第一章　§1.3　等式性质与不等式性质

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期§1.3　等式性质与不等式性质考试要求　1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．知识梳理1．两个实数比较大小的方法作差法(a，b∈R)2．等式的性质性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a；性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝.3．不等式的性质性质1　对称性：a>b⇔b<a；性质2　传递性：a>b，b>c⇒a>c；性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；性质4　可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．常用结论1．若ab>0，且a>b⇔<.2．若a>b>0，m>0⇒<；若b>a>0，m>0⇒>.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(　√　)(2)若>1，则b>a.(　×　)成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期(3)若x>y，则x2>y2.(　×　)(4)若>，则b<a.(　×　)教材改编题1．如果ac>bc，那么下列不等式中，一定成立的是(　　)A．ac2>bc2B．a>bC．a＋c>b＋cD.>答案　D解析　若c<0，则a<b，所以ac2<bc2，a＋c<b＋c，A，B，C均错；因为ac>bc，则c2>0，因为ac>bc，则>，即>，故D正确．2．已知M＝x2－3x，N＝－3x2＋x－3，则M，N的大小关系是________．答案　M>N解析　∵M－N＝(x2－3x)－(－3x2＋x－3)＝4x2－4x＋3＝(2x－1)2＋2>0，∴M>N.3．若1<a<2,2<b<3，则的取值范围是________．答案　解析　由2<b<3，得<<，又1<a<2，∴1×<a×<2×，即<<1.题型一　数(式)的大小比较例1　(1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，则M，N的大小关系为(　　)A．M<NB．M>NC．M≤ND．M≥N答案　B成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期解析　因为M－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋4>0，所以M>N.(2)若a>b>1，P＝aeb，Q＝bea，则P，Q的大小关系是(　　)A．P>QB．P＝QC．P<QD．不能确定答案　C解析　P，Q作商可得＝＝，令f(x)＝，则f′(x)＝，当x>1时，f′(x)>0，所以f(x)＝在(1，＋∞)上单调递增，因为a>b>1，所以<，又>0，>0，所以＝<1，所以P<Q.思维升华　比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．跟踪训练1　(1)已知a，b为不相等的实数，记M＝a2－ab，N＝ab－b2，则M与N的大小关系为(　　)A．M>NB．M＝NC．M<ND．不确定答案　A解析　因为M－N＝(a2－ab)－(ab－b2)＝(a－b)2，又a≠b，所以(a－b)2>0，即M>N.(2)已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为________．答案　M>N解析　方法一　M－N＝－＝成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期＝＝>0.∴M>N.方法二　令f(x)＝＝＝＋，显然f(x)是R上的减函数，∴f(2021)>f(2022)，即M>N.题型二　不等式的性质例2　(1)已知a>b>c>0，下列结论正确的是(　　)A．2a<b＋cB．a(b－c)>b(a－c)C.>D．(a－c)3>(b－c)3答案　D解析　∵a>b>c>0，∴2a>b＋c，故A错误；取a＝3>b＝2>c＝1>0，则a(b－c)＝3<b(a－c)＝4，故B错误；由a>b>c>0可知，a－c>b－c>0，∴<，(a－c)3>(b－c)3，故C错误，D正确．(2)(多选)若a>0>b>－a，c<d<0，则下列结论正确的是(　　)A．ad>bcB.＋<0C．a－c>b－dD．a(d－c)>b(d－c)答案　BCD解析　因为a>0>b，c<d<0，所以ad<0，bc>0，所以ad<bc，故A错误；因为0>b>－a，所以a>－b>0，因为c<d<0，所以－c>－d>0，所以a(－c)>(－b)(－d)，所以ac＋bd<0，cd>0，所以＝＋<0，故B正确；因为c<d，所以－c>－d，因为a>b，所以a＋(－c)>b＋(－d)，即a－c>b－d，故C正确；因为a>0>b，d－c>0，所以a(d－c)>b(d－c)，故D正确．思维升华　判断不等式的常用方法成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期(1)利用不等式的性质逐个验证．(2)利用特殊值法排除错误选项．(3)作差法．(4)构造函数，利用函数的单调性．跟踪训练2　(1)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　)A．若a>b，则ac2>bc2B．若>，则a<bC．若a<b<c<0，则<D．