2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第1章　§1.3　等式性质与不等式性质

§1.3　等式性质与不等式性质考试要求　1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．知识梳理1．两个实数比较大小的方法作差法(a，b∈R)2．等式的性质性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a；性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝.3．不等式的性质性质1　对称性：a>b⇔b<a；性质2　传递性：a>b，b>c⇒a>c；性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；性质4　可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．常用结论1．若ab>0，且a>b⇔<.2．若a>b>0，m>0⇒<；若b>a>0，m>0⇒>.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(　√　)(2)若>1，则b>a.(　×　)12 (3)若x>y，则x2>y2.(　×　)(4)若>，则b<a.(　×　)教材改编题1．如果ac>bc，那么下列不等式中，一定成立的是(　　)A．ac2>bc2B．a>bC．a＋c>b＋cD.>答案　D解析　若c<0，则a<b，所以ac2<bc2，a＋c<b＋c，A，B，C均错；因为ac>bc，则c2>0，因为ac>bc，则>，即>，故D正确．2．已知M＝x2－3x，N＝－3x2＋x－3，则M，N的大小关系是________．答案　M>N解析　∵M－N＝(x2－3x)－(－3x2＋x－3)＝4x2－4x＋3＝(2x－1)2＋2>0，∴M>N.3．若1<a<2,2<b<3，则的取值范围是________．答案　解析　由2<b<3，得<<，又1<a<2，∴1×<a×<2×，即<<1.题型一　数(式)的大小比较例1　(1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，则M，N的大小关系为(　　)A．M<NB．M>NC．M≤ND．M≥N答案　B12 解析　因为M－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋4>0，所以M>N.(2)若a>b>1，P＝aeb，Q＝bea，则P，Q的大小关系是(　　)A．P>QB．P＝QC．P<QD．不能确定答案　C解析　P，Q作商可得＝＝，令f(x)＝，则f′(x)＝，当x>1时，f′(x)>0，所以f(x)＝在(1，＋∞)上单调递增，因为a>b>1，所以<，又>0，>0，所以＝<1，所以P<Q.思维升华　比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．跟踪训练1　(1)已知a，b为不相等的实数，记M＝a2－ab，N＝ab－b2，则M与N的大小关系为(　　)A．M>NB．M＝NC．M<ND．不确定答案　A解析　因为M－N＝(a2－ab)－(ab－b2)＝(a－b)2，又a≠b，所以(a－b)2>0，即M>N.(2)已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为________．答案　M>N解析　方法一　M－N＝－＝12 ＝＝>0.∴M>N.方法二　令f(x)＝＝＝＋，显然f(x)是R上的减函数，∴f(2021)>f(2022)，即M>N.题型二　不等式的性质例2　(1)已知a>b>c>0，下列结论正确的是(　　)A．2a<b＋cB．a(b－c)>b(a－c)C.>D．(a－c)3>(b－c)3答案　D解析　∵a>b>c>0，∴2a>b＋c，故A错误；取a＝3>b＝2>c＝1>0，则a(b－c)＝3<b(a－c)＝4，故B错误；由a>b>c>0可知，a－c>b－c>0，∴<，(a－c)3>(b－c)3，故C错误，D正确．(2)(多选)若a>0>b>－a，c<d<0，则下列结论正确的是(　　)A．ad>bcB.＋<0C．a－c>b－dD．a(d－c)>b(d－c)答案　BCD解析　因为a>0>b，c<d<0，所以ad<0，bc>0，所以ad<bc，故A错误；因为0>b>－a，所以a>－b>0，因为c<d<0，所以－c>－d>0，所以a(－c)>(－b)(－d)，所以ac＋bd<0，cd>0，所以＝＋<0，故B正确；因为c<d，所以－c>－d，因为a>b，所以a＋(－c)>b＋(－d)，即a－c>b－d，故C正确；因为a>0>b，d－c>0，所以a(d－c)>b(d－c)，故D正确．思维升华　判断不等式的常用方法12 (1)利用不等式的性质逐个验证．(2)利用特殊值法排除错误选项．(3)作差法．(4)构造函数，利用函数的单调性．跟踪训练2　(1)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　)A．若a>b，则ac2>bc2B．若>，则a<bC．若a<b<c<0，则<D．