【名师伴你行】(新课标)2023高考数学大一轮复习 第10章 第5节 古典概型课时作业 理
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课时作业(六十五) 古典概型一、选择题1.(2015·东营模拟)一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏,让孩子把分别写有“One”“World”“One”“Dream”的四张卡片随机排成一行,若卡片按从左到右的顺序排成“OneWorldOneDream”,则孩子会得到父母的奖励,那么孩子受到奖励的概率为( )A.B.C.D.答案:A解析:由列举法可得,四张卡片随机排成一行,共有24种不同的排法,其中有2种是“OneWorldOneDream”,故孩子受到奖励的概率为.2.(2015·亳州高三质检)已知集合M={1,2,3,4},N={(a,b)|a∈M,b∈M},A是集合N中任意一点,O为坐标原点,则直线OA与y=x2+1有交点的概率是( )A.B.C.D.答案:C解析:易知过点(0,0)与y=x2+1相切的直线为y=2x(斜率小于0的无需考虑),集合N中共有16个元素,其中使OA斜率不小于2的有(1,2),(1,3),(1,4),(2,4),共4个,由古典概型知概率为=.3.(2015·潍坊模拟)若连续掷两次骰子得到的点数m,n作为点P的横、纵坐标,则点P在直线x+y=5下方的概率为( )A.B.C.D.答案:A解析:本试验共包含36个基本事件,事件“点P在x+y=5的下方”,共包含(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),6个基本事件,故P==.4.(2015·重庆模拟)甲和乙等五名志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者,则甲和乙不在同一岗位服务的概率为( )6\nA.B.C.D.答案:C解析:每个岗位安排志愿者的方法共有CA=240,甲和乙不在同一岗位服务的方法共有CA-A=216.所以,甲和乙不在同一岗位服务的概率为=.5.(2015·兰州模拟)将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为m,第二次出现的点数为n,向量p=(m,n),q=(3,6).则向量p与q共线的概率为( )A.B.C.D.答案:D解析:由题意可得:基本事件(m,n)(m,n=1,2,…,6)的个数为6×6=36.若p∥q,则6m-3n=0,得到n=2m.满足此条件的共有(1,2),(2,4),(3,6)三个基本事件.因此向量p与q共线的概率为P==.故选D.6.甲、乙、丙3位教师安排在周一至周五中的3天值班,要求每人值班1天且每天至多安排1人,则恰好甲安排在另外两位教师前面值班的概率是( )A.B.C.D.答案:A解析:第一种情况:甲安排在第一天,则有A=12(种);第二种情况:甲安排在第二天,则有A=6(种);甲安排在第三天,则有A=2(种),所以P==.故应选A.二、填空题7.(2015·河南郑州)已知一组抛物线y=ax2+bx+1,其中a为2,4中任取的一个数,b为1,3,5中任取的一个数,从这些抛物线中任意抽取两条,它们在与直线x6\n=1交点处的切线相互平行的概率是________.答案:解析:抛物线共有6条,任取两条共15种情况.在x=1处的切线相互平行的有2种情况,所以所求概率为.8.某人有甲、乙两个电子密码箱,欲存放A,B,C三份不同的重要文件,则两个密码箱都不空的概率是________.答案:解析:A,B,C三份文件放入甲、乙两个密码箱,所有的结果如表所示.甲密码箱A,B,CA,BAA,CB,CBC空乙密码箱空CB,CBAA,CA,BA,B,C 共有8种不同的结果,其中两个密码箱都不空(记为事件A)的结果共有6种,所以P(A)==.9.(2014·江苏)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是________.答案:解析:从1,2,3,6中随机取2个数,共有6种不同的取法,其中所取2个数的乘积是6的有1,6和2,3,共2种,故所求概率是=.10.用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色,每个矩形只涂一种颜色,则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是________.答案:解析:由于只有两种颜色,不妨将其设为1和2,若只用一种颜色有111;222.若用两种颜色有122;212;221;211;121;112.所以基本事件共有8种.又相邻颜色各不相同的有2种.故所求概率为.三、解答题6\n11.(2015·济南一模)一个袋中装有5个形状大小完全相同的球,其中有2个红球,3个白球.(1)从袋中随机取两个球,求取出的两个球颜色不同的概率;(2)从袋中随机取一个球,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,求两次取出的球中至少有一个红球的概率.解:(1)2个红球记为a1,a2,3个白球记为b1,b2,b3,从袋中随机取两个球,其一切可能的结果组成的基本事件有(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),共10个.设事件A=“取出的两个球颜色不同”,A中的基本事件有(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),共6个.P(A)==.(2)从袋中随机取一个球,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,其一切可能的结果组成的基本事件有(a1,a1),(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,a1),(b1,a2),(b1,b1),(b1,b2),(b1,b3),(b2,a1),(b2,a2),(b2,b1),(b2,b2),(b2,b3),(b3,a1),(b3,a2),(b3,b1),(b3,b2),(b3,b3),共25个.设事件B=“两次取出的球中至少有一个红球”,B中的基本事件有(a1,a1),(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,a1),(b1,a2),(b2,a1),(b2,a2),(b3,a1),(b3,a2),共16个.P(B)=.12.(2015·青岛质检)某公司销售A,B,C三款手机,每款手机都有经济型和豪华型两种型号,据统计12月份共销售1000部手机(具体销售情况见下表).A款手机B款手机C款手机经济型200xy豪华型150160z已知在销售1000部手机中,经济型B款手机销售的频率是0.21.(1)现用分层抽样的方法在A,B,C三款手机中抽取50部,求在C款手机中抽取多少部?(2)若y≥136,z≥133,求C款手机中经济型比豪华型多的概率.解:(1)因为=0.21,所以x=210.所以C款手机的总数为y+z=1000-(150+200+160+210)=280(部).现用分层抽样的方法在A,B,C三款手机中抽取50部,应在C款手机中抽取手机数为6\n×280=14(部).(2)设“C款手机中经济型比豪华型多”为事件A,C款手机中经济型、豪华型手机数记为(y,z),因为y+z=280,y,z∈N*,满足事件y≥136,z≥133的基本事件有(136,144),(137,143),(138,142),(139,141),(140,140),(141,139),(142,138),(143,137),(144,136),(145,135),(146,134),(147,133),共12个;事件A包含的基本事件为(141,139),(142,138),(143,137),(144,136),(145,135),(146,134),(147,133),共7个,所以P(A)=,即C款手机中经济型比豪华型多的概率为.13.(2015·德州模拟)某中学举行了一次“数学知识竞赛”活动.为了了解本次竞赛学生成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为100分)作为样本(样本容量为n)进行统计,按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60),[90,100]的数据).(1)求样本容量n和频率分布直方图中x,y的值;(2)在选取的样本中,从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学参加全国数学联赛,写出所有的基本事件并求所抽取的2名同学来自不同组的概率.解:(1)由题意可知,样本容量n==50,y==0.004,x=0.1-0.004-0.010-0.016-0.04=0.030.(2)由题意可知,分数在[80,90)有5人,分别记为a,b,c,d,e;分数在[90,100]有2人,分别记为F,G.从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学有如下情形:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,F),(a,G),(b,c),(b,d),(b,e),(b,F),(b,G),(c,d),(c,e),(c,F),(c,G),(d,e),(d,F),(d,G),(e,F),(e,6\nG),(F,G),共有21个基本事件.其中符合“抽取的2名同学来自不同组”的基本事件有(a,F),(a,G),(b,F),(b,G),(c,F),(c,G),(d,F),(d,G),(e,F),(e,G),共10个.所以抽取的2名同学来自不同组的概率P=.6
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