2024届高考数学一轮复习（新教材人教A版强基版）第一章集合、常用逻辑用语、不等式1.2常用逻辑用语课件

§1.2常用逻辑用语第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.考试要求 内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练 落实主干知识第一部分 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的条件，q是p的条件p是q的条件p⇒q且q⇏pp是q的条件p⇏q且q⇒pp是q的条件p⇔qp是q的条件p⇏q且q⇏p充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要 2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.∀∃ 3.全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记________________________否定∃x∈M，綈p(x)______________∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)∀x∈M，綈p(x) 1.充分、必要条件与对应集合之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}.(1)若p是q的充分条件，则A⊆B；(2)若p是q的充分不必要条件，则AB；(3)若p是q的必要不充分条件，则BA；(4)若p是q的充要条件，则A＝B.2.含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”.3.命题p与p的否定的真假性相反. 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件.()(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题.()(3)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.()√√√× 1.命题“∀x∈R，ex－1≥x”的否定是A.∃x∈R，ex－1≥xB.∀x∈R，ex－1≤xC.∃x∈R，ex－1<xD.∀x∈R，ex－1<x√由题意得命题“∀x∈R，ex－1≥x”的否定是“∃x∈R，ex－1<x”. 2.(多选)下列命题中为真命题的是A.∀x∈R，x2>0B.∀x∈R，－1≤sinx≤1C.∃x∈R，2x<0D.∃x∈R，tanx＝2√√当x＝0时，x2＝0，所以A选项错误；当x∈R时，－1≤sinx≤1，所以B选项正确；因为2x>0，所以C选项错误；因为函数y＝tanx∈R，所以D选项正确. 3.若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是__________.(3，＋∞)因为“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，所以(m，＋∞)是(3，＋∞)的真子集，由图可知m>3. 探究核心题型第二部分 例1(1)(2023·淮北模拟)“a>b>0”是“>1”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件√题型一充分、必要条件的判定 (2)(2023·盐城、南京模拟)在等比数列{an}中，公比为q.已知a1＝1，则0<q<1是数列{an}单调递减的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√ an＝qn－1，所以数列{an}单调递减，故充分性成立.所以0<q<1是数列{an}单调递减的充要条件. 充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.思维升华 跟踪训练1(1)(2022·长春模拟)“a·b＝|a||b|”是“a与b共线”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√ 因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|，所以cos〈a，b〉＝1，因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝0，所以a与b共线，当a与b共线时，〈a，b〉＝0或〈a，b〉＝π，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|或a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－|a||b|，所以“a·b＝|a||b|”是“a与b共线”的充分不必要条件. (2)(多选)下列各函数中，满足“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充要条件的是A.f(x)＝2xB.f(x)＝3x－3－xC.f(x)＝x3D.f(x)＝log3|x|√√依题意，x1＋x2＝0⇔f(x1)＋f(x2)＝0，即f(x)是奇函数，故B，C符合题意. 例2在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分条件；③“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题.问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}.(1)当a＝2时，求A∩B；(2)若________，求实数a的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.