若a>b，则a2>b2答案　C解析　对于A选项，当c＝0时不满足，故错误；对于B选项，由不等式性质知，>两边同时乘以c2>0，可得a>b，故错误；对于C选项，若a<b<c<0，则a＋c<0，b－a>0，(b－a)c<0，a(a＋c)>0，故－＝＝<0，即<，故正确；对于D选项，取a＝－1，b＝－2，可得a2<b2，故错误．(2)(多选)若<<0，则下列不等式正确的是(　　)A.<B．|a|＋b>0C．a－>b－D．lna2>lnb2答案　AC解析　由<<0，可知b<a<0.A中，因为a＋b<0，ab>0，所以<0，>0.则<，故A正确；B中，因为b<a<0，所以－b>－a>0.故－b>|a|，即|a|＋b<0，故B错误；12 C中，因为b<a<0，又<<0，则－>－>0，所以a－>b－，故C正确；D中，因为b<a<0，根据y＝x2在(－∞，0)上单调递减，可得b2>a2>0，而y＝lnx在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以lnb2>lna2，故D错误．题型三　不等式性质的综合应用例3　(1)已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是__________，3x＋2y的取值范围是________．答案　(－4,2)　(1,18)解析　∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2.由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6，∴1<3x＋2y<18.延伸探究　若将本例(1)中条件改为－1<x＋y<4,2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围．解　设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，则∴即3x＋2y＝(x＋y)＋(x－y)，又∵－1<x＋y<4,2<x－y<3，∴－<(x＋y)<10,1<(x－y)<，∴－<(x＋y)＋(x－y)<，即－<3x＋2y<，∴3x＋2y的取值范围为.(2)已知3<a<8,4<b<9，则的取值范围是________．答案　解析　∵4<b<9，∴<<，又3<a<8，12 ∴×3<<×8，即<<2.思维升华　求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．跟踪训练3　(1)已知1≤a≤2，－1≤b≤4，则a－2b的取值范围是(　　)A．[－7,4]B．[－6,9]C．[6,9]D．[－2,8]答案　A解析　因为－1≤b≤4，所以－8≤－2b≤2，由1≤a≤2，得－7≤a－2b≤4.(2)已知实数a，b，c，满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么的取值范围是________．答案　－2<<－解析　由于a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，b＝－a－c，－a－c<a,2a>－c，>－2，－a－c>c，－a>2c，<－，所以－2<<－.课时精练1．(2023·长春模拟)已知a>0，b>0，M＝，N＝＋，则M与N的大小关系为(　　)A．M>NB．M<NC．M≤ND．M，N大小关系不确定答案　B解析　M2－N2＝(a＋b)－(a＋b＋2)＝－2<0，∴M<N.12 2．已知a，b∈R，若a>b，<同时成立，则(　　)A．ab>0B．ab<0C．a＋b>0D．a＋b<0答案　A解析　因为<，所以－＝<0，又a>b，所以b－a<0，所以ab>0.3．(多选)已知a<b<0，则下列结论正确的是(　　)A．b2<abB.<C．2a>2bD．ln(1－a)>ln(1－b)答案　AD解析　对于A，因为a<b<0，所以b－a>0，则b2－ab＝b(b－a)<0，即b2<ab，故选项A正确；对于B，因为a<b<0，所以ab>0，则<，即<，故选项B错误；对于C，因为a<b<0且函数y＝2x是增函数，所以2a<2b，故选项C错误；对于D，因为a<b<0，所以1－a>1－b>1，又因为函数y＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，所以ln(1－a)>ln(1－b)，故选项D正确．4．若－π<α<β<π，则α－β的取值范围是(　　)A．－2π<α－β<2πB．0<α－β<2πC．－2π<α－β<0D．{0}答案　C解析　∵－π<β<π，∴－π<－β<π，又－π<α<π，∴－2π<α－β<2π，又α<β，∴α－β<0，∴－2π<α－β<0.5．已知x，y∈R，且x>y>0，则(　　)A．cosx－cosy>0B．cosx＋cosy>0C．lnx－lny>012 D．lnx＋lny>0答案　C解析　对于A，y＝cosx在(0，＋∞)上不是单调函数，故cosx－cosy>0不一定成立，A错误；对于B，当x＝π，y＝时，cosx＋cosy＝－1<0，B不一定成立；对于C，y＝lnx在(0，＋∞)上为增函数，若x>y>0，则lnx>lny，必有lnx－lny>0，C正确；对于D，当x＝1，y＝时，lnx＋lny＝ln <0，D不一定成立．6．