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高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第2讲平面向量基本定理及坐标表示知能训练轻松闯关理北师大版
高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第2讲平面向量基本定理及坐标表示知能训练轻松闯关理北师大版
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第2讲平面向量基本定理及坐标表示1.(2022·北京一模)已知AC为平行四边形ABCD的一条对角线,=(2,4),=(1,3),则=( )A.(2,4) B.(3,7)C.(1,1)D.(-1,-1)解析:选D.如图,=-=(-1,-1),所以==(-1,-1),故选D.2.已知向量a=,b=(x,1),其中x>0,若(a-2b)∥(2a+b),则x的值为( )A.4B.8C.0D.2解析:选A.a-2b=,2a+b=(16+x,x+1),由已知(a-2b)∥(2a+b),显然2a+b≠0,故有=λ(16+x,x+1),λ∈R,所以⇒x=4(x>0).3.(2022·日照一模)在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若=a,=b,则等于( )A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b解析:选B.如图,因为△DEF∽△BEA,所以DF∶BA=DE∶BE=1∶3,过点F作FG∥BD交AC于点G,所以FG∶DO=2∶3,CG∶CO=2∶3,所以=b,因为=+==a,所以=+=a+b.故选B.4.(2022·南昌十校联考)已知a=(,1),若将向量-2a绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b,则b的坐标为( )A.(0,4)B.(2,-2)C.(-2,2)D.(2,-2)6\n解析:选B.因为a=(,1),所以-2a=(-2,-2),易知向量-2a与x轴正半轴的夹角α=150°(如图).向量-2a绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b,在第四象限,与x轴正半轴的夹角β=30°,所以b=(2,-2),故选B.5.如图,A,B分别是射线OM,ON上的两点,给出下列向量:①+2;②+;③+;④+;⑤-,若这些向量均以O为起点,则终点落在阴影区域内(包括边界)的有( )A.①②B.②④C.①③D.③⑤解析:选B.在ON上取点C使=2,以OA,OC为邻边作平行四边形OCDA,则=+2,其终点不在阴影区域内,排除选项A,C;取OA的中点E,作EF綊OB,由于=,所以+的终点在阴影区域内,排除选项D.故选B.6.(2022·洛阳统考)如图,A,B,C是圆O上的三点,CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D,若=m+n,则m+n的取值范围是( )A.(0,1)B.(1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-1,0)解析:选D.由点D是圆O外一点,可设=λ(λ>1),则=+λ=λ+(1-λ)·.又C,O,D三点共线,令=-μ(μ>1),则=--(λ>1,μ>1),所以m=-,n=-,且m+n=--=-∈(-1,0).7.已知O为坐标原点,点C是线段AB上一点,且A(1,1),C(2,3),||=2||,则向量的坐标是________. 解析:由点C是线段AB上一点,||=2||,得=-2.设点B为(x,y),则(2-x,3-y)=-2(1,2),即解得所以向量的坐标是(4,7).答案:(4,7)6\n8.已知A(2,1),B(3,5),C(3,2),=+t(t∈R),若点P在第二象限,则实数t的取值范围是________. 解析:设点P(x,y),则由=+t(t∈R),得(x-2,y-1)=(1,4)+t(1,1)=(1+t,4+t),所以解得由点P在第二象限,得所以-5<t<-3.答案:(-5,-3)9.(2022·合肥质检)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,向量a=(cosC,b-c),向量b=(cosA,a)且a∥b,则tanA=________.解析:a∥b⇒(b-c)cosA-acosC=0,即bcosA=ccosA+acosC,再由正弦定理得sinBcosA=sinCcosA+cosCsinA⇒sinBcosA=sin(C+A)=sinB,即cosA=,所以sinA=,tanA==.答案:10.已知D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,给出下列命题:①=a-b;②=a+b;③=-a+b;④++=0.其中正确命题的个数为________.解析:=a,=b,=+=-a-b,故①错;=+=a+b,故②正确;=(+)=(-a+b)=-a+b,故③正确;所以++=-b-a+a+b+b-a=0.故④正确.所以正确命题为②③④.答案:311.如图,以向量=a,=b为邻边作▱OADB,=,=,用a,b表示,,.解:因为=-=a-b,==a-b,所以=+=a+b.因为=a+b,所以=+=+6\n==a+b,所以=-=a+b-a-b=a-b.综上,=a+b,=a+b,=a-b.12.(2022·宿州模拟)已知a=(1,0),b=(2,1).(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线?(2)若=2a+3b,=a+mb且A、B、C三点共线,求m的值.解:(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).因为ka-b与a+2b共线,所以2(k-2)-(-1)×5=0,即2k-4+5=0,得k=-.(2)法一:因为A、B、C三点共线,所以=λ,即2a+3b=λ(a+mb),所以,解得m=.法二:=2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),=a+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m).因为A、B、C三点共线,所以∥.所以8m-3(2m+1)=0,即2m-3=0,所以m=.1.若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为( )A.(2,0)B.(0,-2)C.(-2,0)D.(0,2)解析:选D.因为a在基底p,q下的坐标为(-2,2),即a=-2p+2q=(2,4),令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),所以即所以a在基底m,n下的坐标为(0,2).2.(经典考题)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则=________.解析:以向6\n量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1),则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),所以a==(-1,1),b==(6,2),c==(-1,-3).因为c=λa+μb,所以(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2),即-λ+6μ=-1,λ+2μ=-3,解得λ=-2,μ=-,所以=4.答案:43.(2022·太原模拟)已知点O为坐标原点,A(0,2),B(4,6),=t1+t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件;(2)求证:当t1=1时,不论t2为何实数,A、B、M三点都共线.解:(1)=t1+t2=t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2).当点M在第二或第三象限时,有故所求的充要条件为t2<0且t1+2t2≠0.(2)证明:当t1=1时,由(1)知=(4t2,4t2+2).因为=-=(4,4),=-=(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2,且有公共点A,所以不论t2为何实数,A、B、M三点都共线.4.如图,设Ox,Oy为平面内相交成60°角的两条数轴,e1、e2分别是x轴、y轴正方向同向的单位向量,若向量=xe1+ye2,则把有序实数对(x,y)叫做向量在坐标系xOy中的坐标.若的坐标为(1,1).(1)求||;(2)过点P作直线l分别与x轴、y轴正方向交于点A、B,试确定A,B的位置,使△AOB的面积最小,并求出最小值.解:(1)过点P作x轴、y轴的平行线,交y轴、x轴于点M、N.||=1,||=||=1,∠ONP=120°,所以||==.(2)设||=x,||=y.=m+n(m+n=1),则=m+n=mxe1+nye2.6\n得⇒+=1.S△AOB=||||sin60°=xysin60°=xy.因为+=1≥,所以≥2,S△AOB=xy≥,当且仅当x=y=2,即当A(2,0),B(0,2)时,△AOB面积最小,最小值为.6
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 16:57:05
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