【名师伴你行】（新课标）2023高考数学大一轮复习 第8章 第6节 双曲线课时作业 理

课时作业(五十三)　双曲线一、选择题1．(2014·新课标全国Ⅰ)已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为(　　)A.B．3C．mD．3m答案：A解析：双曲线C的标准方程为－＝1(m>0)，其渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，不妨选取右焦点F(，0)到其中一条渐近线x－y＝0的距离求解，得d＝＝.故选A.2．(2015·洛阳统考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为(　　)A.－＝1B．－＝1C.－＝1D．－＝1答案：A解析：如图所示，PF1⊥PF2，故圆的半径为5，|F1F2|＝10，又＝，∴a＝3，b＝4，故选A.3．(2015·济南模拟)已知圆x2＋y2－10x＋24＝0的圆心是双曲线－＝1(a>0)的一个焦点，则此双曲线的渐近线方程为(　　)A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x答案：B6\n解析：由圆的方程知圆心坐标为(5,0)，又圆心为双曲线的一个焦点．∴c＝5.由a2＝c2－b2，知a2＝25－9＝16，∴a＝4.由双曲线的焦点在x轴上，得渐近线方程为y＝±x.4．(2014·重庆)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为(　　)A.B．C．D．3答案：B解析：由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝3b，所以(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|－|PF2|)2＝9b2－4a2，即4|PF1|·|PF2|＝9b2－4a2，又4|PF1|·|PF2|＝9ab，因此9b2－4a2＝9ab，即92－－4＝0，则＝0，解得＝，则双曲线的离心率e＝＝.5．(2015·太原高三模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，其前n项和Sn＝，则双曲线－＝1的渐近线方程为(　　)A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x答案：C解析：依题意得an＝－，因此Sn＝1－＝＝，n＝9，故双曲线方程是－＝1，该双曲线的渐近线方程是y＝±x＝±x.故选C.6．(2015·包头一模)若双曲线－＝1与椭圆＋＝1(m>b>0)的离心率之积大于1，则以a，b，m为边长的三角形一定是(　　)6\nA．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形答案：D解析：双曲线的离心率为e1＝，椭圆的离心率e2＝，由题可知e1e2>1，得b2(m2－a2－b2)>0，所以m2－a2－b2>0，即m2>a2＋b2，由余弦定理可知三角形为钝角三角形，故应选D.7．(2015·武汉调研)已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点．若＝8a，则双曲线的离心率的取值范围是(　　)A．(1,2]B．[2，＋∞)C．(1,3]D．[3，＋∞)答案：C解析：设|PF2|＝y，则(y＋2a)2＝8ay，即(y－2a)2＝0，所以y＝2a≥c－a⇒e＝≤3.故应选C.8．(2015·潍坊模拟)已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，则△AOB的面积S△AOB＝(　　)A.B．C．D．4答案：A解析：根据抛物线方程可知其准线方程为x＝－1，则S△AOB＝×1×＝＝＝＝，故选A.9．已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则·等于(　　)A．24B．48C．50D．56答案：C6\n解析：如图所示，|PF2|＝|F1F2|＝6，由双曲线定义，可得|PF1|＝10.在△PF1F2中，由余弦定理，可得cos∠F1PF2＝＝＝.∴·＝||||cos∠F1PF2＝10×6×＝50.10．设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为(　　)A.B．11C．12D．16答案：B解析：由双曲线定义可得|AF2|－|AF1|＝2a＝4，|BF2|－|BF1|＝2a＝4，两式相加可得|AF2|＋|BF2|＝|AB|＋8，由于AB为经过双曲线的左焦点与左支相交的弦，而|AB|min＝＝3，故|AF2|＋|BF2|＝|AB|＋8≥3＋8＝11.故应选B.二、填空题11．(2015·泰安质检)已知双曲线C：＝＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为________．答案：y＝±2x解析：因为＝，c＝a，b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±2x.12．设平面区域D是由双曲线y2－＝1的两条渐近线和抛物线y2＝－8x的准线所围成的三角形(含边界与内部)．若点(x，y)∈D，则目标函数z＝x＋y的最大值为________．答案：36\n解析：双曲线y2－＝1的两条渐近线为y＝±x，抛物线y2＝－8x的准线为x＝2，如图，当直线y＝－x＋z过点A(2,1)时，zmax＝3.13．已知直线y＝x与双曲线－＝1交于A，B两点，P为双曲线上不同于A，B的点，当直线PA，PB的斜率kPA，kPB存在时，kPA·kPB＝________.答案：解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则由得y2＝，y1＋y2＝0，y1y2＝－，则x1＋x2＝0，x1x2＝－4×.所以kPA·kPB＝·＝＝＝＝.14．双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，左、右顶点分别为A1和A2，过焦点F2与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P，若||是||和||的等比中项，则该双曲线的离心率为________．答案：解析：由题意可知||2＝||||，即2＋(a＋c)2＝2c(a＋c)，化简可得a2＝b2，则e＝＝＝＝.15．(2015·安徽皖南七校联考)已知直线l：y＝2x和双曲线C：－＝1(a>0，b>0)无公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为________．答案：(1，]解析：由－＝1，得过第一、三象限的渐近线方程为y＝x，因为直线与双曲线没有公共点，所以≤2，①又a2＋b2＝c2，②6\n联立①②得|e|≤，因为双曲线的离心率e>1，所以离心率的取值范围为(1，]．三、解答题16．已知双曲线－＝1(b∈N*)的左、右两个焦点为F1，F2，P是双曲线上的一点，且满足|PF1||PF2|＝|F1F2|2，|PF2|<4.(1)求b的值；(2)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点与该双曲线的右顶点重合，斜率为1的直线经过双曲线的右顶点，与该抛物线交于A，B两点，求弦长|AB|.解：(1)根据题意a2＝4，a＝2又a2＋b2＝c2，||PF1|－|PF2||＝2a＝4，|PF1|·|PF2|＝|F1F2|2＝4c2，|PF2|<4，得|PF2|2＋4|PF2|－4c2＝0在区间(0,4)上有解，所以c2<8，因此b2<4，又b∈N，所以b＝1.(2)双曲线方程为－y2＝1，右顶点坐标为(2,0)，所以抛物线方程为y2＝8x，①直线方程为y＝x－2，②由①②两式联立，解得和所以弦长|AB|＝＝16.6