首页

【名师伴你行】(新课标)2023高考数学大一轮复习 第7章 第7节 立体几何中的向量方法课时作业 理

资源预览文档简介为自动调取,内容显示的完整度及准确度或有误差,请您下载后查看完整的文档内容。

1/10

2/10

剩余8页未读,查看更多内容需下载

课时作业(四十六) 立体几何中的向量方法一、选择题1.平面α的一个法向量为n=(1,2,0),平面β的一个法向量为m=(2,-1,0),则平面α和平面β的位置关系是(  )A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.重合答案:C解析:∵n=(1,2,0),m=(2,-1,0),∴m·n=2-2+0=0,即m⊥n,∴α⊥β.2.设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-2,-4,k),若α∥β,则k等于(  )A.2B.-4C.4D.-2答案:C解析:∵α∥β,∴==,∴k=4.3.(2015·济南模拟)已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面α内的是(  )A.(1,-1,1)B.C.D.答案:B解析:对于选项A,=(1,0,1),则·n=(1,0,1)·(3,1,2)=5≠0,故排除A;对于选项B,=,则·n=·(3,1,2)=0,B正确;对于选项C,=,·n=·(3,1,2)=6≠0,C不正确;对于选项D,=,·n=·(3,1,2)=12≠0,D不正确.10\n故应选B.4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=,AD=2,P为C1D1的中点,M为BC的中点,则AM与PM的位置关系为(  )A.平行B.异面C.垂直D.以上都不对答案:C解析:以点D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,依题意,可得D(0,0,0),P(0,1,),C(0,2,0),A(2,0,0),M(,2,0).∴=(,1,-),=(-,2,0),∴·=(,1,-)·(-,2,0)=0,即⊥,∴AM⊥PM.5.在正四面体P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,设PA=PB=PC=a,则点P到平面ABC的距离为(  )A.B.aC.D.a答案:B解析:根据题意,可建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz,则P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a).10\n过点P作PH⊥平面ABC,交平面ABC于点H,则PH的长即为点P到平面ABC的距离.∵PA=PB=PC,∴H为△ABC的外心.又∵△ABC为正三角形,∴H为△ABC的重心,可得H点的坐标为.∴PH==a.∴点P到平面ABC的距离为a.6.(2015·昆明模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,且BC⊥平面PAB,PA⊥AB,M为PB的中点,PA=AD=2.若AB=1,则二面角B-AC-M的余弦值为(  )A.B.C.D.答案:A解析:∵BC⊥平面PAB,AD∥BC,∴AD⊥平面PAB,PA⊥AD,又PA⊥AB,且AD∩AB=A,∴PA⊥平面ABCD.以点A为坐标原点,分别以AD,AB,AP所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系A-xyz.10\n则A(0,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),B(0,1,0),M,∴=(2,1,0),=,易求得平面AMC的一个法向量为n=(1,-2,1),又平面ABC的一个法向量=(0,0,2),∴cos〈n,〉====.∴二面角B-AC-M的余弦值为.二、填空题7.如图所示,在三棱锥ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点E,F分别为棱AB,BB1的中点,则直线EF和BC1所成的角是________.答案:60°解析:以BC为x轴,BA为y轴,BB1为z轴,建立空间直角坐标系.10\n设AB=BC=AA1=2,则C1(2,0,2),E(0,1,0),F(0,0,1),则=(0,-1,1),=(2,0,2),∴·=2,∴cos〈,〉==,∴EF和BC1所成的角为60°.8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是________.答案:平行解析:∵正方体棱长为a,A1M=AN=,∴=,=,∴=++=++=(+)++(+)=+.又∵是平面B1BCC1的法向量,10\n∴·=·=0,∴⊥.又∵MN⊄平面B1BCC1,∴MN∥平面B1BCC1.9.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则点D1到平面A1BD的距离是________.答案:解析:如图,建立空间直角坐标系,则D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),∴=(2,0,0),=(2,0,2),=(2,2,0),设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z),则令x=1,则n=(1,-1,-1),∴点D1到平面A1BD的距离d===.