2023年新高考一轮复习讲义第32讲 平面向量的数量积及应用举例（解析版）

第32讲　平面向量的数量积及应用举例学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·全国·高考真题（文））已知向量，则（       ）A．2B．3C．4D．5【答案】D【分析】先求得，然后求得.【详解】因为，所以.故选：D2．（2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）已知单位向量，满足，则与的夹角为（       ）A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】C【分析】根据数量积的运算律及夹角公式计算可得；【详解】解：因为，为单位向量，所以，又，所以，即，所以，即，所以，所以，因为，所以；故选：C3．（2022·全国·高考真题（理））已知向量满足，则（       ）A．B．C．1D．2【答案】C【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：∵，又∵∴9，∴故选：C.4．（2022·山东潍坊·模拟预测）定义：，其中为向量与的夹角．若，，，则等于（       ）A．B．C．D．【答案】D【分析】由向量数量积定义可构造方程求得，由此可得，根据可求得结果.【详解】，，又，，.故选：D.5．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则（       ）A．B．C．D．3【答案】C【分析】由求解.【详解】解：因为，，且与的夹角为，所以，，故选：C6．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知△ABC中，，AB=4，AC=6，且，，则（       ）A．12B．14C．16D．18试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【答案】B【分析】以，为基底表示，再与求数量积即可．【详解】解：，且所以：．故选：B.7．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，设，，所以，，试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 所以，其中，，因为，所以，即；故选：D8．（2022·江苏无锡·模拟预测）八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹以白彩绘成，黑线勾边，中为方形或圆形，具有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹星纹．图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形为等腰直角三角形，中间阴影部分是正方形且边长为2，其中动点P在圆上，定点A、B所在位置如图所示，则最大值为（       ）A．9B．10C．D．【答案】C【分析】由题意可得，，，，设的夹角为，的夹角为，则=-,分在所对的优弧上和在所对的劣弧上两种情况计算即可得答案.【详解】解：如图所示：连接，试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 因为中间阴影部分是正方形且边长为2，所以可得，，，所以，在中由余弦定理可得，所以，设的夹角为，的夹角为，==-,当在所对的优弧上时，，所以，，=,所以=-＝＝,（其中）所以最大值为；当在所对的劣弧上时，，所以，，=,所以=-＝＝,（其中）所以最大值为；综上所述：最大值为.故选：C.9．（多选）（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）已知向量试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ，则下列说法正确的是（       ）A．若，则的值为B．若则的值为C．若，则与的夹角为锐角D．若，则【答案】AB【分析】根据向量的数量积、向量的模的坐标表示及向量共线的坐标表示一一判断即可；【详解】解：对于A：若，则，解得，故A正确；对于B：若，则，解得，故B正确；对于C：当时与同向，此时与的夹角为，故C错误；对于D：若，则，即，即，解得，当时，，，显然，当时，，，此时，故D错误；故选：AB10．（多选）（2022·山东聊城·三模）在平面四边形中，，，则（       ）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】根据所给的条件，判断出四边形内部的几何关系即可.【详解】因为，，可得，所以为等边三角形，则，故A正确；因为，所以，又，所以，试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 得，所以，则，故B正确；根据以上分析作图如下：由于与不平行，故C错误；建立如上图所示的平面直角坐标系，则，，，，，所以，故D正确；故选：ABD.11．（2022·全国·高考真题（文））已知向量．若，则______________．【答案】【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知：，解得.故答案为：.12．（2022·全国·高考真题（理））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．【答案】【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，又，，所以，所以．故答案为：．13．（2022·湖南株洲·一模）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是，且与水平夹角均为，，则物体的重力大小为_________N.【答案】20【解析】根据力的平衡有,两边平方后可求出.【详解】由题意知.的夹角为.所以.所以.所以.故答案为:20.14．（2022·山东青岛·二模）若是边长为2的等边三角形，AD为BC边上的中线，M为AD的中点，则的值为___________.【答案】【分析】已知是边长为2的等边三角形，为边上的中线，为的中点，则，，又，然后结合平面向量数量积的运算求解即可．【详解】解：已知是边长为2的等边三角形，为边上的中线，为的中点，试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 则，，又，则，故答案为：．15．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）已知，则向量的范围是____________．