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【名师伴你行】(新课标)2023高考数学大一轮复习 第4章 第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例课时作业 理
【名师伴你行】(新课标)2023高考数学大一轮复习 第4章 第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例课时作业 理
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课时作业(二十八)平面向量的数量积与平面向量应用举例一、选择题1.(2014·新课标全国Ⅱ)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=( )A.1B.2C.3D.5答案:A解析:由条件可得,(a+b)2=10,(a-b)2=6,两式相减,得4a·b=4,所以a·b=1.2.(2014·山东)已知向量a=(1,),b=(3,m).若向量a,b的夹角为,则实数m=( )A.2B.C.0D.-答案:B解析:根据平面向量的夹角公式,可得=,即3+m=×,两边平方并化简,得6m=18,解得m=,经检验符合题意.3.(2015·阜新模拟)已知向量=(4,6),=(3,5),且⊥,∥,则向量=( )A.B.C.D.答案:D解析:设=(m,n),则=-=(m-4,n-6),∵⊥,∴4m+6n=0.①又∵∥,∴3(n-6)-5(m-4)=0.②由①②联立解得m=,n=-.∴向量=.故应选D.7\n4.(2015·东北三校一模)已知平面向量a=(1,-3),b=(4,-2),若λa-b与a垂直,则实数λ等于( )A.-1 B.1 C.-2D.2答案:B解析:依题意,得λa-b=(λ-4,-3λ+2),(λa-b)·a=(λ-4,-3λ+2)·(1,-3)=λ-4-3(-3λ+2)=10λ-10=0,∴λ=1,故应选B.5.设a·b=4,若a在b方向上的投影为2,且b在a方向上的投影为1,则a与b的夹角等于( )A.B.C.D.或答案:B解析:由题意,知|a|=4,|b|=2,设a与b的夹角为θ,则cosθ===,∴θ=.故应选B.6.(2015·江西师大附中联考)在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,点P是斜边AB上的一个三等分点,则·+·=( )A.0B.C.-D.4答案:D解析:建立如图所示的直角坐标系,7\n则A(2,0),B(0,2),P1,P2,∴=,=,=(0,2),=(2,0),∴+=(2,2).故·+·=·(+)=·(2,2)=+=4,·+·=(+)=·(2,2)=+=4.二、填空题7.(2014·北京)已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),则|λ|=________.答案:解析:∵λa+b=0,∴λa=-b,∴|λa|=|-b|=|b|==,∴|λ|·|a|=.又|a|=1,∴|λ|=.8.(2014·江苏)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,·=2,则·的值是________.答案:22解析:因为=+=+,=+=-,所以·=·=||2-||2-·=2,将AB=8,AD=5代入,解得·=22.7\n9.已知向量a=,b=(1,t),若函数f(x)=a·b在区间上存在增区间,则t的取值范围为________.答案:解析:f(x)=a·b=·(1,t)=-cosx-tx,f′(x)=sinx-t,f(x)在上存在增区间,即x∈时,f′(x)≥0成立有解,∴t≤sinx有解即可,∵sinx<,∴t<.故t的取值范围是.10.(2013·山东)已知向量与的夹角为120°,且||=3,||=2.若=λ+,且⊥,则实数λ的值为________.答案:解析:∵⊥,∴·=0,∴(λ+)·=0,即(λ+)·(-)=λ·-λ2+2-·=0.∵向量与的夹角为120°,||=3,||=2,∴(λ-1)||||·cos120°-9λ+4=0,解得λ=.三、解答题11.已知a=(1,2),b=(x,1),(1)若(2a+b)∥(a-b),求x的值;7\n(2)若2a+b与a-b的夹角是锐角,求x的取值范围.解:(1)∵a=(1,2),b=(x,1)∴2a+b=(2+x,5),a-b=(1-x,1).由(2a+b)∥(a-b)可知,2+x=5-5x.解得x=.(2)由题意可知(2a+b)·(a-b)>0且2a+b与a-b不共线,∴∴<x<且x≠.即所求x的取值范围是∪.12.(2015·德州模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形OABC是等腰梯形,A(6,0),C(1,),点M满足=,点P在线段BC上运动(包括端点),如图.(1)求∠OCM的余弦值;(2)是否存在实数λ,使(-λ)⊥,若存在,求出满足条件的实数λ的取值范围,若不存在,请说明理由.解:(1)由题意,可得=(6,0),=(1,),==(3,0),=(2,-),=(-1,-).∴cos∠OCM=cos〈,〉==.(2)设P(t,),其中1≤t≤5,λ=(λt,λ),-λ=(6-λt,-λ),=(2,-).7\n若(-λ)⊥,则(-λ)·=0,即12-2λt+3λ=0⇒(2t-3)λ=12,若t=,则λ不存在,若t≠,则λ=∵t∈∪,故λ∈(-∞,-12)∪.13.已知向量m=,n=.(1)若m·n=1,求cos的值;(2)记f(x)=m·n,在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2a-c)cosB=bcosC,求函数f(A)的取值范围.解:(1)m·n=sin·cos+cos2=sin+=sin+,∵m·n=1,∴sin=.cos=1-2sin2=,cos=-cos=-.(2)∵(2a-c)cosB=bcosC,由正弦定理,得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC.∴2sinAcosB=sin(B+C).∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sinA≠0.∴cosB=.∵0<B<π,∴B=.7\n∴0<A<.∴<+<,sin∈.又∵f(x)=sin+,∴f(A)=sin+.故函数f(A)的取值范围是.7
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 17:45:21
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文章作者:U-336598
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