题型二充分、必要条件的应用 (1)由(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，所以B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}＝{x|－1<x<3}，当a＝2时，A＝{x|2≤x≤4}，所以A∩B＝{x|2≤x<3}. 求参数问题的解题策略(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验. 跟踪训练2若集合A＝{x|x>2}，B＝{x|bx>1}，其中b为实数.(1)若A是B的充要条件，则b＝_____；由已知可得A＝B，则x＝2是方程bx＝1的解， (2)若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是___________.若不等式bx>1对任意的x>2恒成立，因为A是B的充分不必要条件， 命题点1含量词命题的否定例3(2022·漳州模拟)命题“∀a∈R，x2－ax＋1＝0有实数解”的否定是A.∀a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解B.∃a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解C.∀a∈R，x2－ax＋1≠0有实数解D.∃a∈R，x2－ax＋1≠0有实数解题型三全称量词与存在量词√ 因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“∀a∈R，x2－ax＋1＝0有实数解”的否定是“∃a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解”. 命题点2含量词命题真假的判断例4(多选)(2023·沈阳模拟)下列命题中为真命题的是A.∃x∈R，≤1B.对于∀x∈R，n∈N*且n>1，都有＝xC.∀x∈R，ln(x－1)2≥0D.∃x∈R，lnx≥x－1√√ 当x＝1时，ln(x－1)2无意义，故C项是假命题；当x＝1时，lnx≥x－1，故D项是真命题. 命题点3含量词命题的应用√ 含量词命题的解题策略(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围. 跟踪训练3(1)已知命题p：∃n∈N，n2≥2n＋5，则綈p为A.∀n∈N，n2≥2n＋5B.∃n∈N，n2≤2n＋5C.∀n∈N，n2<2n＋5D.∃n∈N，n2＝2n＋5√由存在量词命题的否定可知，綈p为∀n∈N，n2<2n＋5.所以C正确，A，B，D错误. (2)(多选)下列命题是真命题的是A.∀x∈R，－x2－1<0B.∀n∈Z，∃m∈Z，nm＝mC.所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径√√√ ∀x∈R，－x2≤0，所以－x2－1<0，故A项是真命题；当m＝0时，nm＝m恒成立，故B项是真命题；任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C项是真命题；因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2， (3)若命题“∃x∈R，x2－x＋a＝0”为假命题，则实数a的取值范围为__________.若命题“∃x∈R，x2－x＋a＝0”为假命题，则一元二次方程x2－x＋a＝0无实数解， 课时精练第三部分 1.(2023·上饶模拟)“x2>2021”是“x2>2022”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12345678910111213141516基础保分练√ 12345678910111213141516若x2>2022，因为2022>2021，故x2>2021，故“x2>2022”可以推出“x2>2021”，取x2＝2021.5，则满足x2>2021，但x2>2022不成立，所以“x2>2021”不能推出“x2>2022”，所以“x2>2021”是“x2>2022”的必要不充分条件. 2.已知命题p：∃x∈Q，使得x∉N，则綈p为A.∀x∉Q，都有x∉NB.∃x∉Q，使得x∈NC.∀x∈Q，都有x∈ND.∃x∈Q，使得x∈N√因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以由p：∃x∈Q，使得x∉N，得綈p：∀x∈Q，都有x∈N.12345678910111213141516 3.已知命题：“∀x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，则实数a的取值范围是A.a<4B.a≤4C.a>4D.a≥4√12345678910111213141516“∀x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，故Δ＝16－4a≥0，解得a≤4. 123456789101112131415164.(2023·武汉模拟)已知a，b是两条不重合的直线，α为一个平面，且a⊥α，则“b⊥α”是“a∥b”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√当b⊥α时，结合a⊥α，可得a∥b，充分性满足；当a∥b时，结合a⊥α，可得b⊥α，必要性满足.故“b⊥α”是“a∥b”的充要条件. 123456789101112131415165.命题“∀1≤x≤2，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是A.a≥4B.a≥5C.a≤4D.a≤5√因为命题“∀1≤x≤2，x2－a≤0”是真命题，所以∀1≤x≤2，a≥x2恒成立，所以a≥4，结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a≥5. 