2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）第03讲 等式与不等式的性质（讲义）（解析版）

第03讲等式与不等式的性质目录 考点要求考题统计考情分析1．掌握等式性质．2．会比较两个数的大小．3．理解不等式的性质，并能简单应用．2022年II卷第12题，5分高考对不等式的性质的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，单独考查的题目虽然不多，但不等式的性质几乎可以渗透到高考的每一个考点，是进行不等式变形、证明以及解不等式的依据，所以它不仅是数学中的不可或缺的工具，也是高考考查的一个重点内容．1、比较大小基本方法关系方法做差法与0比较做商法与1比较或 或2、不等式的性质（1）基本性质性质性质内容对称性传递性可加性可乘性同向可加性同向同正可乘性可乘方性【解题方法总结】1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．比较法又分为作差比较法和作商比较法．作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小．作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法．题型一：不等式性质的应用【解题方法总结】1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．2、充分利用基本初等函数性质进行判断． 3、小题可以用特殊值法做快速判断．例1．（多选题）（2023·重庆·统考模拟预测）已知，，则下列关系式一定成立的是（    ）A．B．C．D．【答案】BD【解析】因为，所以或，当时，，A不成立，，，由，故，当且仅当，即时，等号成立，因为，故等号不成立，故；当时，，，不妨设，则，故此时C不成立，由，故，当且仅当，即时，等号成立，因为，故等号不成立，故；综上：BD一定成立.故选：BD例2．（多选题）（2023·山东·校联考二模）已知实数满足，且，则下列说法正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】BC【解析】对于A，，，，A错误；对于B，，，，，，，，即，B正确；对于C，，，，即，C正确；对于D，，D错误.故选：BC.例3．（多选题）（2023·全国·校联考模拟预测）若，则下列结论正确的是（    ）A．B． C．D．【答案】ACD【解析】∵，则，，∴，即，A正确；例如，，，，，显然，B错误；由得，，∴，即，C正确；易知，，，，∴，D正确；故选：ACD．题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式【解题方法总结】比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．比较法又分为作差比较法和作商比较法．作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小．作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：若，则；；；若，则；；．例4．（2023·全国·高三专题练习）若,则将从小到大排列为______.【答案】【解析】，不妨令， 则有，有，即.故答案为：.例5．（2023·全国·高三专题练习）如果a>b，给出下列不等式：①；②a3>b3；③；④2ac2>2bc2；⑤>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.其中一定成立的不等式的序号是________．【答案】②⑥【解析】令，，排除①，，排除③选项，，排除⑤.当时，排除④.由于幂函数为上的递增函数，故，②是一定成立的.由于，故.故⑥正确.所以一定成立的是②⑥.例6．（2023·高三课时练习）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：；（2）设x，，比较与的大小.【解析】（1）由a＞b＞0，c＜d＜0，得－c＞－d＞0，a－c＞b－d＞0，从而得.又a＞b＞0，所以.（2）因为，当且仅当x＝y时等号成立，所以当x＝y时，；当时，.例7．（2023·全国·高三专题练习）（1）试比较与的大小；（2）已知，，求证：．【解析】（1）由题意， ，所以．（2）证明：因为，所以，即，而，所以，则．得证．题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围【解题方法总结】在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系．例8．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足则（    ）A．的取值范围为B．的取值范围为C．的取值范围为D．的取值范围为【答案】ABD【解析】因为，所以.因为，所以，则，故A正确；因为，所以.因为，所以，所以，所以，故B正确；因为，所以，则，故C错误；因为，所以，则，故D正确.故选：ABD.例9．（2023·广东·高三校联考期末）已知，，则的取值范围为（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，所以，则，又，所以，，由不等式的性质得：，则的取值范围为.故选：D.例10．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是（    ） A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，由，得.故选：A.例11．（2023·全国·高三专题练习）已知三个实数a、b、c，当时，且，则的取值范围是____________．【答案】【解析】当时满足：且，，即，进而，解得．所以或，，令，，由于所以在单调递增，在单调递减，当时，，当时，，所以故答案为：．题型四：不等式的综合问题【解题方法总结】综合利用等式与不等式的性质例12．（多选题）（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知，，且满足，．则的取值可以为（    ） A．10B．11C．12D．20【答案】CD【解析】因为，，所以，，故，当，且，而时，即等号不能同时成立，所以，故AB错误，CD正确.故选：CD.例13．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知，则（    ）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】由得，，由于，所以，所以，因此且，故A正确，，当时，，由于，当且仅当时，等号成立，故，当时，，所以，故B正确，，当且仅当时取等号，故，所以C错误，，当且仅当取等号，又，所以或者等号成立，故选：ABD例14．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知实数a，b满足，则（    ） A．B．C．D．的最小值为1【答案】BC【解析】由可知，，由不等式的性质可知，则．选项A：因为对数函数为减函数，，所以，故A错误；选项B：由函数的单调性可知，故B正确；选项C：因为，所以，故C正确；选项D：，当且仅当，即时取得等号，显然等号不成立，故D错误．故选：BC.例15．（2023·全国·高三专题练习）已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，则a的最大值是__．【答案】【解析】∵a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，∴b+c＝﹣a，b2+c2＝1﹣a2，∴∴b、c是方程：x2+ax+a20的两个实数根，∴∴即∴即a的最大值为故答案为：．题型五：糖水不等式 【解题方法总结】糖水不等式：若，，则一定有，或者．例16．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知糖水中含有糖()，若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（    ）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】对于A，由题意可知，正确；对于B，因为，所以，正确；对于C，即，错误；对于D，，正确.故选：ABD例17．（2023·山西·统考一模）我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜．这句话用数学符号可表示为：，其中，且a，b，．据此可以判断两个分数的大小关系，比如_________（填“＞”“＜”）．【答案】>【解析】令，则，令，则，所以，，根据题设知：.故答案为：>例18．（2023·福建·高三校联考阶段练习）若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(，)数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出 ___________(用“”或“”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式___________.【答案】；【解析】空1：因为，所以可得：；空2：由空1可得：，即.故答案为：；1．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）若x，y满足，则（    ）A．B．C．D．【答案】BC【解析】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；因为变形可得，设，所以，因此，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．故选：BC．2．（2019·全国·高考真题）若a>b，则（）A．ln(a−b)>0B．3a<3bC．a3−b3>0D．│a│>│b│【答案】C【解析】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以 ，故选C．3．（2017·山东·高考真题）若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，且，所以设，则，所以单调递增，所以，所以选B.