2024年高考数学一轮复习讲练测：平面向量与复数 第02讲 平面向量的数量积及其应用（练习）（解析版）

第02讲平面向量的数量积及其应用（模拟精练+真题演练）1．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）已知向量（2，1），（，3），则向量在方向上的投影向量为（　  　）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为向量（2，1），（，3），所以向量在方向上的投影向量为，故选：C2．（2023·北京·统考模拟预测）若向量，，则与的夹角等于（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】，又因为，所以，即与的夹角等于.故选：D3．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知向量，满足，且，，则（    ）A．5B．3C．2D．1【答案】D【解析】，所以，故选：D4．（2023·广东深圳·统考模拟预测）若等边的边长为2，平面内一点满足，则（    ）17 A．B．C．D．【答案】C【解析】，，.故选：C.5．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四中学校校考模拟预测）如图，已知的半径为2，，则（    ）  A．1B．-2C．2D．【答案】C【解析】由题知，为正三角形，所以，所以.故选：C6．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）在当中，且，已知为边的中点，则（    ）.A．2B．C．D．【答案】D【解析】因为为边的中点，所以，即，而，，，故，所以.故选：D17 7．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知向量，且满足，则向量在向量上的投影向量为（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，得，所以，，所以向量在向量上的投影向量为.故选：C8．（2023·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模）如图直线l以及三个不同的点A，，O，其中，设，，直线l的一个方向向量的单位向量是，下列关于向量运算的方程甲：，乙：，其中是否可以作为A，关于直线l对称的充要条件的方程（组），下列说法正确的是（    ）  A．甲乙都可以B．甲可以，乙不可以C．甲不可以，乙可以D．甲乙都不可以【答案】A【解析】对于方程甲：因为、为、在方向上的投影，可得表示点A，到直线l的距离相等，则点A，分别在关于直线l对称的平行线上，  17 因为，可得，则，且，可得，所以A，关于直线l对称，反之也成立，故甲满足；对于乙：在中，因为，则为边的中线所在的直线，且点A在直线上的投影为的中点，所以A，关于直线l对称，反之也成立，故乙满足；故选：A.9．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）已知非零向量，，满足，，，.则向量与的夹角（    ）A．45°B．60°C．135°D．150°【答案】C【解析】∵，，∴.∵，∴，，则，设向量与的夹角为，与反向,则.故选：C.10．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）在中，点D，E满足，，且．若，则的可能值为（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】依题意，作图如下，  由，可得，所以，即，也即，17 又因为,所以，所以，所以，当且仅当时取得等号，所以，所以结合选项的可能值为，故选：D.11．（多选题）（2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）已知平面向量，，则下列说法正确的是（   ）A．B．在方向上的投影向量为C．与垂直的单位向量的坐标为D．若向量与非零向量共线，则【答案】AD【解析】由题意知，，，则，因此A正确；在方向上的投影向量为，因此B错误；与垂直的单位向量的坐标为或，因此C错误；因为，，若向量与向量共线，则，17 解得，因此D正确.故选：AD.12．（多选题）（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考模拟预测）已知，下列结论正确的是（    ）A．与向量垂直且模长是2的向量是和B．与向量反向共线的单位向量是C．向量在向量上的投影向量是D．向量与向量所成的角是锐角，则的取值范围是【答案】BC【解析】对于A，向量的模不符合，故A不正确.对于B，向量的相反向量为，与相反向量同向的单位向量是，故B正确.对于C，向量在向量上的投影为，与向量同向的单位向量，所以向量在向量上的投影向量是，故C正确.对于D，时，向量与同向共线，夹角为0，不是锐角，故D不正确.故选：BC.13．（多选题）（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】BC【解析】因为，所以，所以，又因为，所以,所以，所以，A错误；因为△ABC是边长为2的等边三角形，所以的夹角为，即的夹角为，17 所以，所以，B正确；，C正确，D错误；故选:BC.14．（多选题）（2023·广东汕头·统考二模）在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，下列结论正确的是（    ）A．B．C．的余弦值为D．【答案】ABD【解析】连接PC，并延长交AB于Q，中，，，，则，,，，，选项A:.判断正确；选项B:17 .判断正确；选项C:.判断错误；选项D:.判断正确.故选：ABD15．（多选题）（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，记，则（    ）  A．B．C．D．在方向上的投影向量为【答案】BC【解析】，故A错误；因为，故B正确；，又，所以，故C正确；在方向上的投影向量为，故D错误.故选：.16．（2023·陕西西安·统考模拟预测）若向量，不共线，且，则________.17 【答案】【解析】因为向量，，所以，因为，所以，所以或，又向量，不共线，所以，所以，所以，即，所以，故答案为：.17．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知向量，，若，则向量在上的投影向量的模长为___________.【答案】【解析】因为向量，，，，    若，则，即，即，解得:,向量在上的投影向量的模长为:.故答案为：.18．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知正六边形的边长为1，为边的中点，为正六边形的中心，则______．【答案】【解析】根据题意得，，，17 故．故答案为：19．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知向量，，，满足，且，，则＝______．【答案】【解析】，所以，，以向量的起点为原点，向量的方向为轴正方向，建立如图所示的坐标系，不妨设，则，，设  ∵，所以或，17 或，则或，故答案为：．1．（2023•乙卷（文））正方形的边长是2，是的中点，则　　A．B．3C．D．5【答案】【解析】正方形的边长是2，是的中点，所以，，，，则．故选：．2．（2023•甲卷（文））已知向量，，则，　　A．B．C．D．【答案】【解析】根据题意，向量，，则，，则有，，，故，．故选：．3．（2023•甲卷（理））向量，，且，则，　　A．B．C．D．【答案】【解析】因为向量，，且，所以，所以，即，，解得，，所以，17 又，，所以，，所以，．故选：．4．（2022•乙卷（文））已知向量，满足，，，则　　A．B．C．1D．2【答案】【解析】因为向量，满足，，，所以，两边平方得，，解得，故选：．5．（2023•天津）在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，则可用，表示为　　；若，则的最大值为　　．【答案】；．【解析】在中，，，点为的中点，点为的中点，，，则；设，，由余弦定理可得：，又，即，当且仅当时取等号，又，则，则17 ，即的最大值为．故答案为：；．6．（2023•上海）已知向量，，则　　．【答案】4．【解析】向量，，．故答案为：4．7．（2023•新高考Ⅱ）已知向量，满足，，则　　．【答案】【解析】，，，，，，．故答案为：．8．（2022•天津）在中，，，是中点，，试用，表示为　　，若，则的最大值为　　．17 【答案】；．【解析】中，，，是中点，，如图：．，，，即，即，即，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故的最大值为，即的最大值为，故答案为：；．9．（2022•上海）若平面向量，且满足，，，则　　．【答案】【解析】由题意，有，则，设，则得，，由同角三角函数的基本关系得：，则，，则．故答案为：．17 10．（2022•浙江）设点在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是　　．【答案】，．【解析】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，，，，，，设，则，，，，，即的取值范围是，，故答案为：，．11．（2022•甲卷（文））已知向量，．若，则　　．【答案】．【解析】向量，．，，则，17 故答案为：．12．（2022•甲卷（理））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则　　．【答案】11【解析】由题意可得，则．故答案为：11．17 17