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2023高考数学统考一轮复习第1章集合常用逻辑用语不等式第4节不等关系与不等式教师用书教案理新人教版202303081197
2023高考数学统考一轮复习第1章集合常用逻辑用语不等式第4节不等关系与不等式教师用书教案理新人教版202303081197
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不等关系与不等式[考试要求] 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.2.了解不等式(组)的实际背景.1.两个实数比较大小的方法(1)作差法(2)作商法2.不等式的性质(1)对称性:a>b⇔b<a;(双向性)(2)传递性:a>b,b>c⇒a>c;(单向性)(3)可加性:a>b⇔a+c>b+c;(双向性)(4)加法法则:a>b,c>d⇒a+c>b+d;(单向性)(5)可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;(单向性)a>b,c<0⇒ac<bc;(单向性)(6)乘法法则:a>b>0,c>d>0⇒ac>bd;(单向性)(7)乘方法则:a>b>0⇒an>bn(n≥2,n∈N);(单向性)(8)开方法则:a>b>0⇒>(n≥2,n∈N).(单向性)提醒:同向不等式可相加,不能相减.1.倒数性质(1)a>b,ab>0⇒<;(2)a<0<b⇒<;(3)a>b>0,d>c>0⇒>.2.分数性质若a>b>0,m>0,则\n(1)真分数性质:<;>(b-m>0);(2)假分数性质:>;<(b-m>0).一、易错易误辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若a>b,则ac2>bc2.( )(2)若ac2>bc2,则a>b.( )(3)若>1,则a>b.( )(4)若a+c>b+c,则a>b.( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√二、教材习题衍生1.设a,b,c∈R,且a>b,则( )A.ac>bc B.<C.a2>b2D.a3>b3D [取a=1,b=-2,c=-1,排除A,B,C,故选D.]2.若a>b>0,c<d<0,则( )A.ad>bcB.ad<bcC.ac>bdD.ac<bdD [c<d<0⇒-c>-d>0,则有-ac>-bd,所以ac<bd,故选D.]3.设b<a,d<c,则下列不等式中一定成立的是( )A.a-c<b-dB.ac<bdC.a+c>b+dD.a+d>b+cC [由a>b,c>d得a+c>b+d,故选C.]4.设a=+,b=+,则a与b的大小关系为( )A.a=b B.a>bC.a<b D.无法判断B [a2=17+2,b2=17+2,由2>2,知a2>b2,又a>0,b>0,所以a>b,故选B.]\n考点一 比较两个数(式)的大小 比较两个数或代数式的大小的三种方法(1)当两个数(或式子)正负未知且为多项式时,用作差法.步骤:①作差;②变形;③判断差的符号;④下结论.变形技巧:①分解因式;②平方后再作差;③配方;④分子、分母有理化;⑤通分.(2)作商法:适用于分式、指数式、对数式,要求两个数(或式子)为正数.步骤:①作商;②变形;③判断商与1的大小;④下结论.(3)特殊值法:对于比较复杂的代数式比较大小,利用不等式的性质不易比较大小时,可以采用特殊值法比较.[典例1] (1)若0<x<1,p,q∈N*,则M=1+xp+q与N=xp+xq的大小关系为( )A.M>NB.M<NC.M=ND.不确定(2)若a=,b=,则a________b.(填“>”或“<”)(1)A (2)< [(1)(1+xp+q)-(xp+xq)=(1-xp)+xq(xp-1)=(1-xp)(1-xq),∵0<x<1,p,q∈N*,∴1-xp>0,1-xq>0,∴(1-xp)(1-xq)>0,∴1+xp+q>xp+xq,即M>N,故选A.(2)法一:(作商法)易知a>0,b>0,===log89>1,所以b>a.法二:(作差法)b-a=-=(2ln3-3ln2)=(ln9-ln8)>0.所以b>a.]1.