123456789101112131415166.(多选)下列命题是真命题的是A.所有的素数都是奇数B.有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0C.“α＝β”是“sinα＝sinβ”成立的充分不必要条件D.命题“∃x∈R，x＋2≤0”的否定是“∀x∈R，x＋2>0”√√ 123456789101112131415162是一个素数，但2是偶数，所以A是假命题；对于方程x2＋2x＋3＝0，其中Δ＝22－4×3＝－8<0，所以不存在实数，使得x2＋2x＋3＝0成立，所以B是假命题；由α＝β⇒sinα＝sinβ，但由sinα＝sinβ不能得到α＝β，故“α＝β”是“sinα＝sinβ”成立的充分不必要条件，所以C是真命题；根据全称量词命题与存在量词命题的关系，可得命题“∃x∈R，x＋2≤0”的否定是“∀x∈R，x＋2>0”，所以D是真命题. 7.(多选)若“∃x∈(0,2)，使得2x2－λx＋1<0成立”是假命题，则实数λ可能的值是√√由题意可知，命题“∀x∈(0,2)，2x2－λx＋1≥0成立”是真命题，12345678910111213141516 8.南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S1，S2，则“S1，S2不总相等”是“V1，V2不相等”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√12345678910111213141516 命题：如果“S1，S2不总相等”，那么“V1，V2不相等”的等价命题是：如果“V1，V2相等”，那么“S1，S2总相等”.根据祖暅原理，当两个截面的面积S1，S2总相等时，这两个几何体的体积V1，V2相等，所以逆命题为真，故是必要条件；当两个三棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积相等，但截得截面面积未必相等，故是不充分条件，所以“S1，S2不总相等”是“V1，V2不相等”的必要不充分条件.12345678910111213141516 12345678910111213141516因为“sinx<cosx”的否定是“sinx≥cosx”， 10.使得“2x>4x”成立的一个充分条件是___________________.x<－1(答案不唯一)12345678910111213141516由于4x＝22x，故2x>22x等价于x>2x，解得x<0，使得“2x>4x”成立的一个充分条件只需为集合{x|x<0}的子集即可. 11.已知命题“∃x∈{x|－2<x<3}，使得等式2x－m＝0成立”是假命题，则实数m的取值范围是_______________________.12345678910111213141516(－∞，－4]∪[6，＋∞)若原命题为真命题，则∃x∈{x|－2<x<3}，使得m＝2x成立，则－4<m<6；故若原命题为假命题，则实数m的取值范围为(－∞，－4]∪[6，＋∞). 12.已知α：x<2m－1或x>－m，β：x<2或x≥4，若α是β的必要条件，则实数m的取值范围是___________.12345678910111213141516 12345678910111213141516设A＝{x|x<2m－1或x>－m}，B＝{x|x<2或x≥4}，若α是β的必要条件，则B⊆A， 13.(多选)若“∀x∈M，|x|>x”为真命题，“∃x∈M，x>3”为假命题，则集合M可以是A.(－∞，－5)B.(－3，－1]C.(3，＋∞)D.[0,3]12345678910111213141516综合提升练√√ 12345678910111213141516∵∃x∈M，x>3为假命题，∴∀x∈M，x≤3为真命题，可得M⊆(－∞，3]，又∀x∈M，|x|>x为真命题，可得M⊆(－∞，0)，∴M⊆(－∞，0). 14.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”，经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是______.12345678910111213141516乙 12345678910111213141516四人供词中，乙、丁意见一致，或同真或同假.若同真，即丙偷的，而四人有两人说的是真话，则甲、丙说的是假话，甲说“罪犯在乙、丙、丁三人之中”是假话，即乙、丙、丁没偷，相互矛盾；若同假，即不是丙偷的，则甲、丙说的是真话，甲说“罪犯在乙、丙、丁三人之中”，丙说“甲、乙两人中有一人是小偷”是真话，可知罪犯是乙. 15.(2022·九江模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝kan＋k，则“数列{an}为等差数列”是“k＝1”的A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件12345678910111213141516拓展冲刺练√ 12345678910111213141516当k＝1时，an＋1＝an＋1，则{an}为等差数列，必要性成立；若{an}为等差数列，由a1＝1，a2＝2k，a3＝2k2＋k， 16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“a>b”是“A＋cosA>B＋cosB”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12345678910111213141516√ 在△ABC中，若a>b，则根据大边对大角可得A>B.设f(x)＝x＋cosx，x∈(0，π)，则f′(x)＝1－sinx，x∈(0，π)时，sinx∈(0,1]，∴f′(x)≥0，∴f(x)在(0，π)上单调递增，∴a>b⇔A>B⇔f(A)>f(B)⇔A＋cosA>B＋cosB.12345678910111213141516