2025年高考数学一轮讲义第5章 第3课时　平面向量的数量积及其应用

第3课时　平面向量的数量积及其应用[考试要求]　1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5．会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．1．向量的夹角已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ就是向量a与b的夹角，向量夹角的取值范围是__________．当______时，a与b垂直，记作a⊥b；当______时，a与b共线且同向；当______时，a与b共线且反向．2．平面向量的数量积定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量___________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.规定：0·a＝__．3．投影向量设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，AB＝a，CD＝b，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b____，A1B1叫做向量a在向量b上的________，记为____________________．提醒：设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cosθbb＝a·bbb2.4．向量数量积的运算律7/7 (1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝__________________．(2)模：|a|＝a·a＝__．(3)夹角：cosθ＝a·bab＝__．(4)a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔______________________．(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔x1x2+y1y2≤x12+y12·x22+y22.6．平面几何中的向量方法(1)用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．[常用结论]1．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(3)a·b＝14[(a＋b)2－(a－b)2](该式又称作极化恒等式)．2．有关向量夹角的两个结论两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的夹角的取值范围是0，π2．(　　)(2)两个向量的数量积是一个实数．(　　)(3)若a·b＝a·c，则b＝c．(　　)(4)(a·b)c＝a(b·c)．(　　)7/7 二、教材经典衍生1．(人教A版必修第二册P36练习T1改编)已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a与b夹角的余弦值为(　　)A．6365　　B．65　　C．135　　D．132．(人教A版必修第二册P20练习T3改编)若a·b＝－6，|a|＝8，与a方向相同的单位向量为e，则向量b在向量a上的投影向量为________.3．(人教A版必修第二册P23习题6.2T11改编)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．4．(人教A版必修第二册P24习题6.2T24改编)如图，在⊙C中，弦AB的长度为4，则AB·AC＝________．考点一　平面向量数量积的运算[典例1]　(1)(2024·吉林四平模拟)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，且a与b的夹角为π6，则(a＋b)·(2a－b)＝(　　)A．6　　　B．8　　　C．10　　　D．14(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为________，DE·DC的最大值为________．[四字解题]读想算思正方形ABCD且E是AB边上的动点；求DE·CB，DE·DC的最大值数量积的求解方法投影法数量积的几何意义数形结合基向量法数量积的运算三角形法则坐标法建系，求相关点的坐标，建立函数几何问题代数化，函数思想[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7/7 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用基底法求数量积．(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．[跟进训练]1．(1)已知△ABC是边长为1的正三角形，BD＝2DC，AB+AC＝2AE，则AE·AD＝(　　)A．34　　　B．32　　　C．38　　　D．1(2)(2024·山东济南模拟)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，则a·b＝________，a在b上的投影向量是________．考点二　平面向量数量积的应用　求向量的模[典例2]　(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝3，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　向量的夹角问题[典例3]　(1)若e1，e2是夹角为π3的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为(　　)A．π6　B．π3C．2π3　D．5π6(2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7/7 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　向量的垂直问题[典例4]　(2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　　)A．λ＋μ＝1　B．λ＋μ＝－1C．λμ＝1　D．λμ＝－1[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．求平面向量模的方法(1)若a＝(x，y)，利用公式|a|＝x2+y2.(2)利用|a|＝a2.2．求平面向量的夹角的方法(1)定义法：cosθ＝a·bab，θ的取值范围为[0，π].(2)坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cosθ＝x1x2+y1y2x12+y12·x22+y22.(3)解三角形法：把两向量放到同一三角形中．[跟进训练]2．(多选)(2024·烟台模拟)已知点A(1，2)，B(3，1)，C(4，m＋1)(m∈R)，则下列说法正确的是(　　)A．|AB|＝5B．若AB⊥BC，则m＝－2C．若AB∥BC，则m＝－12D．若BA，BC的夹角为锐角，则m<2且m≠－12考点三　平面向量的应用[典例5]　(多选)在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为F1，F2，且|F17/7 |＝F2，F1与F2的夹角为θ.给出以下结论，其中正确的是(　　)A．θ越大越费力，θ越小越省力B．θ的取值范围为[0，π]C．当θ＝π2时，|F1|＝|G|D．当θ＝2π3时，|F1|＝|G|[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　用向量方法解决平面几何(物理)问题的步骤[跟进训练]3．长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|＝10km/h，水流的速度v2的大小|v2|＝4km/h，设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cosθ等于(　　)A．－215　B．－257/7 C．－35　D．－457/7