2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）第03讲 等式与不等式的性质（练习）（解析版）

第03讲等式与不等式的性质（模拟精练+真题演练）1．（2023·山西阳泉·统考二模）已知，则下列结论正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意可知，不妨取则，此时不满足，即A错误；易得，此时，所以B错误；对于D，无意义，所以D错误，由指数函数单调性可得，当时，，即C正确.故选：C2．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知，，，则（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】构造函数，其中，则，所以，函数在上单调递增，所以，，即，因为，则，所以，，又因为，则，故，故.故选：A.3．（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知实数满足且，则下列不等关系一定正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为且，所以或， 对A：若，则，若，则，A错误；对B：∵，，∴，B错误；对C：由或，知且，∴，C正确；对D：当时，有，从而当，则且，∴，D错误.故选：C4．（2023·北京昌平·统考二模）某市一个经济开发区的公路路线图如图所示，粗线是大公路，细线是小公路，七个公司分布在大公路两侧，有一些小公路与大公路相连.现要在大公路上设一快递中转站，中转站到各公司（沿公路走）的距离总和越小越好，则这个中转站最好设在（    ）A．路口B．路口C．路口D．路口【答案】B【解析】观察图形知，七个公司要到中转站，先都必须沿小公路走到小公路与大公路的连接点，令到、到、到、到、到、到、到的小公路距离总和为，，路口为中转站时，距离总和，路口为中转站时，距离总和，路口为中转站时，距离总和，路口为中转站时，距离总和，显然，所以这个中转站最好设在路口.故选：B5．（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江市第三高级中学校考三模）已知，则下列不等式不一定成立的是（    ） A．B．C．D．【答案】D【解析】A选项，因为，所以，不等式两边同时乘以，可得，故A正确；B选项，因为，所以，由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，但，故等号取不到，，B正确；C选项，，因为，，故，故，C正确；D选项，不妨设，则故选：D6．（2023·吉林·统考三模）已知，则下列不等式不一定成立的是（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】A选项，，故，所以，两边同乘以得，，A成立；B选项，因为，所以，且，由基本不等式得，故B成立；C选项，因为，所以，故，所以，C成立；D选项，不妨取，满足，此时，故D不一定成立.故选：D7．（2023·北京·人大附中校考模拟预测）若实数、满足，则下列不等式中成立的是（    ） A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，，所以，故D正确；当，时，，但，，，故A，B，C错误.故选：D.8．（2023·四川成都·成都实外校考模拟预测）若两个正实数x，y满足，给出下列不等式：①；②；③；④．其中可能成立的个数为（    ）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】，构造函数，所以函数在正实数集上为增函数，因为是正实数，所以由，因此由，令，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，于是有，而，所以，当且仅当时取等号，当时，，由上可知，，或，故选：C9．（多选题）（2023·湖南邵阳·统考三模）,则下列命题中，正确的有（    ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】BD【解析】对于A：若，则无意义，故A错误；对于B：若，则，当且仅当时，等号成立，故B正确；对于C：由于不确定的符号，故无法判断，例如，则，故C错误；对于D：若，则，所以，故D正确；故选：BD. 10．（多选题）（2023·河北衡水·模拟预测）已知，则下列不等式一定成立的有（    ）A．B．C．D．【答案】BD【解析】由，得，当时，得0，即;当时，得，即，综上或，上述两种情况均可得，故选项错误;当时，得，当时，得，故B选项正确;令，则，，从而得，故C选项错误;由上述论证可知恒成立，故D正确.故选：BD.11．（多选题）（2023·河北·校联考二模）已知a，b为实数，且，则下列不等式正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】对于A，由，可知，，且，由不等式性质可得，所以，即A错误．对于B，，当且仅当，即时取等号，B正确．对于C，作差可得，所以，C正确． 对于D，，当且仅当，即时取等号，显然取不到等号，D正确．故选：BCD．12．（多选题）（2023·河北·模拟预测）已知，，为正实数，下列结论正确的有（    ）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】因为，，为正实数，则有：对于A：虽然，当且仅当时，等号成立，但无法确定与1的大小关系，则对数函数的单调性无法确定，所以的大小关系无法确定，故A错误；对于B：因为，当且仅当，即时，等号成立，又因为，当且仅当，即时，等号成立，综上所述：，当且仅当时，等号成立，故B正确；对于C：因为，当且仅当，即时，等号成立，故C正确；对于D：因为，当且仅当时，等号成立，所以，故D正确； 故选：BCD.13．（2023·北京房山·统考一模）能够说明“设是任意实数，若，则”是假命题的一组整数的值依次为__________.【答案】（答案不唯一）【解析】若，当时，；当时，；当时，；“设是任意实数，若，则”是假命题的一组整数的值依次为，故答案为：（答案不唯一）14．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知角满足，，则的取值范围是__________．【答案】【解析】结合题意可知：，且：，利用不等式的性质可知：的取值范围是.15．（2023·高三课时练习）对于实数a、b、c，有下列命题：①若，则a＞b；②若ab＞c，则；③若a＞b＞0，且n为正数，则.其中，真命题的序号为______.（写出所有满足要求的命题序号）【答案】①③【解析】对于①，由，则，根据不等式的性质，可得，故①正确；对于②，由，当时，不等式无意义，当时，可得，故②错误；对于③，由，且为正数，根据不等式的性质，可得③正确；故答案为：①③.16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的两个零点一个大于2，一个小于2，且，则的取值范围为______【答案】【解析】由的两个零点一个大于2，一个小于2可得，即，又， 设，则，解得，即，且，故3b－8a的取值范围为.故答案为：.1．（2014·山东·高考真题）已知实数满足，则下列关系式恒成立的是A．B．C．D．【答案】A【解析】由知，所以，，选A.2．（2016·全国·高考真题）若，，则A．B．C．D．【答案】C【解析】用特殊值法，令，，得，选项A错误，，选项B错误，，选项D错误，因为选项C正确，故选C．【考点】指数函数与对数函数的性质3．（2015·浙江·高考真题）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，，，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，，，且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是A．B．C．D．【答案】B【解析】由，，所以 ，故；同理，，故.因为，故.故最低费用为.故选B.4．（2014·四川·高考真题）若则一定有A．B．C．D．【答案】D【解析】本题主要考查不等关系．已知,所以，所以，故．故选5．（2008·广东·高考真题）设，若，则下列不等式中正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用赋值法:令排除A,B,C,选D.6．（2008·江西·高考真题）若，则下列代数式中值最大的是A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，综上可得最大，故选A.7．（2004·湖北·高考真题）若，则下列结论不正确的是（   ）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，得，，，AC正确；又，， 又，所以，B正确；，，D错误.故选：D8．（2017·北京·高考真题）能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为__________.【答案】【解析】，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.9．（2010·辽宁·高考真题）已知且，则的取值范围是_______（答案用区间表示）【答案】（3,8）【解析】设，则，解得，即，又且，且，.故答案为：（3,8）10．（2010·江苏·高考真题）设实数满足，则的最大值是_________【答案】27【解析】,当且仅当，即时等号成立.故答案为：27