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2023高考数学统考一轮复习课后限时集训35平面向量的数量积与平面向量应用举例理含解析新人教版202302272142
2023高考数学统考一轮复习课后限时集训35平面向量的数量积与平面向量应用举例理含解析新人教版202302272142
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课后限时集训(三十五) 平面向量的数量积与平面向量应用举例建议用时:40分钟一、选择题1.(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=( )A.4 B.3 C.2 D.0B [a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3,故选B.]2.已知平面向量a=(-2,3),b=(1,2),向量λa+b与b垂直,则实数λ的值为( )A.B.-C.D.-D [∵a=(-2,3),b=(1,2),∴λa+b=(-2λ+1,3λ+2).∵λa+b与b垂直,∴(λa+b)·b=0,∴(-2λ+1,3λ+2)·(1,2)=0,即-2λ+1+6λ+4=0,解得λ=-.]3.(2020·银川模拟)已知i,j为互相垂直的单位向量,a=i-2j,b=i+λj,且a与b的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是( )A.∪B.C.(-∞,-2)∪D.C [不妨令i=(1,0),j=(0,1),则a=(1,-2),b=(1,λ),因为它们的夹角为锐角,所以a·b=1-2λ>0且a,b不共线,所以λ<且λ≠-2,故选C.]4.(2020·武汉模拟)已知向量|a|=,向量a与b夹角为,且a·b=-1,则|a-b|=( )A.B.2C.D.4\nA [由平面向量数量积的定义可知,a·b=|a|·|b|·cos=·|b|·=-1,∴|b|=1,∴|a-b|====.故选A.]5.若O为△ABC所在平面内任意一点,且满足(-)·(+-2)=0,则△ABC的形状为( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形A [∵(-)·(+-2)=0,∴·[(-)+(-)]=·(+)=0.设D为边BC的中点,则+=2,即·=0.由此可得在△ABC中,BC与BC边上的中线垂直,∴△ABC为等腰三角形.故选A.]6.(2020·济南模拟)若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|b|,则向量a+b与a的夹角为( )A.B.C.D.A [法一:由|a+b|=|a-b|知,a·b=0,所以a⊥b.将|a-b|=2|b|两边平方,得|a|2-2a·b+|b|2=4|b|2,所以|a|2=3|b|2,所以|a|=|b|,所以cos〈a+b,a〉====,所以向量a+b与a的夹角为,故选A.法二:∵|a+b|=|a-b|,∴a⊥b.在四边形ABCO中,设||=|b|=1,|a+b|=2|b|=2,∴|a|=,\n∴〈a+b,a〉=∠BOA,∴在Rt△OBA中,∠BOA=.]二、填空题7.(2020·全国卷Ⅱ)已知单位向量a,b的夹角为45°,ka-b与a垂直,则k=. [由题意,得a·b=|a|·|b|cos45°=.因为向量ka-b与a垂直,所以(ka-b)·a=ka2-a·b=k-=0,解得k=.]8.已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,|a+b|=,则a在b方向上的投影等于.- [∵|a|=1,|b|=2,|a+b|=,∴(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=5+2a·b=3,∴a·b=-1,∴a在b方向上的投影为=-.]9.如图,已知等腰△ABC中,AB=AC=3,BC=4,点P是边BC上的动点,则·(+)=.10 [取BC的中点D,易知+=2,且AD⊥BC.∴·(+)=2·=22.又AB=AC=3,BC=4,∴AD==.故·(+)=22=10.]三、解答题10.已知向量a=(1,-1),b=(sinθ,cosθ),0<θ<π.(1)若向量a∥b,求θ的值;(2)若向量a·b=,求.[解] (1)∵a=(1,-1),b=(sinθ,cosθ),∴当a∥b时,1×cosθ=(-1)×sinθ,即cosθ=-sinθ.\n∵θ∈(0,π),∴θ=.(2)∵a=(1,-1),b=(sinθ,cosθ),∴当a·b=时,1×sinθ+(-1)×cosθ=,可得sinθ-cosθ=⇒(sinθ-cosθ)2=⇒1-2sinθcosθ=,∴sinθcosθ=.∴==sinθ(sinθ+cosθ)×=sinθcosθ=.11.(2020·徐州模拟)已知向量m=(cosx,sinx),n=(sinx,sinx),函数f(x)=m·n.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若α∈,f=,求sinα的值.