(多选)(2023·汕头模拟)已知a，b，c满足c<a<b，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是(　　)A．ac(a－c)>0B．c(b－a)<0C．cb2<ab2D．ab>ac答案　BCD解析　因为a，b，c满足c<a<b，且ac<0，所以c<0，a>0，b>0，a－c>0，b－a>0，所以ac(a－c)<0，c(b－a)<0，cb2<ab2，ab>ac.7．(多选)设a，b，c，d为实数，且a>b>0>c>d，则下列不等式正确的有(　　)A．c2<cdB．a－c<b－dC．ac<bdD.－>0答案　AD解析　因为a>b>0>c>d，所以a>b>0,0>c>d，对于A，因为0>c>d，由不等式的性质可得c2<cd，故选项A正确；对于B，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则a－c＝3，b－d＝3，所以a－c＝b－d，故选项B错误；对于C，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则ac＝－2，bd＝－2，所以ac＝bd，故选项C错误；对于D，因为a>b>0，d<c<0，则ad<bc，所以>，故－>0，故选项D正确．12 8．(多选)(2022·沈阳模拟)已知非零实数a，b满足a>|b|＋1，则下列不等关系一定成立的是(　　)A．a2>b2＋1B．2a>2b＋1C．a2>4bD.>b＋1答案　ABC解析　对于非零实数a，b满足a>|b|＋1，则a2>(|b|＋1)2，即a2>b2＋2|b|＋1>b2＋1，故A一定成立；因为a>|b|＋1≥b＋1⇒2a>2b＋1，故B一定成立；又(|b|－1)2≥0，即b2＋1≥2|b|，所以a2>4|b|≥4b，故C一定成立；令a＝5，b＝3，满足a>|b|＋1，此时＝<b＋1＝4，故D不一定成立．9．已知M＝x2＋y2＋z2，N＝2x＋2y＋2z－π，则M________N．(填“>”“<”或“＝”)答案　>解析　M－N＝x2＋y2＋z2－2x－2y－2z＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3>0，故M>N.10．能够说明“设a，b，c是任意实数．若a2>b2>c2，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．答案　－3，－1,0(答案不唯一)解析　令a＝－3，b＝－1，c＝0，则a2>b2>c2，此时a＋b＝－4<0，所以a＋b>c是假命题．11．若1<α<3，－4<β<2，则2α＋|β|的取值范围是________．答案　(2,10)解析　∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，又1<α<3，∴2<2α<6，∴2<2α＋|β|<10.12．eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________．答案　eπ·πe<ee·ππ12 解析　＝＝π－e，又0<<1,0<π－e<1，∴π－e<1，即<1，即eπ·πe<ee·ππ.13．已知0<a<b<1，设m＝blna，n＝alnb，p＝ln，则m，n，p的大小关系为(　　)A．m<n<pB．n<m<pC．p<m<nD．p<n<m答案　A解析　因为0<a<b<1，则>1，且lna<lnb<0，即有>1，因此，ln>0，即p>0，又m<0，n<0，则＝＝·>1，于是得m<n<0，所以m<n<p.14．实数a，b，c，d满足下列三个条件：①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d<b＋c.那么a，b，c，d的大小关系是________．答案　b>d>c>a解析　由题意知d>c①，由②＋③得2a＋b＋d<2c＋b＋d，化简得a<c④，由②式a＋b＝c＋d及a<c可得到，要使②成立，必须b>d⑤成立，综合①④⑤式得到b>d>c>a.15．(多选)(2023·长沙模拟)设实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则下列不等式成立的是(　　)A．c<bB．b≥1C．b≤aD．a<c答案　BD解析　∵12 两式相减得2b＝2a2＋2，即b＝a2＋1，∴b≥1.又b－a＝a2＋1－a＝2＋>0，∴b>a.而c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b，从而c≥b>a.16．(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则(　　)A．a＞0＞bB．a＞b＞0C．b＞a＞0D．b＞0＞a答案　A解析　∵9m＝10，∴m∈(1,2)，令f(x)＝xm－(x＋1)，x∈(1，＋∞)，∴f′(x)＝mxm－1－1，∵x>1且1<m<2，∴xm－1>1，∴f′(x)>0，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，又9m＝10，∴9m－10＝0，即f(9)＝0，又a＝f(10)，b＝f(8)，∴f(8)<f(9)<f(10)，即b<0<a.12