2023年新高考一轮复习讲义第08讲 函数的奇偶性及周期性（解析版）

第8讲　函数的奇偶性及周期性学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且 ，当时，，则（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】，是周期为的函数又是定义在上的奇函数当时，故选：A2．（2022·重庆南开中学模拟预测）函数的图像大致为（       ）A．B．C．D．【答案】A试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【解析】解：的定义域为，，所以为奇函数，排除CD选项.当时，，，由此排除B选项.故选：A3．（2022·海南海口·二模）已知函数是定义在上的奇函数，函数的图象关于直线对称，若，则（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为的图象关于对称，则是偶函数，，且，所以，对任意的恒成立，所以，，因为且为奇函数，所以，，因此，.故选：B.4．（2022·江苏江苏·二模）已知是定义域为R的偶函数，f(5.5)＝2，g(x)＝(x－1).若g(x＋1)是偶函数，则＝(       )A．－3B．－2C．2D．3【答案】D【解析】为偶函数，则关于对称，即，即，即，关于对称，又f(x)是定义域为R的偶函数，∴，∴f(x－4)＝f[(x－2)－2]＝－f(x－2)＝－[－f(x)]＝f(x)，即f(x－4)＝f(x)，周期为，∴，试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 .故选：D.5．（2022·湖南·雅礼中学二模）函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，则（       ）A．是奇函数B．是偶函数C．D．【答案】B【解析】因为是奇函数，∴，∵是偶函数，∴，即，，则，即周期为8；另一方面，∴，即是偶函数.故选：B.6．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）函数是R上的奇函数，函数图像与函数关于对称，则（       ）A．0B．-1C．2D．1【答案】C【解析】函数是R上的奇函数，则设，则，则函数的图像关于点对称函数图像与函数关于对称，试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 所以函数的图像关于对称，所以故选：C7．（2022·重庆八中模拟预测）定义域为的偶函数，满足．设，若是偶函数，则（       ）A．B．C．2021D．2022【答案】C【解析】∵，∴，又为偶函数，∴，即，∴，又是定义域为R偶函数，∴，∴周期为4，又，∴，∴.故选：C.8．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）已知定义在D的上函数满足下列条件：①函数为偶函数，②存在，在上为单调函数.则函数可以是（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】对于A，定义域为，，即为奇函数，A不是；对于B，定义域为R，由得，即对任意的正整数k，都是的零点，显然不能满足条件②，B不是；试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 对于C，，必有，则且，即定义域为且，，则函数为偶函数，满足条件①，设，其导数，由得，令，当时，，即在上为增函数，而，在上为减函数，因此在上为减函数，即存在，在上为减函数，满足条件②，C是；对于D，定义域为，不能满足条件②，D不是.故选：C9．（多选）（2022·辽宁沈阳·三模）已知分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则下列说法正确的有（       ）A．B．在上单调递减C．关于直线对称D．的最小值为1【答案】ACD【解析】由题，将代入得，因为分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以可得，将该式与题干中原式联立可得.对于A：，故A正确；对于B：由，，所以不可能在在上单调递减，故B错误；对于C：为偶函数，关于轴对称，表示向右平移1101个单位，故关于对称，故C正确；对于D：根据基本不等式，当且仅当时取等，故D正确.故选：ACD10．（多选）（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）定义在上的偶函数满足，当试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 时，，设函数，则正确的是（       ）A．函数图像关于直线对称B．函数的周期为6C．D．和的图像所有交点横坐标之和等于8【答案】AD【解析】，函数图像关于直线对称，故A正确；又为偶函数，，所以函数的周期为4，故B错误；由周期性和对称性可知，，故C错误；做出与的图像，如下：由图可知，当时，与共有4个交点，与均关于直线对称，所以交点也关于直线对称，则有，故D正确.故选：AD.11．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知函数是奇函数，则__________.【答案】1【解析】设，因为是奇函数，所以，即，整理得到，故.故答案为：1.12．（2022·山东烟台·三模）若为奇函数，则的表达式可以为___________.【答案】，，，，等（答案不唯一）试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【解析】由为奇函数，则有即恒成立则，则为奇函数则的表达式可以为或或等故答案为：，，，，等13．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知是定义在上的函数，若对任意，都有，且函数的图像关于直线对称，，则_______.