2022年高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语2不等关系及简单不等式的解法课件（新人教A版文）

1.2不等关系及简单不等式的解法\n-2-知识梳理双基自测234151.两个实数比较大小的方法提示:当两个代数式正负不确定且为多项式形式时,常用作差法比较大小;当两个代数式均为正且均为幂的乘积式时,常用作商法比较大小.>=<\n-3-知识梳理双基自测234152.不等式的性质(1)对称性:a>b⇔b<a.(2)传递性:a>b,b>c⇒.(3)可加性:a>b⇔a+cb+c;a>b,c>d⇒a+cb+d.(4)可乘性:a>b,c>0⇒acbc;a>b,c<0⇒ac<bc;a>b>0,c>d>0⇒acbd.(5)可乘方:a>b>0⇒anbn(n∈N,n≥1).a>c>>>>>>\n-4-知识梳理双基自测23415\n-5-知识梳理双基自测234154.三个“二次”之间的关系{x|x>x2或x<x1}{x|x1<x<x2}⌀⌀\n-6-知识梳理双基自测23415{x|x≠a}{x|x<b或x>a}{x|a<x<b}⌀5.(x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解法\n2-7-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)a>b⇔ac2>bc2.()(3)若关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.()(5)若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为R.()×√××√\n-8-知识梳理双基自测234152.若a>b>0,c<d<0,则一定有()答案解析解析关闭答案解析关闭\n-9-知识梳理双基自测234153.若0<a<b<1,则下列不等式成立的是()答案解析解析关闭∵0<a<b<1,∴0<b-a<1,∴lg(b-a)<0.答案解析关闭D\n-10-知识梳理双基自测23415A.{x|1<x<3}B.{x|-1<x<3}C.{x|-1<x<0或0<x<3}D.{x|-1<x<0或1<x<3}答案解析解析关闭答案解析关闭\n-11-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答案解析关闭\n-12-知识梳理双基自测23415自测点评1.在应用不等式性质时,不可强化或弱化成立的条件,如“同向不等式”才可相加,“同向且两边同正的不等式”才可相乘,“可乘性”中的c的符号等都需要注意.2.当判断两个式子大小时,对错误的关系式举反例即可,对正确的关系式,则需推理论证.3.解不等式ax2+bx+c>0(<0)时不要忘记讨论当a=0时的情形.4.不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象来决定.\n-13-考点1考点2考点3考点4例1(1)已知a1,a2∈(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是()A.M<NB.M>NC.M=ND.不确定A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c思考比较两个数(式)的大小常用的方法有哪些?BB\n-14-考点1考点2考点3考点4解析:(1)M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1).∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),∴a1-1<0,a2-1<0.∴(a1-1)(a2-1)>0,即M-N>0.∴M>N.(2)(方法一)由题意可知a,b,c都是正数.易知当x>e时,f'(x)<0,即f(x)单调递减.因为e<3<4<5,所以f(3)>f(4)>f(5),即c<b<a.\n-15-考点1考点2考点3考点4解题心得比较大小常用的方法有作差法、作商法、构造函数法.(1)作差法的一般步骤:①作差;②变形;③定号;④下结论.变形常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.(2)作商法一般适用于分式、指数式、对数式,作商只是思路,关键是化简变形,从而使结果能够与1比较大小.(3)构造函数法:构造函数,利用函数单调性比较大小.\n-16-考点1考点2考点3考点4对点训练1(1)已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是()A.c≥b>aB.a>c≥bC.c>b>aD.a>c>b(2)已知a,b是实数,且e<a<b,其中e是自然对数的底数,则ab与ba的大小关系是.ab>baA\n-17-考点1考点2考点3考点4\n-18-考点1考点2考点3考点4例2(1)如果a∈R,且a2+a<0,那么a,a2,-a,-a2的大小关系是()A.a2>a>-a2>-aB.a2>-a>a>-a2C.-a>a2>a>-a2D.-a>a2>-a2>a(2)若a>b>0,c<d<0,则一定有()D思考判断多个不等式是否成立的常用方法有哪些?D\n-19-考点1考点2考点3考点4解析:(1)由a2+a<0,即a(a+1)<0,解得-1<a<0.由不等式的性质可知-a>a2>0,而a<-a2<0,所以a<-a2<0<a2<-a.故选D.\n-20-考点1考点2考点3考点4解题心得判断多个不等式是否成立的常用方法:方法一是直接使用不等式性质,逐个验证;方法二是用特殊值法,即举反例排除.而常见的反例构成方式可从以下几个方面思考:(1)不等式两边都乘以一个代数式时,要注意所乘的代数式是正数、负数还是0;(2)不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变;(3)不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时取倒数后不等号方向不变等.\n-21-考点1考点2考点3考点4对点训练2(1)已知a<0,-1<b<0,则下列不等式成立的是()A.a>ab>ab2B.ab2>ab>aC.ab>a>ab2D.ab>ab2>a(2)已知a,b,c∈R,则下列命题中正确的是()A.