2023版高考数学一轮总复习第五章平面向量与复数第三讲平面向量的数量积课件

第三讲　平面向量的数量积 课标要求考情分析1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.4.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角1.本讲复习时应联系生活实例，体会建模，掌握运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本方法.2.加强解三角形及解三角形的实际应用，培养数学建模能力，这也是近几年高考的热点之一 1.向量的夹角 定义已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积2.平面向量的数量积 3.平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a.(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4.平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉. 概念几何表示坐标表示|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤(续表)提醒：a∥b与a⊥b所满足的坐标关系不同.a∥b⇔x1y2＝x2y1；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 【名师点睛】(1)平面向量数量积运算的常用公式①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.(2)两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线. 题组一走出误区1.(多选题)下列命题中正确的是()A.非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为30°B.若a·b＞0，则a，b的夹角为锐角 答案：ACD 题组二走进教材答案：C 3.(教材改编题)已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos〈a，b〉＝________. 题组三真题展现4.(2021年北京)已知a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)，则(a＋b)·c＝________；a·b＝________.答案：035.(2020年全国Ⅰ)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________. 考点一平面向量数量积的基本运算[例1]如图531，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，图5-3-1 解析：法一(几何法)： 法二(坐标法)：如图5-3-2，建立平面直角坐标系xAy.依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n,0)，其中m>0，n>0，图5-3-2答案：12 【题后反思】平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解. 【变式训练】 解析：如图D27所示，设AC的中点为E，AB的中点为F，连接OA，OF，OD，OE，图D27答案：D 解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图D28所示，则B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)，图D28答案：D 考点二平面向量数量积的应用考向1求向量的模通性通法：求解平面向量模的方法 A.2B.4C.6D.8 答案：A 图5-3-3 答案：5 考向2求向量的夹角通性通法：求平面向量的夹角的方法(3)解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中. [例3](1)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为() 答案：B图5-3-4 (2)若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________. 考向3两个向量垂直问题通性通法：(1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可.(2)已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数. [例4](1)(2020年全国Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是()A.a＋2bC.a－2bB.2a＋bD.2a－b 答案：D 【考法全练】 答案：A 2.(考向2)(多选题)(2021年城厢模拟)已知向量a＝(λ，)1)，b＝(1，－2)，记向量a，b的夹角为θ，则(A.λ＞2时，θ为锐角B.λ＜2时，θ为钝角C.λ＝2时，θ为直角 答案：ACD ∵(c－a)·(c－b)＝－1，∴x2＋y2－6x－2y＋9＝0，即(x－3)2＋(y－1)2＝1，所以点C在以(3,1)为圆心，1为半径的圆上，|c－a|表示点A，C的距离，即圆上的点与A(4,0)的距离，因为圆心到A的 ⊙数量积运算的最值或取值范围 解析：(法一，几何法)第一步：画出图形，利用向量图5-3-5 图5-3-6 (法二，坐标法)第一步：建立平面直角坐标系.以BC中点为坐标原点，建立如图5-3-7所示的坐标系，图5-3-7 答案：B 【反思感悟】求解平面向量数量积最值或取值范围问题的两个策略(1)图形化策略所谓图形化策略，是指解决向量问题时，利用图形语言翻译已知条件和所求结论，借助图形思考解决问题.图形化策略体现了数形结合思想，同时，化归与转化思想和函数与方程思想也深蕴其中.利用图形化的策略方法，各种数量关系在图形中非常明了，能起到事半功倍的作用.如果没有图形的帮助，要用代数化策略，这样即使是坐标化处理，也可能陷入“僵局”. (2)代数化策略所谓代数化策略，是指解决向量问题时，利用代数语言翻译已知条件和所求结论，借助代数运算解决所面临的问题.代数化策略体现了化归与转化思想和函数与方程思想.通过平面向量基本定理演变而来的代数运算和坐标化的代数运算，是解决向量问题的一般方法. 【高分训练】A.[－1,8]C.[0,8]B.[－1，＋∞)D.[－1,0] 答案：A 解析：如图D29，以BC的中点O为原点，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系xOy，图D29 答案：B