【名师伴你行】（新课标）2023高考数学大一轮复习 第10章 第6节 几何概型课时作业 理

课时作业(六十六)　几何概型一、选择题1．“抖空竹”是中国传统杂技，表演者在两根直径约8～12毫米的杆上系一根长度为1m的绳子，并在绳子上放一空竹，则空竹与两端距离都大于0.2m的概率为(　　)A.B．C．D．答案：B解析：与两端都大于0.2m即空竹的运行范围为(1－0.2－0.2)m＝0.6m，记“空竹与两端距离都大于0.2m”为事件A，则所求概率满足几何概型，即P(A)＝＝.2．如图所示，在半径为R的圆内随机撒一粒黄豆，它落在图中阴影部分所示的正三角形上的概率是(　　)A.B．C．D．答案：D解析：∵S圆＝πR2，S正三角形＝.∴所求的概率P＝＝.故选D.3．(2015·烟台模拟)如图，A是圆O上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为(　　)A.B．C．D．7\n答案：C解析：当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′＝，由圆的对称性及几何概型得所求概率为P＝＝.故应选C.4．已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是(　　)A.B．C．D．答案：D解析：由题意可知，点P位于BC边的中线的中点处．记黄豆落在△PBC内为事件D，则P(D)＝＝.故应选D.5．(2015·威海模拟)在区间[－1,1]上随机取一个数x，则sin的值介于－与之间的概率为(　　)A.B．C．D．答案：D解析：在区间[－1,1]上随机取一个数x，要使sin的值介于－与之间，需使－≤≤，即－≤x≤1，其区间长度为，由几何概型公式知所求概率为＝.故应选D.6．(2015·长春高三调研)已知点P，Q为圆C：x2＋y2＝25上的任意两点，且|PQ|<6，若PQ中点组成的区域为M，在圆C内任取一点，则该点落在区域M上的概率为(　　)A.　　　B．　　　7\nC．　　　D．答案：B解析：PQ中点组成的区域为M，如图所示，那么在C内部任取一点落在M内的概率为＝，其中圆C为以原点为圆心，5为半径的圆，故应选B.7．如图，Rt△ABC中有一内接矩形MNPQ，两直角边分别为AB＝3，AC＝4.向三角形内随机撒一些豆子，若豆子落在矩形内的概率最大，则MQ的长为(　　)A.B．2C．D．答案：D解析：设MQ＝x，MN＝h，由三角形相似可知h＝－x，矩形MNPQ的面积S＝－2＋3，当x＝时，S有最大值．故应选D.8．(2015·深圳调研)如图，在矩形OABC内，记抛物线y＝x2＋1与直线y＝x＋1围成的区域为M(图中阴影部分)．随机往矩形OABC内投一点P，则点P落在区域M内的概率是(　　)7\nA.B．C．D．答案：B解析：阴影部分的面积为SM＝[(x＋1)－(x2＋1)]dx＝(x－x2)dx＝＝－＝.又矩形OABC的面积S＝2，故所求的概率为P＝.9．在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为a，b，则方程＋＝1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为(　　)A.　　　B．　　　C．　　　D．答案：B解析：方程＋＝1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆，故即化简得又a∈[1,5]，b∈[2,4]，画出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为，故所求的概率P＝＝.故应选D.10．(2015·河南三市联考)在区间[－π，π]内随机取两个数分别为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点的概率为(　　)A．1－B．1－C．1－D．1－7\n答案：B解析：函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点，需Δ＝4a2－4(－b2＋π2)≥0，即a2＋b2≥π2成立．而a，b∈[－π，π]，建立平面直角坐标系，满足a2＋b2≥π2的点(a，b)如图阴影部分所示，所求事件的概率为P＝＝＝1－.二、填空题11．在区间[0,10]上任取一个实数a，使得不等式2x2－ax＋8≥0在(0，＋∞)上恒成立的概率为________．答案：解析：要使2x2－ax＋8≥0在(0，＋∞)上恒成立，只需ax≤2x2＋8，即a≤2x＋在(0，＋∞)上恒成立．又2x＋≥2＝8，当且仅当x＝2时等号成立，故只需a≤8，因此0≤a≤8.由几何概型的概率计算公式可知，所求概率为＝.12．(2015·枣庄模拟)如图所示，墙上挂有一块边长为2的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为1的扇形，某人向此木板投镖，假设每次都能击中木板，则击中阴影部分的概率是________．答案：1－解析：根据题意，图中正方形的面积为2×2＝4，图中阴影部分的面积为4－4××π×12＝4－π，则击中阴影部分的概率为P＝＝1－.7\n13．(2015·东北三省四市第一次联考)地面上有三个同心圆(如下图)，其半径分别为3,2,1.若向图中最大圆内投点且点投到图中阴影区域内的概率为，则两直线所夹锐角的弧度数为________．答案：解析：设两直线所夹锐角弧度为α，则有＝＝，解得α＝.14．在体积为V的三棱锥S－ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥S－APC的体积大于的概率是________．答案：解析：正方形AOBC的面积为1，阴影部分的面积为(－x2)dx＝x－x3＝，所以所求的概率为.15．如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y＝x2和曲线y＝围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是________．答案：解析：由题意可知，三棱锥S－ABC的高与三棱锥S－APC的高相同．7\n作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，则PM，BN分别为△APC与△ABC的高，所以＝＝＝，所以>，故所求的概率为(即为长度之比)．三、解答题16．(2015·晋中模拟)设AB＝6，在线段AB上任取两点(端点A，B除外)，将线段AB分成了三条线段．(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；(2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．解：(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2，共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构成三角形的概率为P＝.(2)设其中两条线段长度分别为x，y.则第三条线段长度为6－x－y，故全部试验结果所构成的区域为即所表示的平面区域为△OAB.若三条线段x，y,6－x－y能构成三角形，则还要满足即为所表示的平面区域为△DEF，由几何概型知，所求概率为P＝＝.7