2024届高考数学一轮复习（新教材人教A版强基版）第一章集合、常用逻辑用语、不等式1.3等式性质与不等式性质课件

§1.3等式性质与不等式性质第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用.考试要求 内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练 落实主干知识第一部分 1.两个实数比较大小的方法作差法a－b>0⇔ab，a－b＝0⇔ab，a－b<0⇔ab.(a，b∈R)>＝< 2.等式的性质性质1对称性：如果a＝b，那么；性质2传递性：如果a＝b，b＝c，那么；性质3可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；性质5可除性：如果a＝b，c≠0，那么.b＝aa＝c 3.不等式的性质性质1对称性：a>b⇔；性质2传递性：a>b，b>c⇒；性质3可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；性质4可乘性：a>b，c>0⇒；a>b，c<0⇒；性质5同向可加性：a>b，c>d⇒；性质6同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒；性质7同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2).b<aa>cac>bcac<bca＋c>b＋dac>bd 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种.()(2)若>1，则b>a.()(3)若x>y，则x2>y2.()(4)若，则b<a.()√××× 1.如果ac>bc，那么下列不等式中，一定成立的是A.ac2>bc2B.a>bC.a＋c>b＋cD.√若c<0，则a<b，所以ac2<bc2，a＋c<b＋c，A，B，C均错； 2.已知M＝x2－3x，N＝－3x2＋x－3，则M，N的大小关系是_______.∵M－N＝(x2－3x)－(－3x2＋x－3)＝4x2－4x＋3＝(2x－1)2＋2>0，∴M>N.M>N 又1<a<2， 探究核心题型第二部分 例1(1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，则M，N的大小关系为A.M<NB.M>NC.M≤ND.M≥N√题型一数(式)的大小比较因为M－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋4>0，所以M>N. < ∴f(x)在(e，＋∞)上单调递减， 比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小.思维升华 跟踪训练1(1)已知a，b为不相等的实数，记M＝a2－ab，N＝ab－b2，则M与N的大小关系为A.M>NB.M＝NC.M<ND.不确定√因为M－N＝(a2－ab)－(ab－b2)＝(a－b)2，又a≠b，所以(a－b)2>0，即M>N. M>N ∴M>N. 显然f(x)是R上的减函数，∴f(2021)>f(2022)，即M>N. 例2(1)已知a>b>c>0，下列结论正确的是题型二不等式的性质√∵a>b>c>0，∴2a>b＋c，故A错误；取a＝3>b＝2>c＝1>0，则a(b－c)＝3<b(a－c)＝4，故B错误；由a>b>c>0可知，a－c>b－c>0， (2)(多选)若a>0>b>－a，c<d<0，则下列结论正确的是√√√ 因为a>0>b，c<d<0，所以ad<0，bc>0，所以ad<bc，故A错误；因为0>b>－a，所以a>－b>0，因为c<d<0，所以－c>－d>0，所以a(－c)>(－b)(－d)，所以ac＋bd<0，cd>0，因为c<d，所以－c>－d，因为a>b，所以a＋(－c)>b＋(－d)，即a－c>b－d，故C正确；因为a>0>b，d－c>0，所以a(d－c)>b(d－c)，故D正确. 判断不等式的常用方法(1)利用不等式的性质逐个验证.(2)利用特殊值法排除错误选项.(3)作差法.(4)构造函数，利用函数的单调性. 跟踪训练2(1)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a，b，c∈R，则下列命题正确的是A.若a>b，则ac2>bc2√ 对于A选项，当c＝0时不满足，故错误；对于C选项，若a<b<c<0，则a＋c<0，b－a>0，(b－a)c<0，a(a＋c)>0，对于D选项，取a＝－1，b＝－2，可得a2<b2，故错误. √√ B中，因为b<a<0，所以－b>－a>0.故－b>|a|，即|a|＋b<0，故B错误； D中，因为b<a<0，根据y＝x2在(－∞，0)上单调递减，可得b2>a2>0，而y＝lnx在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以lnb2>lna2，故D错误. 例3(1)已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是_________，3x＋2y的取值范围是________.题型三不等式性质的综合应用(－4,2)(1,18)∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2.由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6，∴1<3x＋2y<18. 又3<a<8， 求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围. 跟踪训练3(1)已知1≤a≤2，－1≤b≤4，则a－2b的取值范围是A.[－7,4]B.[－6,9]C.[6,9]D.[－2,8]√因为－1≤b≤4，所以－8≤－2b≤2，由1≤a≤2，得－7≤a－2b≤4. (2)已知实数a，b，c，满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么的取值范围是___________.由于a>b>c，且a＋b＋c＝0， 课时精练第三部分 12345678910111213141516基础保分练A.M>NB.M<NC.M≤ND.M，N大小关系不确定√∴M<N. 2.已知a，b∈R，若a>b，同时成立，则A.ab>0B.ab<0C.a＋b>0D.a＋b<0√12345678910111213141516又a>b，所以b－a<0，所以ab>0. 3.