[解] ∵向量m=(cosx,sinx),n=(sinx,sinx),∴函数f(x)=m·n=sinxcosx+sin2x=+=sin+.(1)T==π.(2)f=sin+=⇒sin=,∵α∈,∴-<α-<,∴cos===.∴sinα=sin\n=sincos+cossin=×+×=.1.(2020·泉州二模)已知向量=(1,2),=(4,-2),则△ABC的面积为( )A.5B.10C.25D.50A [∵||=,||==2,cosA===0,∴A=90°.∴△ABC的面积为·||·||·sinA=5,故选A.]2.(2020·广州模拟)如图所示,把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上,物体处于平衡状态,且受到三个力的作用,即重力G,沿着斜面向上的摩擦力F1,垂直斜面向上的弹力F2.已知|F1|=80N,则G的大小为,F2的大小为.160N 80N [根据题意,F1+F2=-G,如图所示:∠CAO=90°,∠AOC=30°,AC=80,∴OC=160,OA=80,∴G的大小为160N,F2的大小为80N.]3.已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),0<β<α<π.(1)求证:向量a+b与a-b垂直;(2)若ka+b与a-kb的模相等,求β-α的值(其中k为非零实数).[解] (1)∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),∴|a|==1,同理|b|=1.\n∵(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=1-1=0,因此,向量a+b与a-b垂直;(2)a·b=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(β-α),∵|ka+b|=|a-kb|,∴|ka+b|2=|a-kb|2,则k2a2+2ka·b+b2=a2-2ka·b+k2b2,即k2+2ka·b+1=1-2ka·b+k2,整理得a·b=cos(β-α)=0,∵0<β<α<π,则0<α<π,0<β<π,所以,-π<β-α<0,∴β-α=-.1.如图,已知P是半径为2,圆心角为的一段圆弧AB上一点,=2,则·的最小值为.5-2 [法一:(几何法)设圆心为O,AB中点为D.由题意得AB=2×2×sin=2,所以AC=3.取AC中点M,连接PM,由题意得两式平方后相减得·=2-2=2-.要使·最小,就要使PM最小.连接OM,OD(图略),易知当圆弧AB的圆心与点P,M共线时,PM最小.此时DM=,所以OM==,所以PM的最小值为2-,代入求得·的最小值为5-2.法二:(坐标法)如图,设圆弧AB所在圆的圆心为O,则以O为坐标原点,过点O与直线AB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系.连接OA,由已知得OA=2,则A(-1,),B(1,),圆O的方程为x2+y2=4.\n连接OC,由=2得BC=1,故C(2,),所以OC=.设P(x,y),则由题意可得-1≤x≤1.易得=(-1-x,-y),=(2-x,-y).所以·=(-1-x)(2-x)+(-y)2=x2+y2-(x+2y)+1=5-(x+2y).不妨设θ∈,则·=5-(2cosθ+2×2sinθ)=5-2(cosθ+2sinθ)=5-2sin(θ+φ).因为sin(θ+φ)的最大值为1,所以·的最小值为5-2.]2.已知O为△ABC的外心,以线段OA,OB为邻边作平行四边形,第四个顶点为D,再以OC,OD为邻边作平行四边形,它的第四个顶点为H.(1)若=a,=b,=c,=h,试用a,b,c表示h;(2)证明:⊥;(3)若△ABC的∠A=60°,∠B=45°,外接圆的半径为R,用R表示|h|.[解] (1)由平行四边形法则可得:=+=++,即h=a+b+c.(2)∵O是△ABC的外心,∴||=||=||,即|a|=|b|=|c|,而=-=h-a=b+c,=-=c-b,∴·=(b+c)·(c-b)=|c|2-|b|2=0,∴⊥.(3)在△ABC中,O为△ABC的外心,∠A=60°,∠B=45°,\n∴∠BOC=120°,∠AOC=90°,于是∠AOB=150°,|h|2=|a+b+c|2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=3R2+2|a|·|b|·cos150°+2|b|·|c|·cos120°+2|c|·|a|·cos90°=(2-)R2,∴|h|=.
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 17:31:21
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文章作者:U-336598
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