【名师伴你行】(新课标)2023高考数学大一轮复习 第8章 第5节 椭圆课时作业 理
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课时作业(五十二) 椭 圆一、选择题1.(2015·衡水一模)已知F1,F2是椭圆+y2=1的两个焦点,P为椭圆上一动点,则使|PF1|·|PF2|取最大值的点P为( )A.(-2,0)B.(0,1)C.(2,0)D.(0,1)或(0,-1)答案:D解析:由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=4,∴|PF1|·|PF2|≤2=4,当且仅当|PF1|=|PF2|=2时,取“=”.故应选D.2.设e是椭圆+=1的离心率,且e∈,则实数k的取值范围是( )A.(0,3) B.C.(0,3)∪D.(0,2)答案:C解析:当k>4时,c=,由条件知<<1,解得k>;当0<k<4时,c=,由条件知<<1,解得0<k<3,综上知选C.3.(2015·锦州模拟)若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1,则此椭圆长轴长的最小值是( )A.1B.C.2D.2答案:D解析:当三角形过两焦点与短轴端点时面积最大,此时·b·2c=1,即bc=1.由a2=b2+c2≥2bc=2,∴a≥.∴长轴长的最小值为2a=2.4.(2015·洛阳一模)设椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,右焦点F(c,0),方程ax28\n+bx-c=0的两个根分别为x1,x2,则点P(x1,x2)在( )A.圆x2+y2=2上 B.圆x2+y2=2内C.圆x2+y2=2外 D.以上三种情况都有可能答案:B解析:由题意,知e==,∴x+x=(x1+x2)2-2x1x2=+=+1=2-=<2,∴点P(x1,x2)在圆x2+y2=2内.5.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=2c,点A在椭圆上,且AF1垂直于x轴,·=c2,则椭圆的离心率e等于( )A.B.C.D.答案:C解析:如图,由椭圆的几何性质可得|AF1|=,假设A在x轴上方,则A,而F1(-c,0),F2(c,0).故=,=,所以·=0×2c+×=.由题意可得=c2,所以b2=ac,即a2-c2=ac,也就是1-e2=e,解得e=或e=(舍).故应选C.6.(2013·新课标全国Ⅰ)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F8\n的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1答案:D解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=-2,①-②,得+=0,所以kAB==-=.又kAB==,所以=.又9=c2=a2-b2,解得b2=9,a2=18,所以椭圆E的方程为+=1.故应选D.二、填空题7.(2014·辽宁)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=________.答案:12解析:椭圆+=1中,a=3.如图,设MN的中点为D,则|DF1|+|DF2|=2a=6.∵D,F1,F2分别为MN,AM,BM的中点,∴|BN|=2|DF2|,|AN|=2|DF1|,∴|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|)=12.8.已知点A(4,0)和B(2,2),M是椭圆+=1上一动点,则|MA|+|MB|的最大值为________.答案:10+2解析:显然A是椭圆的右焦点,如图所示,设椭圆的左焦点为A1(-4,0),连接BA1并延长交椭圆于M1,则M1是使|MA|+|MB|取得最大值的点.事实上,对于椭圆上的任意点M有|MA|+|MB|=2a-|MA1|+|MB|≤2a+|A1B|(当M1与M重合时取等号),8\n∴|MA|+|MB|的最大值为2a+|A1B|=2×5+=10+2.9.已知椭圆+=1的左顶点为A1,右焦点为F2,点P为该椭圆上一动点,则当·取最小值时|+|的取值为________.答案:3解析:由已知得a=2,b=,c=1,所以F2(1,0),A1(-2,0),设P(x,y),则·=(1-x,-y)·(-2-x,-y)=(1-x)(-2-x)+y2.又点P(x,y)在椭圆上,所以y2=3-x2,代入上式,得·=x2+x+1=(x+2)2.又x∈[-2,2],所以x=-2时,·取得最小值.所以P(-2,0),求得|+|=3.10.(2015·合肥一模)若椭圆+=1的焦点在x轴上,过点作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆的方程是________.答案:+=1解析:由题可设斜率存在的切线的方程为y-=k(x-1)(k为切线的斜率),即2kx-2y-2k+1=0,由=1,解得k=-,∴圆x2+y2=1的一条切线方程为3x+4y-5=0,求得切点A,易知另一切点B(1,0),则直线AB的方程为y=-2x+2.令y=0得右焦点为(1,0),令x=0得上顶点为(0,2).∴a2=b2+c2=5,故所求椭圆的方程是+=1.8\n三、解答题11.(2014·新课标全国Ⅱ)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.解:(1)根据c=及题设,知M,2b2=3ac.将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=或=-2(舍去).故C的离心率为.(2)由题意,原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故=4,即b2=4a.①由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.设N(x1,y1),由题意知y1<0,则即代入C的方程,得+=1.②将①及c=代入②,得+=1.解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=2.12.(2015·临沂模拟)已知椭圆C的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,F1,F2是椭圆C的左、右焦点,P是椭圆C上任意一点,且|PF1|·|PF2|的最大值为2.(1)求椭圆C的方程;(2)设过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A,B,满足+=t(O为坐标原点),当|-|<时,求实数t的取值范围.解:(1)由抛物线y2=4x的准线是x=-1,得椭圆C的一个焦点是F1(-1,0),即c=1.由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a,8\n∴|PF1|·|PF2|≤2=a2,当且仅当|PF1|=|PF2|=a时取等号.∴a2=2,∴b2=a2-c2=1,故椭圆C的方程为+y2=1.(2)由题意知直线AB的斜率存在,设直线AB的斜率为k,则其方程为y=k(x-2).由消去y,得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.Δ=64k4-4(1+2k2)(8k2-2)>0,解得k2<.设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),则x1+x2=,x1x2=.∵+=t,∴(x1+x2,y1+y2)=t(x,y).∴x==,y==[k(x1+x2)-4k]=.∵点P在椭圆上,∴+2×=2,整理得16k2=t2(1+2k2),又∵|-|<,∴||<,∴=·<,∴(1+k2)<,化简,得56k4+38k2-13>0,∴(4k2-1)(14k2+13)>0,解得k2>,∴<k2<.又∵16k2=t2(1+2k2),∴t2==8-.8\n∵<k2<,∴<8-<4,∴<t2<4,∴-2<t<-或<t<2.故所求实数t的取值范围是∪.13.(2015·泰安一模)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2.以O为圆心,a为半径作圆,若过点P的圆的两切线互相垂直,切点分别为A,B.(1)求椭圆C的方程;(2)过点F1的直线l与该椭圆交于M,N两点,且|+|=,求直线l的方程.解:(1)由题意知,椭圆的半焦距c=1,∵过点P的⊙O:x2+y2=a2的两条切线互相垂直,∴四边形OAPB为正方形,∴=a,∴a=.由a2=b2+c2,知b2=1,∴椭圆方程为+y2=1.(2)由(1)知F1(-1,0),F2(1,0),若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=-1,将x=-1代入椭圆方程,得y=±.不妨设M,N,∴+=+=(-4,0),∴|+|=4,与题设矛盾,∴直线l的斜率存在.设直线l的斜率为k,则直线的方程为y=k(x+1).设M(x1,y1),N(x2,y2),联立消y,得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,由根与系数的关系,知x1+x2=,8\n从而y1+y2=k(x1+x2+2)=,又∵=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),∴+=(x1+x2-2,y1+y2),∴|+|2=(x1+x2-2)2+(y1+y2)2=2+2=,∴=2,化简得40k4-23k2-17=0,解得k2=1或者k2=-(舍去),∴k=±1,∴所求直线l的方程为y=x+1或y=-x-1.8
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