(多选)已知a<b<0，则下列结论正确的是A.b2<abB.C.2a>2bD.ln(1－a)>ln(1－b)12345678910111213141516√√ 对于A，因为a<b<0，所以b－a>0，则b2－ab＝b(b－a)<0，即b2<ab，故选项A正确；对于C，因为a<b<0且函数y＝2x是增函数，所以2a<2b，故选项C错误；对于D，因为a<b<0，所以1－a>1－b>1，又因为函数y＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，所以ln(1－a)>ln(1－b)，故选项D正确.12345678910111213141516 4.若－π<α<β<π，则α－β的取值范围是A.－2π<α－β<2πB.0<α－β<2πC.－2π<α－β<0D.{0}√∵－π<β<π，∴－π<－β<π，又－π<α<π，∴－2π<α－β<2π，又α<β，∴α－β<0，∴－2π<α－β<0.12345678910111213141516 123456789101112131415165.已知x，y∈R，且x>y>0，则A.cosx－cosy>0B.cosx＋cosy>0C.lnx－lny>0D.lnx＋lny>0√ 对于A，y＝cosx在(0，＋∞)上不是单调函数，故cosx－cosy>0不一定成立，A错误；对于C，y＝lnx在(0，＋∞)上为增函数，若x>y>0，则lnx>lny，必有lnx－lny>0，C正确；12345678910111213141516 123456789101112131415166.(多选)(2023·汕头模拟)已知a，b，c满足c<a<b，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是A.ac(a－c)>0B.c(b－a)<0C.cb2<ab2D.ab>ac√√√因为a，b，c满足c<a<b，且ac<0，所以c<0，a>0，b>0，a－c>0，b－a>0，所以ac(a－c)<0，c(b－a)<0，cb2<ab2，ab>ac. 7.(多选)设a，b，c，d为实数，且a>b>0>c>d，则下列不等式正确的有12345678910111213141516√√ 因为a>b>0>c>d，所以a>b>0,0>c>d，对于A，因为0>c>d，由不等式的性质可得c2<cd，故选项A正确；对于B，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则a－c＝3，b－d＝3，所以a－c＝b－d，故选项B错误；对于C，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则ac＝－2，bd＝－2，所以ac＝bd，故选项C错误；12345678910111213141516 12345678910111213141516对于D，因为a>b>0，d<c<0，则ad<bc， 12345678910111213141516√√ 故选项A正确；则bc－ab>bc－ac，即a(c－b)>0，这与0<a<1，b>c>1矛盾，故选项B错误；12345678910111213141516 12345678910111213141516对于C，∵0<a<1，∴a－1<0.∵b>c>1，∴ca－1>ba－1，故选项C错误；对于D，∵0<a<1，b>c>1，∴logca<logba，故选项D正确. 123456789101112131415169.已知M＝x2＋y2＋z2，N＝2x＋2y＋2z－π，则M______N.(填“>”“<”或“＝”)>M－N＝x2＋y2＋z2－2x－2y－2z＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3>0，故M>N. 10.能够说明“设a，b，c是任意实数.若a2>b2>c2，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为_______________________.－3，－1,0(答案不唯一)12345678910111213141516令a＝－3，b＝－1，c＝0，则a2>b2>c2，此时a＋b＝－4<0，所以a＋b>c是假命题. 11.若1<α<3，－4<β<2，则2α＋|β|的取值范围是________.12345678910111213141516(2,10)∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，又1<α<3，∴2<2α<6，∴2<2α＋|β|<10. 12.eπ·πe与ee·ππ的大小关系为___________.eπ·πe<ee·ππ12345678910111213141516 13.(多选)(2022·沈阳模拟)已知非零实数a，b满足a>|b|＋1，则下列不等关系一定成立的是A.a2>b2＋1B.2a>2b＋1C.a2>4bD.综合提升练√√√12345678910111213141516 对于非零实数a，b满足a>|b|＋1，则a2>(|b|＋1)2，即a2>b2＋2|b|＋1>b2＋1，故A一定成立；因为a>|b|＋1≥b＋1⇒2a>2b＋1，故B一定成立；又(|b|－1)2≥0，即b2＋1≥2|b|，所以a2>4|b|≥4b，故C一定成立；令a＝5，b＝3，满足a>|b|＋1，12345678910111213141516 14.实数a，b，c，d满足下列三个条件：①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d<b＋c.那么a，b，c，d的大小关系是__________.12345678910111213141516b>d>c>a由题意知d>c①，由②＋③得2a＋b＋d<2c＋b＋d，化简得a<c④，由②式a＋b＝c＋d及a<c可得到，要使②成立，必须b>d⑤成立，综合①④⑤式得到b>d>c>a. 15.(多选)(2023·长沙模拟)设实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则下列不等式成立的是A.c<bB.b≥1C.b≤aD.a<c12345678910111213141516拓展冲刺练√√ 两式相减得2b＝2a2＋2，即b＝a2＋1，∴b≥1.∴b>a.而c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b，从而c≥b>a.12345678910111213141516 16.(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则A.a＞0＞bB.a＞b＞0C.b＞a＞0D.b＞0＞a12345678910111213141516√ ∵9m＝10，∴m∈(1,2)，令f(x)＝xm－(x＋1)，x∈(1，＋∞)，∴f′(x)＝mxm－1－1，∵x>1且1<m<2，∴xm－1>1，∴f′(x)>0，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，又9m＝10，∴9m－10＝0，即f(9)＝0，又a＝f(10)，b＝f(8)，∴f(8)<f(9)<f(10)，即b<0<a.12345678910111213141516