【答案】【分析】设出，利用向量数量积运算法则得到，利用求出取值范围.【详解】设，所以①,一方面，，当且仅当与同向，与同向时取得最大值，另一方面，，其中，当且仅当与反向时取得最小值．故．故答案为：16．（2022·广东佛山·高三期末）菱形中，，点E，F分别是线段上的动点试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 （包括端点），，则___________，的最小值为___________.【答案】    0    【分析】建立坐标系，用坐标表示向量，第一个空利用向量数量积坐标公式进行相应计算，第二个空设出，表达出，利用二次函数的性质求最小值，再结合求出最小值.【详解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，故，，，，设，则，，则，，，；因为，所以，，故当时，取得最小值为，因为，所以当，即时，最小，最小值为故答案为：0，17．（2022·全国·高三专题练习）在中，设.（1）求证：为等腰三角形；试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 （2）若且，求的取值范围.【解】（1）因为，所以，因为，所以，所以，所以，所以，故为等腰三角形，（2）因为，所以，设，因为，所以，所以，所以，又因为，，，即.【素养提升】1．（多选）（2022·全国·高三专题练习）点在△所在的平面内，则以下说法正确的有（       ）A．若动点满足，则动点的轨迹一定经过△的垂心；B．若，则点为△的内心；C．若，则点为△的外心；D．若动点满足，则动点的轨迹一定经过△的重心.【答案】BC【分析】A由正弦定理知，且，代入已知等式得，即知的轨迹一定经过的哪种心；B、C分别假设为△的内心、外心，利用向量试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 的几何图形中的关系，及向量的运算律和数量积判断条件是否成立即可；D由，根据数量积的运算律及向量数量积的几何意义求的值，即知的轨迹一定经过的哪种心；【详解】A：由正弦定理知，而，所以，即动点的轨迹一定经过△的重心，故错误.B：若为△的内心，如下图示：，同理，，，∴，，故正确；C：若为△的外心，分别为的中点，则，而，同理，又，故，正确；试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 D：由，故，即，动点的轨迹一定经过△的垂心，错误.故选：BC2．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）设直角，是斜边上一定点．满足，则对于边上任一点P，恒有，则斜边上的高是________．【答案】【分析】取中点，根据结合可得，再根据三角形中的比例性质求解即可【详解】取中点，则，同理，又，故，即恒成立，所以.作，则为中点，故，所以.又因为直角，故，所以，即斜边上的高是试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 故答案为：3．（2022·浙江·模拟预测）已知平面向量满足，若，则的最大值是__________．【答案】【分析】由已知条件可设，．由已知可确定点C在以为圆心，1为半径的圆上，D在以为圆心3为半径的圆内（含边界），则所求即为圆面M内一点与圆P上一点之间的距离，从而可得答案.【详解】∵，∴，又，则可设，设．由知C在以为圆心，1为半径的圆上，取的中点为，由,又，所以所以D在以为圆心3为半径的圆内（含边界），如图所示．作圆N关于x轴的对称圆圆P，其中，则表示圆面M内一点与圆P上一点之间的距离，所以，即的最大值为．故答案为：．试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 4．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6的可移动的线段，，，，则的取值范围为________________.   【答案】【分析】首先在上取一点，使得，取的中点，连接，，根据题意得到，再根据的最值求解即可.【详解】在上取一点，使得，取的中点，连接，，如图所示：则，，，，即.，当时，取得最小值，此时，所以.当与重合时，，，则，当与重合时，，，则，所以，即的取值范围为.试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 故答案为：5．（2022·天津市第四中学模拟预测）如图，已知，是直角两边上的动点，，，，，，则的最大值为___________.【答案】【分析】以点为原点，，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，设，利用三角函数关系表示，，的坐标，由题干条件分析可知为的中点，为的中点，即可得到，的坐标，进而得到与，整理可得为关于的函数，利用正弦型函数的性质即可求得最大值.【详解】如图，以点为原点，，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，设，则，，在中，，，所以设，，，即.由题意可知为的中点，为的中点，试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 所以，，所以，，所以（其中，为锐角），所以的最大值为，此时，即，故答案为：6．（2022·浙江温州·二模）已知，，是非零平面向量，，，，，则的最大值是_________.【答案】【分析】分析题目条件，利用向量的数量积结合几何性质解题【详解】由题，令，则,因为，令，根据几何性质，点B在以为圆心，1为半径的圆上，，又因为，利用数量积公式展开可得，所以点C的轨迹为以或为圆心，半径为1的圆，所以C的横坐标的最大值为，试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ，即为在上的投影，最大值为.故答案为：.7．（2022·浙江·绍兴一中模拟预测）定义两个向量组的运算，设为单位向量，向量组分别为的一个排列，则的最小值为_______．【答案】【分析】讨论、且、且或2或3，根据的定义及向量数量积的运算律，分别求最小值，即可得结果.【详解】当且时，；当且、时，则，当且仅当时等号成立；同理且、或且、时，的最小值也为；当时，则，由，设，则，所以，当时等号成立.综上，的最小值为．试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 故答案为：.试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司 试卷第20页，共1页学科网（北京）股份有限公司