2023年新高考一轮复习讲义第09讲 函数性质的综合问题（解析版）

第9讲　函数性质的综合问题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·全国·高三专题练习）设是定义域为的偶函数，且在单调递增，设，，，则（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，即，由于函数是偶函数，在区间上单调递增，所以在上单调递减，由于函数为偶函数，则，即，故选：A.2．（2022·湖南衡阳·三模）定义在上的奇函数满足为偶函数，且当时，，则下列结论正确的是（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为为偶函数,所以满足,又因为是奇函数,所以故因此即是以4为周期的周期函数.试卷第16页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ，当时，，在单调递增，在单调递减，故在单调递增.所以故选：A3．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知函数，则在同一个坐标系下函数与的图像不可能是（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：设，因为，所以是R上的奇函数，又时，在上单调递增，所以在R上单调递增，且有唯一零点0，所以的图像一定经过原点，当时，与的图像相同，不符合题意．当时，是R上的奇函数，且在上单调递增，所以与的图像可能为选项C；试卷第16页，共1页学科网（北京）股份有限公司 当时，若，所以与的图像可能为选项A或B.故选：D．4．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的是（       ）A．是函数的周期B．函数在上的最大值为2C．函数在上单调递减D．方程在上的所有实根之和为【答案】D【解析】是上的奇函数，，，故不是函数的周期，且，故是函数的周期，故A错误；当时，且单调递增，且单调递减，则单调递增，故C错误；当时，且单调递减，且单调递增，则单调递减；且，又是奇函数且周期为，，故B错误；由可得关于对称，方程的根等价于与的交点的横坐标，根据的单调性和周期可得，与在有两个关于对称的交点，在有两个关于对称的交点，在有两个关于对称的交点，所以方程在上的所有实根之和为，故D正确.故选：D.5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，其中为不小于x的最小整数，如，，则关于性质的表述，正确的是（       ）A．定义域为B．在定义域内为增函数C．函数为周期函数D．函数为奇函数试卷第16页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【答案】C【解析】解：易知，故定义域为，故选项错误，令，易知，故是以1为周期的函数，故选项正确，项错误，因为，故选项错误．故选：C．6．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测）若存在且，对任意的，均有恒成立，则称函数具有性质P，已知：单调递减，且恒成立；单调递增，存在使得，则是具有性质P的充分条件是（       ）A．只有B．只有C．和D．和都不是【答案】C【解析】：当，，因为函数单调递减，所以即，存在，当满足命题时，具有性质P.：当时，，因为函数单调递增，所以，即，存在，当满足命题时，具有性质P.综上可知命题、都是具有性质P的充分条件．故选：C7．（2022·全国·高三专题练习）定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（       ）A．30B．14C．12D．6试卷第16页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【答案】A【解析】由知函数的图象关于直线对称，∵，是R上的奇函数，∴，∴，∴的周期为4，考虑的一个周期，例如，由在上是减函数知在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，对于奇函数有，，故当时，，当时，，当时，，当时，，方程在上有实数根，则这实数根是唯一的，因为在上是单调函数，则由于，故方程在上有唯一实数，在和上，则方程在和上没有实数根，从而方程在一个周期内有且仅有两个实数根，当，方程的两实数根之和为，当，方程的所有6个实数根之和为.故选：A.试卷第16页，共1页学科网（北京）股份有限公司 8．（2022·全国·高三专题练习）设函数.若对任意的正实数和实数，总存在，使得，则实数的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】设的最大值为，令，当时，函数单调递减，，，由，解得由，时，；时，；时由，，由时，，，综上可得：，故答案为：9．（多选）（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）已知是定义在R上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（       ）A．是以2为周期的周期函数B．点是函数的一个对称中心C．D．函数有3个零点【答案】BD【解析】依题意，为偶函数，且，有，即关于对称，则试卷第16页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ，所以是周期为4的周期函数，故A错误；因为的周期为4，关于对称，所以是函数的一个对称中心，故B正确；因为的周期为4，则，，所以，故C错误；作函数和的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有3个交点，所以函数有3个零点，故D正确.故选：BD.10．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为的函数满足是奇函数，为偶函数，当，，则（       ）A．是偶函数B．的图象关于对称C．在上有3个实数根D．