2023高考数学统考一轮复习第1章集合常用逻辑用语不等式第1节集合教师用书教案理新人教版202303081194
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第1章集合、常用逻辑用语、不等式全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式本章在高考中一般考查2~4个小题,选择题、填空题均可能出现.2.考查内容从考查内容看,集合主要考查两个方面:一是集合的概念及表示;二是集合的基本运算.常用逻辑用语主要从四个方面考查,分别为命题及其关系、充分必要条件的判断、逻辑联结词“或”“且”“非”以及全称量词与存在量词.不等式主要考查一元二次不等式的解法和简单的线性规划问题. 集合[考试要求] 1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中,了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.1.集合与元素\n(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于,用符号∈和∉表示.(3)集合的表示方法:列举法、描述法、Venn图法.(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N+)ZQR提醒:根据元素的互异性可判断所求参数的值是否符合要求.2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A,则x∈B)A⊆B或B⊇A真子集集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不在集合A中AB或BA集合相等集合A,B中的元素相同或集合A,B互为子集A=B提醒:∅是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合A∩B={x|x∈A且x∈B}并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合A∪B={x|x∈A或x∈B}补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合∁UA={x|x∈U且x∉A}1.对于有限集合A,其元素个数为n,则集合A的子集个数为2n,真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2.2.A∪B=A⇔B⊆A,A∩B=A⇔A⊆B.一、易错易误辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集.( )(2){x|y=x2}={y|y=x2}={(x,y)|y=x2}.( )\n(3)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( )(4)直线y=x+3与y=-2x+6的交点组成的集合是{1,4}.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×二、教材习题衍生1.若集合A={x∈N|x≤},a=2,则下列结论正确的是( )A.{a}⊆AB.a⊆AC.{a}∈AD.a∉AD [a=2∉N,则a∉A,故选D.]2.已知集合A={x|-2<x<3},集合B={x|x-1<0},则A∩B=________,A∪B=________.(-2,1) (-∞,3) [∵A={x|-2<x<3},B={x|x-1<0}={x|x<1},∴A∩B={x|-2<x<1},A∪B={x|x<3}.]3.已知U={α|0°<α<180°},A={x|x是锐角},B={x|x是钝角},则∁U(A∪B)=________.[答案] {x|x是直角}4.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},则集合M∪N的子集的个数为________.64 [∵M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},∴M∪N={0,1,2,3,4,5},∴M∪N的子集有26=64个.]考点一 集合的含义与表示解决与集合中的元素有关问题的一般思路1.(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( )A.9 B.8 C.5 D.4A [由x2+y2≤3知,-≤x≤,-≤y≤.又x∈Z,y∈Z,所以x∈{-1,0,1},y∈{-1,0,1},所以A中元素的个数为CC=9,故选A.]\n2.已知a,b∈R,若={a2,a+b,0},则a2021+b2021=________.-1 [由已知得a≠0,则=0,所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1,又根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去,因此a=-1,故a2021+b2021=(-1)2021+02021=-1.]3.若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=________.0或 [当a=0时,显然成立;当a≠0时,Δ=(-3)2-8a=0,即a=.]考点二 集合间的基本关系 判断集合关系的三种方法[典例1] (1)已知集合A={x|y=,x∈R},B={x|x=m2,m∈A},则( )A.ABB.BAC.A⊆BD.B=A(2)(2020·武汉模拟)集合{x|-1<x<3,x∈N*}的非空子集个数为( )A.3B.4C.7D.8(3)已知集合A={x|x2-2x-3<0},B={x|2-a<x<1+a},若B⊆A,则实数a的取值范围为________.(1)B (2)A (3)(-∞,2] [(1)由1-x2≥0得-1≤x≤1,则A={x|-1≤x≤1},由-1≤m≤1得0≤m2≤1,则B={x|0≤x≤1},所以BA,故选B.(2){x|-1<x<3,x∈N*}={1,2},其非空子集个数为3,故选A.(3)A={x|-1<x<3}.①若B=∅,满足B⊆A,\n此时2-a≥1+a,即a≤.②若B≠∅,由B⊆A得,解得<a≤2.由①②知a的取值范围为(-∞,2].]点评:(1)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.(2)空集是任何集合的子集,当题目条件中有B⊆A时,应分B=∅和B≠∅两种情况讨论,确定参数所满足的条件时,一定要把端点值代入验证,否则易增解或漏解.1.(2020·北京模拟)已知集合M={x∈R|x≥0},N⊆M,则在下列集合中符合条件的集合N可能是( )A.{0,1}B.{x|x2=1}C.{x|x2>0}D.RA [因为0∈M,1∈M,所以{0,1}⊆M,故选A.]2.若集合A={1,m},B={m2,m+1},且A=B,则m=( )A.0B.1C.±1D.0或1A [由题意知解得m=0,故选A.]考点三 集合的基本运算 集合运算三步骤 集合的交、并、补运算[典例2-1] (1)(2020·全国卷Ⅲ)已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为( )A.2B.3C.4D.6(2)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B等于( )A.(-1,1)B.(0,1)\nC.(-1,+∞)D.(0,+∞)(1)C (2)C [(1)由题意得,A∩B={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)},所以A∩B中元素的个数为4,选C.(2)∵A={y|y>0},B={x|-1<x<1},∴A∪B=(-1,+∞),故选C.]点评:集合运算的常用方法(1)若集合中的元素是离散的,常用Venn图求解.(2)若集合中的元素是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点是实心还是空心. 根据集合的运算结果求参数[典例2-2] (1)(2020·全国卷Ⅰ)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=( )A.-4B.-2C.2D.4(2)(2020·秦皇岛模拟)若集合A={x|x≥3-2a},B={x|(x-a+1)(x-a)≥0},A∪B=R,则实数a的取值范围为( )A.[2,+∞)B.C.D.(-∞,2](1)B (2)C [(1)易知A={x|-2≤x≤2},B=,因为A∩B={x|-2≤x≤1},所以-=1,解得a=-2.故选B.(2)B={x|x≥a或x≤a-1},由A∪B=R得3-2a≤a-1,解得a≥,故选C.]1.(2019·天津高考)设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B=( )A.{2}B.{2,3}C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4}D [由题意可知A∩C={1,2},则(A∩C)∪B={1,2,3,4},故选D.]2.已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则( )A.A∩B={x|x<0}B.A∪B=RC.A∪B={x|x>1}D.A∩B=∅A [B={x|3x<1}={x|x<0},又A={x|x<1},则A∩B={x|x<0}.A∪B={x|x<1},故选A.]\n3.已知集合A=[1,+∞),B=[0,3a-1],若A∩B≠∅,则实数a的取值范围是( )A.[1,+∞)B.C.D.(1,+∞)C [由A∩B≠∅得3a-1≥1,解得a≥,故选C.]
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