【高考总动员】2023高考数学大一轮复习 第4章 第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例课时提升练 文 新人教版
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课时提升练(二十五) 平面向量的数量积与平面向量应用举例一、选择题1.已知A,B,C为平面上不共线的三点,若向量=(1,1),n=(1,-1),且n·=2,则n·等于( )A.-2 B.2 C.0 D.2或-2【解析】 n·=n·(+)=n·+n·=(-1,1)·(-1,-1)+2=2.【答案】 B2.(2014·四川高考)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=( )A.-2B.-1C.1D.2【解析】 因为a=(1,2),b=(4,2),所以c=ma+b=(m,2m)+(4,2)=(m+4,2m+2).根据题意可得=,所以=,解得m=2.【答案】 D3.已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且向量a,b不共线,则下列说法不正确的是( )A.|a|=|b|=1B.(a+b)⊥(a-b)C.a与b的夹角等于α-βD.a与b在a+b方向上的投影相等【解析】 ∵α、β是任意角,可取α=,β=-π,则α-β=,因为向量夹角的范围是[0,π],故C不正确;可以验证.A、B、D均正确.【答案】 C4.已知3a+4b+5c=0,且|a|=|b|=|c|=1,则a·(b+c)=( )A.B.C.-D.-【解析】 由题意,|3a|=3,|4b|=4,|5c|=5,又∵3a+4b+5c=0,故向量3a,4b,5c首尾相接构成直角三角形(如图),4\n故a·b=0,∴a·(b+c)=a·b+a·c=|a||c|cos〈a,c〉=cos〈a,c〉=-.【答案】 D5.(2014·课标全国卷Ⅱ)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=( )A.1B.2C.3D.5【解析】 |a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=10,|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=6,将上面两式左右两边分别相减,得4a·b=4,∴a·b=1.【答案】 A6.(2013·湖南高考)已知a,b是单位向量,a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为( )A.-1B.C.+1D.+2【解析】 ∵a,b是单位向量,∴|a|=|b|=1.又a·b=0,∴a⊥b,∴|a+b|=.∴|c-a-b|2=c2-2c·(a+b)+2a·b+a2+b2=1.∴c2-2c·(a+b)+1=0.∴2c·(a+b)=c2+1.∴c2+1=2|c||a+b|cosθ(θ是c与a+b的夹角).∴c2+1=2|c|cosθ≤2|c|.∴c2-2|c|+1≤0.∴-1≤|c|≤+1.∴|c|的最大值为+1.【答案】 C二、填空题7.(2014·湖北高考)设向量a=(3,3),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a-λb),则实数λ=________.【解析】 由题意得,(a+λb)·(a-λb)=0,即a2-λ2b2=18-2λ2=0,解得λ=±3.【答案】 ±38.(2014·山东高考)在△ABC中,已知·=tanA,当A=时,△ABC的面积为________.【解析】 已知A=,由题意得||||cos=tan,||||=,所以△ABC4\n的面积S=||·||sin=××=.【答案】 9.已知a=(1,2),b=(1,1),且a与a+λb的夹角为锐角,则实数λ的取值范围为________.【解析】 ∵a与a+λb均为非零向量,且夹角为锐角,∴a·(a+λb)>0,即(1,2)·(1+λ,2+λ)>0,∴(1+λ)+2(2+λ)>0,∴λ>-,当a与a+λb共线时,存在实数m,使a+λb=ma,即(1+λ,2+λ)=m(1,2),∴,∴λ=0,即当λ=0时,a与a+λb共线.综上可知,λ的取值范围为.【答案】 三、解答题10.已知向量a=,b=且x∈.(1)求a·b及|a+b|;(2)若f(x)=a·b-|a+b|,求f(x)的最大值和最小值.【解】 (1)a·b=coscos-sinsin=cos2x.∵a+b=,∴|a+b|===2|cosx|.∵x∈,∴cosx>0,∴|a+b|=2cosx.(2)f(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1=22-.4\n∵x∈,∴≤cosx≤1,∴当cosx=时,f(x)取得最小值-;当cosx=1时,f(x)取得最大值-1.11.(2014·陕西高考)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上,且=m+n(m,n∈R).(1)若m=n=,求||;(2)用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.【解】 (1)∵m=n=,=(1,2),=(2,1),∴=(1,2)+(2,1)=(2,2),∴||==2.(2)∵=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n),∴两式相减,得m-n=y-x.令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.12.(2014·湖南高考改编)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,求|++|的取值范围.【解】 设D(x,y),则由||=1,C(3,0),得(x-3)2+y2=1.又∵++=(x-1,y+),∴|++|=.∴|++|的几何意义是点P(1,-)与圆(x-3)2+y2=1上点之间的距离.由|PC|=知,|++|的最大值是1+,最小值是-1.4
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