若a>b，则a2>b2答案　C解析　对于A选项，当c＝0时不满足，故错误；对于B选项，由不等式性质知，>两边同时乘以c2>0，可得a>b，故错误；对于C选项，若a<b<c<0，则a＋c<0，b－a>0，(b－a)c<0，a(a＋c)>0，故－＝＝<0，即<，故正确；对于D选项，取a＝－1，b＝－2，可得a2<b2，故错误．(2)(多选)若<<0，则下列不等式正确的是(　　)A.<B．|a|＋b>0C．a－>b－D．lna2>lnb2答案　AC解析　由<<0，可知b<a<0.A中，因为a＋b<0，ab>0，所以<0，>0.则<，故A正确；B中，因为b<a<0，所以－b>－a>0.故－b>|a|，即|a|＋b<0，故B错误；成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期C中，因为b<a<0，又<<0，则－>－>0，所以a－>b－，故C正确；D中，因为b<a<0，根据y＝x2在(－∞，0)上单调递减，可得b2>a2>0，而y＝lnx在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以lnb2>lna2，故D错误．题型三　不等式性质的综合应用例3　(1)已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是__________，3x＋2y的取值范围是________．答案　(－4,2)　(1,18)解析　∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2.由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6，∴1<3x＋2y<18.延伸探究　若将本例(1)中条件改为－1<x＋y<4,2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围．解　设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，则∴即3x＋2y＝(x＋y)＋(x－y)，又∵－1<x＋y<4,2<x－y<3，∴－<(x＋y)<10,1<(x－y)<，∴－<(x＋y)＋(x－y)<，即－<3x＋2y<，∴3x＋2y的取值范围为.(2)已知3<a<8,4<b<9，则的取值范围是________．答案　解析　∵4<b<9，∴<<，又3<a<8，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期∴×3<<×8，即<<2.思维升华　求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．跟踪训练3　(1)已知1≤a≤2，－1≤b≤4，则a－2b的取值范围是(　　)A．[－7,4]B．[－6,9]C．[6,9]D．[－2,8]答案　A解析　因为－1≤b≤4，所以－8≤－2b≤2，由1≤a≤2，得－7≤a－2b≤4.(2)已知实数a，b，c，满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么的取值范围是________．答案　－2<<－解析　由于a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，b＝－a－c，－a－c<a,2a>－c，>－2，－a－c>c，－a>2c，<－，所以－2<<－.课时精练1．(2023·长春模拟)已知a>0，b>0，M＝，N＝＋，则M与N的大小关系为(　　)A．M>NB．M<NC．M≤ND．M，N大小关系不确定答案　B解析　M2－N2＝(a＋b)－(a＋b＋2)＝－2<0，∴M<N.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期2．已知a，b∈R，若a>b，<同时成立，则(　　)A．ab>0B．ab<0C．a＋b>0D．a＋b<0答案　A解析　因为<，所以－＝<0，又a>b，所以b－a<0，所以ab>0.3．(多选)已知a<b<0，则下列结论正确的是(　　)A．b2<abB.<C．2a>2bD．ln(1－a)>ln(1－b)答案　AD解析　对于A，因为a<b<0，所以b－a>0，则b2－ab＝b(b－a)<0，即b2<ab，故选项A正确；对于B，因为a<b<0，所以ab>0，则<，即<，故选项B错误；对于C，因为a<b<0且函数y＝2x是增函数，所以2a<2b，故选项C错误；对于D，因为a<b<0，所以1－a>1－b>1，又因为函数y＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，所以ln(1－a)>ln(1－b)，故选项D正确．4．若－π<α<β<π，则α－β的取值范围是(　　)A．－2π<α－β<2πB．0<α－β<2πC．－2π<α－β<0D．{0}答案　C解析　∵－π<β<π，∴－π<－β<π，又－π<α<π，∴－2π<α－β<2π，又α<β，∴α－β<0，∴－2π<α－β<0.5．已知x，y∈R，且x>y>0，则(　　)A．cosx－cosy>0B．cosx＋cosy>0C．lnx－lny>0成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期D．lnx＋lny>0答案　C解析　对于A，y＝cosx在(0，＋∞)上不是单调函数，故cosx－cosy>0不一定成立，A错误；对于B，当x＝π，y＝时，cosx＋cosy＝－1<0，B不一定成立；对于C，y＝lnx在(0，＋∞)上为增函数，若x>y>0，则lnx>lny，必有lnx－lny>0，C正确；对于D，当x＝1，y＝时，lnx＋lny＝ln <0，D不一定成立．6．