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2022新高考数学(江苏版)一轮复习训练:第三章第3讲函数的奇偶性及周期性(附解析)

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[A级 基础练]1.(多选)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是(  )A.y=x2 B.y=|x-1|C.y=|x|-1D.y=2x解析:选AC.选项A,C中的函数为偶函数且在(0,+∞)上单调递增;选项B,D中的函数均为非奇非偶函数.所以排除选项B,D,故选AC.2.函数f(x)=x+(x≠0)是(  )A.奇函数,且在(0,3)上是增函数B.奇函数,且在(0,3)上是减函数C.偶函数,且在(0,3)上是增函数D.偶函数,且在(0,3)上是减函数解析:选B.因为f(-x)=-x+=-=-f(x),所以函数f(x)=x+为奇函数.又f′(x)=1-,在(0,3)上f′(x)<0恒成立,所以f(x)在(0,3)上是减函数.3.(2021·贵阳市第一学期监测考试)已知函数f(x)的定义域为R,当x<0时,f(x)=2x,当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x),当x>时,f=f,则f(5)=(  )A.B.-C.-2D.2解析:选B.因为当x>时,f=f,所以f(x+1)=f(x),所以f(5)=f(1).因为当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x),所以f(1)=-f(-1).又当x<0时,f(x)=2x,所以f(5)=f(1)=-f(-1)=-2-1=-,故选B.4.设函数f(x)=,则下列结论错误的是(  )A.|f(x)|是偶函数B.-f(x)是奇函数C.f(x)|f(x)|是奇函数D.f(|x|)f(x)是偶函数解析:选D.因为f(x)=,则f(-x)==-f(x).所以f(x)是奇函数.因为f(|-x|)=f(|x|),所以f(|x|)是偶函数,所以f(|x|)f(x)是奇函数. 5.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+3)=f(x).若f(2)>1,f(7)=a,则实数a的取值范围为(  )A.(-∞,-3)B.(3,+∞)C.(-∞,-1)D.(1,+∞)解析:选D.因为f(x+3)=f(x),所以f(x)是定义在R上的以3为周期的周期函数,所以f(7)=f(7-9)=f(-2).又因为函数f(x)是偶函数,所以f(-2)=f(2),所以f(7)=f(2)>1,所以a>1,即a∈(1,+∞).故选D.6.已知f(x)是R上的偶函数,且当x>0时,f(x)=x2-x-1,则当x<0时,f(x)=________.解析:因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以当x<0时,-x>0.由已知f(-x)=(-x)2-(-x)-1=x2+x-1=f(x),所以f(x)=x2+x-1.答案:x2+x-17.若函数f(x)=为奇函数,则实数a的值为________,且当x≥4时,f(x)的最大值为________.解析:由f(x)为奇函数易知a=2,当x≥4时,f(x)=在[4,+∞)上单调递减,所以当x=4时,f(x)max=.答案:2 8.已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=________.解析:方法一:因为f(x)在R上是奇函数,且f(1-x)=f(1+x).所以f(x+1)=-f(x-1),即f(x+2)=-f(x).因此f(x+4)=f(x),则函数f(x)是周期为4的函数,由于f(1-x)=f(1+x),f(1)=2,故令x=1,得f(0)=f(2)=0,令x=2,得f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,令x=3,得f(4)=f(-2)=-f(2)=0,故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2.方法二:取一个符合题意的函数f(x)=2sin,则结合该函数的图象易知数列{f(n)}(n∈N*)是以4为周期的周期数列.故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)=12×[2+0+(-2)+0]+2+0=2.答案:29.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意实数x有f=-f成立.(1)证明y=f(x)是周期函数,并指出其周期; (2)若f(1)=2,求f(2)+f(3)的值.解:(1)因为f=-f,且f(-x)=-f(x),所以f(x+3)=f=-f=-f(-x)=f(x),所以y=f(x)是周期函数,且3是其一个周期.(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,且f(-1)=-f(1)=-2,又T=3是y=f(x)的一个周期,所以f(2)+f(3)=f(-1)+f(0)=-2+0=-2.10.设f(x)是定义域为R的周期函数,最小正周期为2,且f(1+x)=f(1-x),当-1≤x≤0时,f(x)=-x.(1)判定f(x)的奇偶性;(2)试求出函数f(x)在区间[-1,2]上的表达式.解:(1)因为f(1+x)=f(1-x),所以f(-x)=f(2+x).又f(x+2)=f(x),所以f(-x)=f(x).又f(x)的定义域为R,所以f(x)是偶函数.(2)当x∈[0,1]时,-x∈[-1,0],则f(x)=f(-x)=x;从而当1≤x≤2时,-1≤x-2≤0,f(x)=f(x-2)=-(x-2)=-x+2.故f(x)=[B级 综合练]11.对于函数y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的(  )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选B.若y=f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),所以|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,所以y=|f(x)|的图象关于y轴对称,但若y=|f(x)|的图象关于y轴对称,y=f(x)不一定是奇函数,如y=|f(x)|=x2,故选B.12.已知函数f(x)=如果对任意的n∈N*,定义fn(x)=,那么f2022(2)的值为 (  )A.0B.1 C.2D.3解析:选C.因为f1(2)=f(2)=1,f2(2)=f(1)=0,f3(2)=f(0)=2,所以fn(2)的值具有周期性,且周期为3,所以f2022(2)=f3×674(2)=f3(2)=2,故选C.13.设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.(1)求f(π)的值;(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积.解:(1)由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数.所以f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.(2)由f(x)是奇函数与f(x+2)=-f(x),得f((x-1)+2)=-f(x-1)=f(-(x-1)),即f(1+x)=f(1-x).从而可知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.又当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示.设当-4≤x≤4时,f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则S=4S△OAB=4×=4.14.已知函数f(x)=是奇函数.(1)求实数m的值;(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.解:(1)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),于是当x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2.(2)由(1)可画出f(x)的图象,知f(x)在[-1,1]上是增函数,要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增.结合f(x)的图象知所以1<a≤3,故实数a的取值范围是(1,3]. [C级 创新练]15.若函数f(x)同时满足下列两个条件,则称该函数为“优美函数”:(1)∀x∈R,都有f(-x)+f(x)=0;(2)∀x1,x2∈R,且x1≠x2,都有<0.①f(x)=sinx;②f(x)=-2x3;③f(x)=1-x.以上三个函数中,“优美函数”的个数是(  )A.0B.1C.2D.3解析:选B.由条件(1),得f(x)是R上的奇函数,由条件(2),得f(x)是R上的减函数.对于①,f(x)=sinx在R上不单调,故不是“优美函数”;对于②,f(x)=-2x3既是奇函数,又在R上单调递减,故是“优美函数”;对于③,f(x)=1-x不是奇函数,故不是“优美函数”.故选B.16.(多选)设函数f(x)的定义域为D,如果对任意的x∈D,存在y∈D,使得f(x)=-f(y)成立,则称函数f(x)为“H函数”.下列为“H函数”的是(  )A.y=sinxcosxB.y=lnx+exC.y=2xD.y=x2-2x解析:选AB.由题意,得“H函数”的值域关于原点对称.A中,y=sinxcosx=sin2x∈,其值域关于原点对称,故A是“H函数”;B中,函数y=lnx+ex的值域为R,故B是“H函数”;C中,因为y=2x>0,故C不是“H函数”;D中,y=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,其值域不关于原点对称,故D不是“H函数”.综上所述,A,B是“H函数”,故选AB.

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发布时间:2021-09-20 19:00:04 页数:5
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文章作者:随遇而安

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