【答案】3【解析】因为函数的图像关于直线对称，所以函数的图像关于直线对称，即函数是偶函数，则有；因为对任意，都有，令，得，所以对任意，都有，即函数的周期为，则，故答案为：.14．（2022·山东·胜利一中模拟预测）已知函数满足对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且，则_________．【答案】【解析】因为函数满足对任意恒成立，所以令，即，解得，所以对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，将函数向右平移个单位得到，所以关于点，即为上的奇函数，所以，又对任意恒成立，令，得，即，再令，得，分析得，所以函数的周期为，因为，所以在中，令，得，所以.试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 故答案为：.15．（2022·全国·高三专题练习）若函数是奇函数，是偶函数，且其定义域均为.若，求，的解析式.【解】依题意，函数是奇函数，是偶函数，解得，.16．（2022·北京·高三专题练习）设为实数，已知函数是奇函数．(1)求的值；(2)判断在上的单调性，并给出证明；(3)解关于的不等式．【解】(1)解：因为函数为奇函数，则，即，解得.(2)证明：由（1）可得，则函数为上的增函数，理由如下：任取、且，则，则，即，因此，函数为上的增函数.(3)解：因为函数为上的奇函数且为增函数，由可得，则，即，解得，试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 因此，不等式的解集为.【素养提升】1．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）已知是奇函数，当时，，则的解集为（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为是奇函数，当时，；所以当时，；当时，则，所以.因为是奇函数，所以，所以.即当时，.综上所述：.令，则，所以不等式可化为：.当时，不合题意舍去.当时，对于.因为在上递增，在上递增，所以在上递增.又，所以由可解得：，即，解得：.试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 故选：C2．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，，则则函数在上单调递增，又可导函数是定义在上的奇函数则是上的偶函数，且在单调递减，由，可得，则，则时，不等式可化为又由函数在上单调递增，且，，则有，解之得故选：D3．（多选）（2022·江苏泰州·模拟预测）已知定义在上的单调递增的函数满足：任意，有，，则（       ）A．当时，B．任意，C．存在非零实数，使得任意，D．存在非零实数，使得任意，【答案】ABD【解析】对于A，令，则，即，试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 又，；令得：，，，，则由可知：当时，，A正确；对于B，令，则，即，，由A的推导过程知：，，B正确；对于C，为上的增函数，当时，，则；当时，，则，不存在非零实数，使得任意，，C错误；对于D，当时，；由，知：关于，成中心对称，则当时，为的对称中心；当时，为上的增函数，，，，；由图象对称性可知：此时对任意，，D正确.故选：ABD.4．（多选）（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）若图像上存在两点，关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”）.若，且，，，则（       ）A．有无数个“友情点对”B．恰有个“友情点对”C．D．【答案】AD【解析】因为，，所以是奇函数，所以图像上存在无数对，关于原点对称，即有无数个“友情点对”；试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 又因为，令，则，令，则，当时，，所以是增函数，，即，所以当时是增函数，，所以，在上是增函数，因为是奇函数，所以在上是增函数，因为，指数函数为增函数，所以，因为，指数函数为增函数，所以，由可得，故所以.故选：AD.5．（2022·江苏·高三专题练习）已知奇函数在区间上是增函数，且，，当，时，都有，则不等式的解集为______．【答案】【解析】不等式等价为，即或，即或，是奇函数，且，   ，故，则，，，又奇函数在区间上是增函数，故在区间上也是增函数，故即或，此时；而即或，试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 此时；故不等式的解集为，故答案为：6．（2022·山东潍坊·一模）已知定义在R上的函数满足，且为偶函数，当时，，若关于x的方程有4个不同实根，则实数a的取值范围是______.【答案】【解析】依题意，，当时，，则当时，，又为偶函数，即，即，当，即时，，当，即时，，因此，当时，，显然有，于是得是周期为4的周期函数，当时，，当时，，令，则，函数是R上的偶函数，的图象关于y轴对称，讨论的情况，再由对称性可得的情况，当时，，则时，，当时，，当时，函数的图象、性质与的的图象、性质一致，关于x的方程有4个不同实根，即直线与的图象有4个公共点，当时，函数的部分图象如图，试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 观察图象知，当直线过原点及点，即时，直线与的图象有5个公共点，当直线过原点及点，即时，直线与的图象有3个公共点，当直线绕原点逆时针旋转到直线时，旋转过程中的每个位置的直线(不含边界)与的图象总有4个公共点，于是得，当时，关于x的方程有4个不同实根，有，由对称性知，当时，关于x的方程有4个不同实根，有，所以实数a的取值范围是：.故答案为：试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司