，m>0⇒>.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(　　)(2)若>1，则b>a.(　　)4 (3)若x>y，则x2>y2.(　　)(4)若>，则b<a.(　　)教材改编题1．如果ac>bc，那么下列不等式中，一定成立的是(　　)A．ac2>bc2B．a>bC．a＋c>b＋cD.>2．已知M＝x2－3x，N＝－3x2＋x－3，则M，N的大小关系是________．3．若1<a<2,2<b<3，则的取值范围是________．题型一　数(式)的大小比较例1　(1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，则M，N的大小关系为(　　)A．M<NB．M>NC．M≤ND．M≥N(2)若a>b>1，P＝aeb，Q＝bea，则P，Q的大小关系是(　　)A．P>QB．P＝QC．P<QD．不能确定听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华　比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．跟踪训练1　(1)已知a，b为不相等的实数，记M＝a2－ab，N＝ab－b2，则M与N的大小关系为(　　)A．M>NB．M＝NC．M<ND．不确定(2)已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为________．题型二　不等式的性质例2　(1)已知a>b>c>0，下列结论正确的是(　　)A．2a<b＋cB．a(b－c)>b(a－c)4 C.>D．(a－c)3>(b－c)3(2)(多选)若a>0>b>－a，c<d<0，则下列结论正确的是(　　)A．ad>bcB.＋<0C．a－c>b－dD．a(d－c)>b(d－c)听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华　判断不等式的常用方法(1)利用不等式的性质逐个验证．(2)利用特殊值法排除错误选项．(3)作差法．(4)构造函数，利用函数的单调性．跟踪训练2　(1)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　)A．若a>b，则ac2>bc2B．若>，则a<bC．若a<b<c<0，则<D．若a>b，则a2>b2(2)(多选)若<<0，则下列不等式正确的是(　　)A.<B．|a|＋b>0C．a－>b－D．lna2>lnb2题型三　不等式性质的综合应用例3　(1)已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是__________，3x＋2y的取值范围是________．延伸探究　若将本例(1)中条件改为－1<x＋y<4,2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________4 (2)已知3<a<8,4<b<9，则的取值范围是________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华　求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．跟踪训练3　(1)已知1≤a≤2，－1≤b≤4，则a－2b的取值范围是(　　)A．[－7,4]B．[－6,9]C．[6,9]D．[－2,8](2)已知实数a，b，c，满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么的取值范围是________．4