设M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3),则有( )A.M>NB.M≥NC.M<ND.M≤NA [M-N=(2a2-4a)-(a2-2a-3)=a2-2a+3=(a-1)2+2>0,∴M>N,故选A.]2.设a,b∈[0,+∞),A=+,B=,则A,B的大小关系是( )A.A≤BB.A≥BC.A<BD.A>B\nB [因为A≥0,B≥0,A2-B2=a+2+b-(a+b)=2≥0,所以A≥B.故选B.]考点二 不等式性质的应用1.判断不等式是否成立的方法(1)不等式性质法:直接利用不等式的性质逐个验证,利用不等式的性质时要特别注意前提条件.(2)特殊值法:利用特殊值排除错误答案.(3)单调性法:当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断.2.利用不等式的性质求取值范围的方法(1)已知x,y的范围,求F(x,y)的范围.可利用不等式的性质直接求解.(2)已知f(x,y),g(x,y)的范围,求F(x,y)的范围.可利用待定系数法解决,即设F(x,y)=mf(x,y)+ng(x,y),用恒等变形求得m,n,再利用不等式的性质求得F(x,y)的取值范围. 判断不等式是否成立[典例2-1] (1)若a>b>0,c<d<0,则一定有( )A.>B.<C.>D.<(2)(2019·全国卷Ⅱ)若a>b,则( )A.ln(a-b)>0B.3a<3bC.a3-b3>0D.|a|>|b|(1)B (2)C [(1)由c<d<0得<<0,则->->0,∴->-,∴<,故选B.(2)由函数y=lnx的图象(图略)知,当0<a-b<1时,ln(a-b)<0,故A错误;因为函数y=3x在R上单调递增,所以当a>b时,3a>3b,故B错误;因为函数y=x3在R上单调递增,所以当a>b时,a3>b3,即a3-b3>0,故C正确;当b<a<0时,|a|<|b|,故D错误.故选C.]点评:本例第(1)题也适合用特殊值法求解. 求代数式的取值范围[典例2-2] (1)已知-1<x<4,2<y<3,则x-y的取值范围是________,3x+2y\n的取值范围是________.(2)已知-1<x+y<4,2<x-y<3,则z=2x-3y的取值范围是________.(1)(-4,2) (1,18) (2)(3,8) [(1)∵-1<x<4,2<y<3,∴-3<-y<-2,∴-4<x-y<2;由-1<x<4,2<y<3得-3<3x<12,4<2y<6,∴1<3x+2y<18.(2)设2x-3y=λ(x+y)+μ(x-y),则2x-3y=(λ+μ)x+(λ-μ)y,∴,解得∴2x-3y=-(x+y)+(x-y).由-1<x+y<4得-2<-(x+y)<,由2<x-y<3得5<(x-y)<.∴3<2x-3y<8.]点评:x+y,x-y,2x-3y看作三个整体,整体中x,y相互制约.1.“a>b>0”是“a2+a>b2+b”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A [由a>b>0得a2>b2,∴a2+a>b2+b.反之由a2+a>b2+b可得(a2+a)-(b2+b)>0,即(a-b)(a+b+1)>0,∴或即或无法推出a>b>0.因此,“a>b>0”是“a2+a>b2+b”的充分不必要条件,故选A.]2.已知-1<x<y<3,则x-y的取值范围是________.(-4,0) [由-1<x<y<3得,-1<x<3,-3<-y<1.∴-4<x-y<4,又x<y.∴x-y<0.∴-4<x-y<0.]\n3.已知角α,β满足-<α-β<,0<α+β<π,则3α-β的取值范围是________.(-π,2π) [设3α-β=m(α-β)+n(α+β),则3α-β=(m+n)α+(n-m)β.∴,解得,∴3α-β=2(α-β)+(α+β).由-<α-β<得-π<2(α-β)<π,∴-π<3α-β<2π.]
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 17:30:47
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文章作者:U-336598
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