若a>b,则ac2>bc2答案解析解析关闭答案解析关闭\n-22-考点1考点2考点3考点4考向一不含参数的一元二次不等式例3不等式-2x2+x+3<0的解集为.思考如何求解不含参数的一元二次不等式?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-23-考点1考点2考点3考点4考向二分式不等式思考解分式不等式的基本思路是什么?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-24-考点1考点2考点3考点4考向三含参数的一元二次不等式例5解关于x的不等式:x2-(a+1)x+a<0.思考解含参数的一元二次不等式时,分类讨论的依据是什么?解由x2-(a+1)x+a=0得(x-a)(x-1)=0,故x1=a,x2=1.当a>1时,x2-(a+1)x+a<0的解集为{x|1<x<a},当a=1时,x2-(a+1)x+a<0的解集为⌀,当a<1时,x2-(a+1)x+a<0的解集为{x|a<x<1}.\n-25-考点1考点2考点3考点4解题心得1.不含参数的一元二次不等式的解法:当二次项系数为负时,要先把二次项系数化为正,再根据判别式符号判断对应方程根的情况,并求出相应方程的两个根,最后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集.2.解分式不等式时,切忌直接去分母,一般先通过移项、通分,将或高次不等式.\n-26-考点1考点2考点3考点43.解含参数的一元二次不等式要分类讨论,分类讨论的依据是:(1)二次项中若含有参数应先讨论是等于0,小于0,还是大于0,再将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式.(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时,讨论判别式Δ与0的大小关系.(3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.\n-27-考点1考点2考点3考点4(3)解关于x的不等式:ax2-(a+1)x+1<0.\n-28-考点1考点2考点3考点4(3)解:若a=0,则原不等式等价于-x+1<0,解得x>1;\n-29-考点1考点2考点3考点4当a=1时,原不等式的解集为⌀;\n-30-考点1考点2考点3考点4考向一在R上恒成立求参数范围例6若一元二次不等式对一切实数x恒成立,则k的取值范围为()A.(-3,0]B.[-3,0)C.[-3,0]D.(-3,0)思考一元二次不等式在R上恒成立的条件是什么?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-31-考点1考点2考点3考点4考向二在给定区间上恒成立求参数范围例7设函数f(x)=mx2-mx-1.若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围.思考解决在给定区间上恒成立问题有哪些方法?\n-32-考点1考点2考点3考点4\n-33-考点1考点2考点3考点4\n-34-考点1考点2考点3考点4考向三给定参数范围的恒成立问题例8已知对任意的k∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,则x的取值范围是.思考如何求解给定参数范围的恒成立问题?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-35-考点1考点2考点3考点4解题心得1.ax2+bx+c≥0(a≠0)对任意实数x恒成立的条件是2.不等式在某区间上恒成立问题的求解方法:设f(x)=ax2+bx+c.(1)不等式解集法:不等式在集合A中恒成立,等价于集合A是不等式解集B的子集,通过求不等式的解集,并研究集合的关系求出参数的取值范围.(2)函数最值法:已知二次函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立⇒[f(x)]min=m≥a;f(x)≤a恒成立⇒[f(x)]max=n≤a.(3)分离参数法:先将参数与变量分离,转化为f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式;再求f2(x)的最大(或最小)值;最后通过解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤得参数λ的范围.\n-36-考点1考点2考点3考点43.已知参数范围求函数自变量的范围的一般思路是更换主元法.把参数当作函数的自变量,得到一种新的函数,然后利用新函数求解.确定主元的原则:知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.\n-37-考点1考点2考点3考点4对点训练4(1)设a为常数,∀x∈R,ax2+ax+1>0,则a的取值范围是()A.(0,4)B.[0,4)C.(0,+∞)D.(-∞,4)(2)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是.(3)已知不等式xy≤ax2+2y2对任意的x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,则实数a的取值范围是.B[-1,+∞)\n-38-考点1考点2考点3考点4\n-39-考点1考点2考点3考点4\n-40-考点1考点2考点3考点41.比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式证明的主要方法之一.比较法中的作差法的主要步骤为作差变形判断正负.2.判断不等式是否成立,主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法,特别是对于有一定条件限制的选择题,用特殊值验证的方法很简单.3.简单的分式不等式一般可以先等价转化为一元二次不等式,再利用一元二次不等式的解法进行求解.4.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础;一般可把a<0转化为a>0时的情形.\n-41-考点1考点2考点3考点45.对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.