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【名师伴你行】(新课标)2023高考数学大一轮复习 第5章 第4节 数列求和课时作业 理

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课时作业(三十三) 数列求和解答题1.(2013·江西)正项数列{an}满足:a-(2n-1)an-2n=0.(1)求数列{an}的通项公式an;(2)令bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.解:(1)由a-(2n-1)an-2n=0,得(an-2n)(an+1)=0.由于{an}是正项数列,所以an=2n.(2)由于an=2n,bn=,则bn==,Tn===.2.已知数列{an}满足a1=1,a2=4,an+2+2an=3an+1,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)记数列{an}的前n项和为Sn,求使得Sn>21-2n成立的最小整数n.解:(1)由an+2+2an-3an+1=0,得an+2-an+1=2(an+1-an).∴数列{an+1-an}是以a2-a1=3为首项,公比为2的等比数列.∴an+1-an=3·2n-1.∴当n≥2时,an-an-1=3·2n-2,an-1-an-2=3·2n-3,…,a3-a2=3×2,a2-a1=3.累加,得an-a1=3·2n-2+…+3×2+3=3(2n-1-1).∴an=3·2n-1-2,又当n=1时,也满足上式,∴数列{an}的通项公式为an=3·2n-1-2,n∈N*.(2)由(1)利用分组求和法,得Sn=3(2n-1+2n-2+…+2+1)-2n=3(2n-1)-2n.由Sn=3(2n-1)-2n>21-2n,得5\n3·2n>24,即2n>8.∴n>3,∴使得Sn>21-2n成立的最小整数n=4.3.(2015·山东威海一模)已知正项数列{an},其前n项和Sn满足8Sn=a+4an+3,且a2是a1和a7的等比中项.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=log2,求数列{bn}的前99项和.解:(1)∵8Sn=a+4an+3,①∴8Sn-1=a+4an-1+3(n≥2,n∈N*),②由①-②得8an=(an-an-1)(an+an-1)+4an-4an-1,整理得(an-an-1-4)(an+an-1)=0(n≥2,n∈N*).∵{an}为正项数列,∴an+an-1>0,∴an-an-1=4(n≥2,n∈N*).∴{an}为公差为4的等差数列.由8a1=a+4a1+3,得a1=3或a1=1.当a1=3时,a2=7,a7=27,不满足a2是a1和a7的等比中项;当a1=1时,a2=5,a7=25,满足a2是a1和a7的等比中项.∴an=1+4(n-1)=4n-3.(2)由an=4n-3,得bn=log2=log2,∴b1+b2+b3+…+b99=log2+log2+log2+…+log2=log2=log2=-log2100.4.(2015·湖北八校第一次联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,满足:a2+a4=18,S7=91.递增的等比数列{bn}前n项和为Tn,满足:b1+bk=66,b2bk-1=128,Tk=126.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)设数列{cn}对∀n∈N*,均有++…+=an+1成立,求c1+c2+…+c2013.解:(1)由题意知,解得a3=9,a4=13,则an=4n-3.5\n∵b2bk-1=b1bk,∴b1,bk是方程x2-66x+128=0的两根,得b1=2,bk=64,∵Sk===126,将b1=2,bk=64代入求得q=2,∴bn=2n.(2)由++…+=an+1,++…+=an(n≥2),相减,得=an+1-an=4,∴两式cn=4bn=2n+2(n≥2),又=a2,解得c1=10,∴cn=∴c1+c2+…+c2013=10+24+25+…+22015=22016-6.5.已知数列{an},如果数列{bn}满足b1=a1,bn=an+an-1,n≥2,n∈N*,则称数列{bn}是数列{an}的“生成数列”.(1)若数列{an}的通项为an=n,写出数列{an}的“生成数列”{bn}的通项公式;(2)若数列{cn}的通项为cn=2n+b(其中b是常数),试问数列{cn}的“生成数列”{qn}是否是等差数列,请说明理由;(3)已知数列{dn}的通项为dn=2n+n,求数列{dn}的“生成数列”{pn}的前n项和Tn.解:(1)当n≥2时,bn=an+an-1=2n-1,当n=1时,b1=a1=1适合上式,∴bn=2n-1(n∈N*).(2)qn=当b=0时,qn=4n-2,由于qn+1-qn=4,所以此时数列{cn}的“生成数列”{qn}是等差数列.当b≠0时,由于q1=c1=2+b,q2=6+2b,q3=10+2b,此时q2-q1≠q3-q2,所以数列{cn}的“生成数列”{qn}不是等差数列.综上,当b=0时,{qn}是等差数列;5\n当b≠0时,{qn}不是等差数列.(3)pn=当n>1时,Tn=3+(3×2+3)+(3×22+5)+…+(3×2n-1+2n-1),∴Tn=3+3(2+22+23+…+2n-1)+(3+5+7+…+2n-1)=3·2n+n2-4.又n=1时,T1=3,适合上式,∴Tn=3·2n+n2-4.6.(2015·潍坊模拟)已知等差数列{an}的公差大于0,且a3,a5是方程x2-14x+45=0的两根,数列{bn}的前n项的和为Sn,且Sn=(n∈N*),cn=anbn.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)求证:cn+1≤cn;(3)求数列{cn}的前n项和Tn.解:(1)∵a3,a5是方程x2-14x+45=0的两根,且数列{an}的公差d>0,∴a3=5,a5=9,公差d==2.∴an=a5+(n-5)d=2n-1.又当n=1时,有b1=S1=,∴b1=,当n≥2时,有bn=Sn-Sn-1=(bn-1-bn),∴=(n≥2),∴数列{bn}是首项b1=,公比q=的等比数列,∴bn=b1qn-1=.(2)证明:由(1)知,cn=anbn=,cn+1=,∴cn+1-cn=-=≤0.∴cn+1≤cn.(3)cn=anbn=,5\n∵Tn=+++…++,①∴Tn=+++…++,②①-②,得Tn=+++…+-=+2-,化简,得Tn=1-×-=1-.5

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发布时间:2022-08-25 17:45:23 页数:5
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文章作者:U-336598

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