【答案】BC【解析】根据题意，可得函数的定义域为，由函数为偶函数，可得函数的图象关于对称，即，所以B正确；试卷第16页，共1页学科网（北京）股份有限公司 由函数是奇函数，可得函数的图象关于点对称，即，可得，则，即函数是以8为周期的周期函数，当时，，可得，即，所以D不正确；由函数是以8为周期的周期函数，可得，因为，令，可得，所以，所以函数一定不是偶函数，所以A不正确；当时，，所以，由，可得，又由，所以C正确.故选：BC.11．（2022·山东·烟台二中模拟预测）请写出一个定义在R上的函数，其图象关于y轴对称，无最小值，且最大值为2．其解析式可以为______．【答案】或（，等）（答案不唯一）【解析】根据题中的条件可知函数是偶函数，最大值为2，所以满足题中的条件，再如，再如等等（答案不唯一）.故答案为：或（，等）（答案不唯一）.12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数对满足，且，若的图象关于对称，，则=____________．【答案】【解析】因为的图象关于对称，所以的图象关于对称，即是偶函数.对于，令，可得，又，所以，则.所以函数对满足.试卷第16页，共1页学科网（北京）股份有限公司 所以.所以，即是周期为的周期函数.所以，.所以.故答案为.13．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知函数为定义在R上的奇函数，满足对，其中，都有，且，则不等式的解集为___________.【答案】【解析】因为，所以当时，，令，则在上单调递增，又因为为定义在R上的奇函数,所以是偶函数，且在上单调递减，因为，所以，等价于或，所以或，即不等式的解集为.故答案为：.14．（2022·北京市第五中学三模）已知函数给出下列四个结论：①存在实数，使函数为奇函数；②对任意实数，函数既无最大值也无最小值；③对任意实数和，函数总存在零点；④对于任意给定的正实数，总存在实数，使函数在区间上单调递减.试卷第16页，共1页学科网（北京）股份有限公司 其中所有正确结论的序号是______________.【答案】①②③④【解析】如上图分别为，和时函数的图象，对于①：当时，，图象如图关于原点对称，所以存在使得函数为奇函数，故①正确；对于②：由三个图知当时，，当时，，所以函数既无最大值也无最小值；故②正确；对于③：如图和图中存在实数使得函数图象与没有交点，此时函数没有零点，所以对任意实数和，函数总存在零点不成立；故③不正确对于④：如图，对于任意给定的正实数，取即可使函数在区间上单调递减，故④正确；故答案为：①②④15．（2022·重庆市朝阳中学高三开学考试）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，当时，.试卷第16页，共1页学科网（北京）股份有限公司 （1）求证：是周期函数；（2）当时，求的解析式；（3）计算.【解】（1）由，，∴是以4为周期为周期函数；（2）任取，则，有，∴；（3），，由（1）可知为一个周期的函数值，和为0，所以.点睛：本题是奇偶性周期性的综合，利用给出的等式结合奇偶性得出周期，对于这类型的问题利用周期性，主要解决一共包含几个周期，一个周期的和是多少，剩余哪些项可以利用周期求解.试卷第16页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【素养提升】1．（2022·全国·高考真题（理））已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为的图像关于直线对称，所以，因为，所以，即，因为，所以，代入得，即，所以，.因为，所以，即，所以.因为，所以，又因为，联立得，，所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以因为，所以.所以.故选：D2．（2022·北京·北师大实验中学模拟预测）在人工智能领域，神经网络是一个比较热门的话题．由神经网络发展而来的深度学习正在飞速改变着我们身边的世界．从AlphaGo到自动驾驶汽车，这些大家耳熟能详的例子，都是以神经网络作为其理论基础的．在神经网络当中，有一类很重要的函数称为激活函数，Sigmoid函数即是神经网络中最有名的激活函数之一，其解析式为：．下列关于试卷第16页，共1页学科网（北京）股份有限公司 Sigmoid函数的表述正确的是：______．①Sigmoid函数是单调递增函数；②Sigmoid函数的图象是一个中心对称图形，对称中心为；③对于任意正实数a，方程有且只有一个解；④Sigmoid函数的导数满足：．【答案】①②④【解析】因为为单调递减函数，所以为单调递增函数，故①正确；因为，所以Sigmoid函数的图象是一个中心对称图形，对称中心为，故②正确；因为为单调递增函数，且，，仅当时，方程有且只有一个解，故③错误；，，所以，故④正确．故答案为：①②④.3．（2022·全国·高三专题练习）设函数.（1）证明函数在上是递减函数，在上是递增函数；（2）函数，若实数，满足，求的最小值；（3）函数如（2）中所述，是定义在上的函数，当时，，且对任意的，都有成立，若存在实数满足，求的最大值.【解】解：（1），，试卷第16页，共1页学科网（北京）股份有限公司 当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以函数在上是递减函数，在上是递增函数；（2）已知，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，由于实数，满足，可知，即，所以，，设函数，则，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以当时，取得最小值，即，所以的最小值为3；（3）由题可知，当时，，则，且对任意的，都有成立，则关于对称，当时，，当时，，可得的图象大致如下：试卷第16页，共1页学科网（北京）股份有限公司 因为存在实数满足，则可知与关于对称，与关于对称，且，，则，，则，又，则，所以，，且，令，，当且仅当，即时取等号，符合，故可取，，即，可知的最大值为：.试卷第16页，共1页学科网（北京）股份有限公司 试卷第16页，共1页学科网（北京）股份有限公司