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高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第3讲平面向量的数量积及应用举例知能训练轻松闯关理北师大版

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第3讲平面向量的数量积及应用举例1.已知A,B,C为平面上不共线的三点,若向量=(1,1),n=(1,-1),且n·=2,则n·等于(  )A.-2          B.2C.0D.2或-2解析:选B.n·=n·(+)=n·+n·=(1,-1)·(-1,-1)+2=0+2=2.2.(2022·江西省九校联考)在△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=30°,CD是边AB上的高,则·=(  )A.-B.C.D.-解析:选B.·=·(+)=·+0=||·||·cos∠ACD=×3×cos60°=.3.已知|a|=1,a·b=,|a-b|2=1,则a与b的夹角等于(  )A.30°B.45°C.60°D.120°解析:选C.设a与b的夹角为θ,因为a·b=|a||b|·cosθ=,且|a|=1,所以|b|cosθ=.①又|a-b|2=|a|2+|b|2-2a·b=1,即1+|b|2-1=1,故|b|=1.②由①②得cosθ=.又θ∈[0°,180°],所以θ=60°.故选C.4.设e1,e2,e3为单位向量,且e3=e1+ke2(k>0),若以向量e1,e2为邻边的三角形的面积为,则k的值为(  )A.B.C.D.解析:选A.设e1,e2的夹角为θ,则由以向量e1,e2为邻边的三角形的面积为,得×1×1×sinθ=,得sinθ=1,所以θ=90°,所以e1·e2=0.从而对e3=e1+ke2两边同时平方得1=+k2,解得k=或-(舍去).5\n5.已知,是非零向量,且满足(-2)⊥,(-2)⊥,则△ABC的形状为(  )A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析:选C.因为(-2)⊥⇒(-2)·=0,即·-2·=0.(-2)⊥⇒(-2)·=0,即·-2·=0,所以·=·=2·,即||=||,而cosA==,所以∠A=60°,所以△ABC为等边三角形.6.(2022·沈阳一模)在△ABC中,已知|+|=|-|,AB=2,AC=1,E,F为边BC的三等分点,则·=(  )A.B.C.D.解析:选B.因为|+|=|-|,所以2+2+2·=2+2-2·,即有·=0,因为E,F为边BC的三等分点,不妨设E为靠近C的三等分点,则·=(+)·(+)=·=·=2+2+·=×(1+4)+0=,故选B.7.(2022·江西省模拟)已知平面向量a,b的夹角为,|a|=2,|b|=1,则|a+b|=________.解析:由题意得a·b=-1,所以|a+b|==.答案:8.(2022·江西省九校联考)在△ABC中,=(,),=(1,),则△ABC的面积为________.解析:由于=(,),=(1,),则有||=,||=,那么cos∠BAC==,可得sin∠BAC==,故△ABC的面积为S=||||sin∠BAC=1-.答案:1-9.(2022·山西省第一次四校联考)已知圆O为△ABC的外接圆,半径为2,若+=2,且||=||,则向量在向量方向上的投影为________.5\n解析:因为+=2,所以O是BC的中点,故△ABC为直角三角形.在△AOC中,有||=||,所以∠B=30°.由定义知,向量在向量方向上的投影为||cosB=2×=3.答案:310.(2022·高考安徽卷)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论中正确的是________.(写出所有正确结论的编号)①a为单位向量;②b为单位向量;③a⊥b;④b∥;⑤(4a+b)⊥.解析:因为2=4|a|2=4,所以|a|=1,故①正确;因为=-=(2a+b)-2a=b,又△ABC为等边三角形,所以||=|b|=2,故②错误;因为b=-,所以a·b=·(-)=×2×2×cos60°-×2×2=-1≠0,故③错误;因为=b,故④正确;因为(+)·(-)=2-2=4-4=0,所以(4a+b)⊥,故⑤正确.答案:①④⑤11.已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°.(1)计算:①|a+b|,②|4a-2b|;(2)当k为何值时,(a+2b)⊥(ka-b)?