2025年高考数学一轮讲义第2章 第5课时　函数性质的综合应用

第5课时　函数性质的综合应用考点一　函数的奇偶性与单调性[典例1]　(1)(2024·浙江金华期中)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x1，x2∈R，当x1＜x2时，都有f(x1)－f(x2)＜x1－x2，则关于x的不等式f(x2－1)＋f(－2x－2)＜x2－2x－3的解集为(　　)A．(－3，1)B．(－1，3)C．(－∞，－3)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)(2)(多选)(2023·四省联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在(－∞，0]上均单调递减，则(　　)A．f(f(1))＜f(f(2))　B．f(g(1))＜f(g(2))C．g(f(1))＜g(f(2))　D．g(g(1))＜g(g(2))[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小．2．对于抽象函数不等式的求解，先将不等式变形为f(x1)>f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1<x2(或x1>x2)求解．[跟进训练]1．(1)(2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　)A．[－1，1]∪[3，＋∞)　B．[－3，－1]∪[0，1]C．[－1，0]∪[1，＋∞)　D．[－1，0]∪[1，3](2)(多选)定义在R上的奇函数f(x)为减函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，则下列不等式中成立的是(　　)A．f(b)－f(－a)<g(a)－g(－b)4/4 B．f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)C．f(a)＋f(－b)<g(b)－g(－a)D．f(a)＋f(－b)>g(b)－g(－a)[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考点二　函数的奇偶性与周期性[典例2]　(1)(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)是偶函数，f(2x＋1)是奇函数，则(　　)A．f-12＝0　　　B．f(－1)＝0C．f(2)＝0　D．f(4)＝0(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x)＝－f(x)，且当1≤x≤2时，f(x)＝x－1，则f72等于(　　)A．52　　B．32C．12　　D．－12[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等，常先利用奇偶性推导出周期性，然后将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，或已知单调性的区间内求解．[跟进训练]2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋1)＝f(－x＋1)，当0<x≤1时，f(x)＝x2－2x＋3，则f132等于(　　)A．－74　　B．74　C．－94　　D．94考点三　函数的奇偶性与对称性[典例3]　(1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，函数g(x)＝x-2f(x)的图象关于直线x＝2对称，若f(－1)＝－1，则g(3)＝(　　)4/4 A．5　　B．1　C．－1　　D．－5(2)定义在R上的奇函数f(x)，其图象关于点(－2，0)对称，且f(x)在[0，2)上单调递增，则(　　)A．f(11)<f(12)<f(21)B．f(21)<f(12)<f(11)C．f(11)<f(21)<f(12)D．f(21)<f(11)<f(12)[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等．[跟进训练]3．已知函数f(x)是R上的偶函数，且f(x)的图象关于点(1，0)对称，当x∈[0，1]时，f(x)＝2－2x，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2024)的值为(　　)A．－2　　B．－1　C．0　　D．1考点四　函数的对称性与周期性[典例4]　(1)(2024·山东济南期末)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为奇函数，f(2x＋1)为偶函数，则函数f(x)的周期是(　　)A．2　B．3C．4　D．5(2)(2023·广东广州一模)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2，f(x＋2)为偶函数，若f(0)＝2，则＝(　　)A．116　B．115C．114　D．113[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4/4 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　函数的周期性与对称性的关系(1)如果f(x)的图象关于点(a，0)对称，且关于直线x＝b(a≠b)对称，则函数f(x)的周期T＝4|a－b|.(类比y＝sinx的图象)(2)如果f(x)的图象关于点(a，0)对称，且关于点(b，0)(a≠b)对称，则函数f(x)的周期T＝2|a－b|.(类比y＝sinx的图象)(3)若函数f(x)的图象关于直线x＝a与直线x＝b(a≠b)对称，那么函数的周期T＝2|a－b|.(类比y＝sinx的图象)[跟进训练]4．(1)(2023·天津和平区一模)已知f(x)是定义在R上的函数，且对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(2－x)＋4f(2)，若函数y＝f(x＋1)的图象关于点(－1，0)对称，则f(2024)＝(　　)A．6　B．3C．0　D．－3(2)(2021·全国甲卷)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f92＝(　　)A．－94　B．－32C．74　D．524/4