三、解答题10.(2015·济南一模)如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,AB∥DC,AD⊥DC,AB=AD=1,DC=2,PD=,M为棱PB的中点.(1)证明:DM⊥平面PBC;(2)求二面角A-DM-C的余弦值.解:(1)证明:连接BD,取DC的中点G,连接BG,由此知DG=GC=BG=1,即△DBC为直角三角形,故BC⊥BD.又PD⊥平面ABCD,故BC⊥PD,10\n所以BC⊥平面BDP,BC⊥DM.又PD=BD=,PD⊥BD,M为PB的中点,∴DM⊥PB.∵PB∩BC=B,∴DM⊥平面PBC.(2)以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,),从而M,设n1=(x,y,z)是平面ADM的法向量,则即所以可取n1=(0,,-1).同理,设n2=(x0,y0,z0)是平面DMC的法向量,则即所以可取n2=(,0,-1),所以cos〈n1,n2〉=.显然二面角A-DM-C的大小为钝角,所以二面角A-DM-C的余弦值为-.11.(2015·德州模拟)在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,M为线段AB的中点,将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得几何体D-ABC.(1)求证:BC⊥平面ACD;(2)求二面角A-CD-M的余弦值.解:(1)证明:由条件,知AC=2,∠CAB=45°,AB=4,由余弦定理,得CB2=8,∴CB=2,∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC.10\n又∵平面ADC⊥平面ABC,平面ADC∩平面ABC=AC,∴BC⊥平面ACD.(2)取AC的中点O,连接DO,MO,∵DO⊥AC,∴DO⊥平面ABC,∵OM∥BC,AC⊥BC,∴OM⊥AC.建立如图所示的空间直角坐标系,∴M(0,,0),C(-,0,0),D(0,0,).∴=(,,0),=(,0,).设n1=(x,y,z)为平面CDM的法向量,则即令x=-1,得n1=(-1,1,1).由题意,得n2=(0,1,0)为平面ACD的一个法向量,∴cos〈n1,n2〉===.∵二面角A-CD-M为锐角,∴二面角A-CD-M的余弦值为.12.(2015·衡水二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,PA⊥PD,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,O为AD中点.(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值;(2)求点B到平面PCD的距离;(3)线段PD上是否存在一点Q,使得二面角Q-AC-D的余弦值为?若存在,求出10\n的值;若不存在,请说明理由.解:(1)在△PAD中,PA=PD,O为AD中点,所以PO⊥AD,又侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD,则PO⊥平面ABCD.又在直角梯形ABCD中,连接OC,易得OC⊥AD,所以以O为坐标原点,直线OC为x轴,直线OD为y轴,直线OP为z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),∴=(1,-1,-1),易证OA⊥平面POC,∴=(0,-1,0)是平面POC的法向量,cos〈,〉==.∴直线PB与平面POC所成角的余弦值为.(2)=(0,1,-1),=(-1,0,1),设平面PDC的一个法向量为μ=(x,y,z),则取z=1,得μ=(1,1,1).∴B点到平面PCD的距离d==.(3)存在.设=λ(0<λ<1),∵=(0,1,-1),∴=(0,λ,-λ)=-,∴=(0,λ,1-λ),∴Q(0,λ,1-λ).设平面CAQ的一个法向量为m=(x,y,z),则取z=λ+1,得m=(1-λ,λ-1,λ+1),又平面CAD的一个法向量为n=(0,0,1),∴二面角Q-AC-D的余弦值为,∴|cos〈m,n〉|==,10\n得3λ2-10λ+3=0,解得λ=或λ=3(舍).所以存在点Q,使得二面角Q-AC-D的余弦值为,此时=.10

版权提示

  • 温馨提示:
  • 1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
  • 2. 本文档由用户上传,版权归属用户,莲山负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
  • 3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
  • 4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服vx:lianshan857处理。客服热线:13123380146(工作日9:00-18:00)

文档下载

发布时间:2022-08-25 17:45:27 页数:10
价格:¥3 大小:1.07 MB
文章作者:U-336598

推荐特供

MORE