解:由已知得,a·b=4×8×=-16.(1)①因为|a+b|2=a2+2a·b+b2=16+2×(-16)+64=48,所以|a+b|=4.②因为|4a-2b|2=16a2-16a·b+4b2=16×16-16×(-16)+4×64=768.所以|4a-2b|=16.(2)因为(a+2b)⊥(ka-b),所以(a+2b)·(ka-b)=0,ka2+(2k-1)a·b-2b2=0,即16k-16(2k-1)-2×64=0.所以k=-7.即k=-7时,a+2b与ka-b垂直.12.(2022·河北省监测)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°,D为线段BC上的点,E为线段AB上的点,==t,求当·=时实数t的值.解:以C为原点,CA所在直线为x轴建立平面直角坐标系如图所示,则C(0,0),B(0,4),A(3,0),由题意=t=t(0,4)=(0,4t),=t=t(-3,4)=(-3t,4t),所以=+=(3,0)+(-3t,4t)=(3-3t,4t),=+=(-3,0)+(0,4t)=(-3,4t),·5\n=(-3,4t)·(3-3t,4t)=16t2+9t-9=,解得t=(舍去)或t=,所以t=.1.(2022·郑州第一次质量预测)在Rt△ABC中,CA=CB=3,M,N是斜边AB上的两个动点,且MN=,则·的取值范围为(  )A.B.[2,4]C.[3,6]D.[4,6]解析:选D.记MN的中点为E,则有+=2,·=[(+)2-(-)2]=2-2=2-.又||的最小值等于点C到AB的距离,即,故·的最小值为-=4.当点M与点A(或B)重合时,||达到最大,||的最大值为 =,因此·的取值范围是[4,6],故选D.2.(2022·石家庄调研)若a,b,c均为单位向量,且a·b=0,则|a+b-c|的最小值为________.解析:因为a·b=0,且|a|=|b|=|c|,所以|a+b|=,又因为(a+b)·c=|a+b||c|cos〈(a+b),c〉=cos〈(a+b),c〉,所以|a+b-c|2=a2+b2+c2+2a·b-2a·c-2b·c=3-2(a+b)·c=3-2cos〈(a+b),c〉,所以当cos〈(a+b),c〉=1时,|a+b-c|=3-2=(-1)2,所以|a+b-c|的最小值为-1.答案:-13.(2022·安康模拟)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,2)、B(4,1)、C(-6,9).(1)若AD是BC边上的高,求向量的坐标;(2)若点E在x轴上,使△BCE为钝角三角形,且∠BEC为钝角,求点E横坐标的取值范围.解:(1)设D(x,y),则=(x,y-2),=(x-4,y-1),由题意知AD⊥BC,则·=0,即-10x+8(y-2)=0,即5x-4y+8=0,①由∥,得8(x-4)=-10(y-1),即4x+5y-21=0,②联立①②解得x=,y=,则=.(2)设E(a,0),则=(4-a,1),=(-6-a,9),由∠BEC为钝角,得(4-a)·(-6-a)+9<0,解得-5<a<3,5\n由与不能共线,得9(4-a)≠-6-a,解得a≠.故点E的横坐标的取值范围为(-5,3).4.(2022·河南省三市调研)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(a-c)·=c·. (1)求角B的大小;(2)若|-|=,求△ABC面积的最大值.解:(1)由题意得(a-c)cosB=bcosC.根据正弦定理得(sinA-sinC)cosB=sinBcosC,所以sinAcosB=sin(C+B),即sinAcosB=sinA,因为A∈(0,π),所以sinA>0,所以cosB=,又B∈(0,π),所以B=.(2)因为|-|=,所以||=,即b=,根据余弦定理及基本不等式得6=a2+c2-ac≥2ac-ac=(2-)ac(当且仅当a=c时取等号),即ac≤3(2+),故△ABC的面积S=acsinB≤,即△ABC的面积的最大值为.5

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发布时间:2022-08-25 16:57:05 页数:5
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文章作者:U-336598

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