(多选)(2023·汕头模拟)已知a，b，c满足c<a<b，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是(　　)A．ac(a－c)>0B．c(b－a)<0C．cb2<ab2D．ab>ac答案　BCD解析　因为a，b，c满足c<a<b，且ac<0，所以c<0，a>0，b>0，a－c>0，b－a>0，所以ac(a－c)<0，c(b－a)<0，cb2<ab2，ab>ac.7．(多选)设a，b，c，d为实数，且a>b>0>c>d，则下列不等式正确的有(　　)A．c2<cdB．a－c<b－dC．ac<bdD.－>0答案　AD解析　因为a>b>0>c>d，所以a>b>0,0>c>d，对于A，因为0>c>d，由不等式的性质可得c2<cd，故选项A正确；对于B，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则a－c＝3，b－d＝3，所以a－c＝b－d，故选项B错误；对于C，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则ac＝－2，bd＝－2，所以ac＝bd，故选项C错误；对于D，因为a>b>0，d<c<0，则ad<bc，所以>，故－>0，故选项D正确．成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期8．(多选)(2022·沈阳模拟)已知非零实数a，b满足a>|b|＋1，则下列不等关系一定成立的是(　　)A．a2>b2＋1B．2a>2b＋1C．a2>4bD.>b＋1答案　ABC解析　对于非零实数a，b满足a>|b|＋1，则a2>(|b|＋1)2，即a2>b2＋2|b|＋1>b2＋1，故A一定成立；因为a>|b|＋1≥b＋1⇒2a>2b＋1，故B一定成立；又(|b|－1)2≥0，即b2＋1≥2|b|，所以a2>4|b|≥4b，故C一定成立；令a＝5，b＝3，满足a>|b|＋1，此时＝<b＋1＝4，故D不一定成立．9．已知M＝x2＋y2＋z2，N＝2x＋2y＋2z－π，则M________N．(填“>”“<”或“＝”)答案　>解析　M－N＝x2＋y2＋z2－2x－2y－2z＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3>0，故M>N.10．能够说明“设a，b，c是任意实数．若a2>b2>c2，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．答案　－3，－1,0(答案不唯一)解析　令a＝－3，b＝－1，c＝0，则a2>b2>c2，此时a＋b＝－4<0，所以a＋b>c是假命题．11．若1<α<3，－4<β<2，则2α＋|β|的取值范围是________．答案　(2,10)解析　∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，又1<α<3，∴2<2α<6，∴2<2α＋|β|<10.12．eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________．答案　eπ·πe<ee·ππ成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期解析　＝＝π－e，又0<<1,0<π－e<1，∴π－e<1，即<1，即eπ·πe<ee·ππ.13．已知0<a<b<1，设m＝blna，n＝alnb，p＝ln，则m，n，p的大小关系为(　　)A．m<n<pB．n<m<pC．p<m<nD．p<n<m答案　A解析　因为0<a<b<1，则>1，且lna<lnb<0，即有>1，因此，ln>0，即p>0，又m<0，n<0，则＝＝·>1，于是得m<n<0，所以m<n<p.14．实数a，b，c，d满足下列三个条件：①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d<b＋c.那么a，b，c，d的大小关系是________．答案　b>d>c>a解析　由题意知d>c①，由②＋③得2a＋b＋d<2c＋b＋d，化简得a<c④，由②式a＋b＝c＋d及a<c可得到，要使②成立，必须b>d⑤成立，综合①④⑤式得到b>d>c>a.15．(多选)(2023·长沙模拟)设实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则下列不等式成立的是(　　)A．c<bB．b≥1C．b≤aD．a<c答案　BD解析　∵成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期两式相减得2b＝2a2＋2，即b＝a2＋1，∴b≥1.又b－a＝a2＋1－a＝2＋>0，∴b>a.而c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b，从而c≥b>a.16．(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则(　　)A．a＞0＞bB．a＞b＞0C．b＞a＞0D．b＞0＞a答案　A解析　∵9m＝10，∴m∈(1,2)，令f(x)＝xm－(x＋1)，x∈(1，＋∞)，∴f′(x)＝mxm－1－1，∵x>1且1<m<2，∴xm－1>1，∴f′(x)>0，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，又9m＝10，∴9m－10＝0，即f(9)＝0，又a＝f(10)，b＝f(8)，∴f(8)<f(9)<f(10)，即b<0<a.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期