【创新设计】(浙江专用)2022届高考数学总复习 第2篇 第3讲 函数的奇偶性与周期性限时训练 理
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第3讲 函数的奇偶性与周期性分层A级 基础达标演练(时间:30分钟 满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.下列判断正确的是( ).A.函数f(x)=是奇函数B.函数f(x)=(1-x)是偶函数C.函数f(x)=x+是非奇非偶函数D.函数f(x)=1既是奇函数又是偶函数解析 选项A中的x≠2,而x=-2有意义,定义域不关于原点对称,选项B中的x≠1,而x=-1有意义,定义域不关于原点对称,选项D中的函数仅为偶函数.答案 C2.(2022·豫东、豫北十所名校三测)已知函数f(x)=则该函数是( ).A.偶函数,且单调递增B.偶函数,且单调递减C.奇函数,且单调递增D.奇函数,且单调递减解析 当x>0时,-x<0,f(-x)+f(x)=(2-x-1)+(1-2-x)=0;当x<0时,-x>0,f(-x)+f(x)=(1-2x)+(2x-1)=0,易知f(0)=0.因此,对任意x∈R,均有f(-x)+f(x)=0,即函数f(x)是奇函数.当x>0时,函数f(x)是增函数,因此函数f(x)单调递增,选C.答案 C3.已知偶函数f(x)(x≠0)在区间(0,+∞)上(严格)单调,则满足f(x2-2x-1)=f(x+1)的所有x之和为( ).A.1B.2C.3D.4解析 依题意得,方程f(x2-2x-1)=f(x+1)等价于方程x2-2x-1=x+1或x2-2x-1=-x-1,即x2-3x-2=0或x2-x=0,因此所有解之和为3+1=4,选D.答案 D4.(2022·武汉一模)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a>0且a≠1),若g(2)=a,则f(2)=( ).5\nA.2B.C.D.a2解析 依题意知:f(-x)+g(-x)=g(x)-f(x)=a-x-ax+2,联立f(x)+g(x)=ax-a-x+2,解得:g(x)=2,f(x)=ax-a-x,故a=2,f(2)=22-2-2=4-=.答案 C二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2022·孝感模拟)已知f(x)是偶函数,当x<0时,f(x)=x2+x,则当x>0时,f(x)=________.解析 当x>0时,则-x<0,f(x)=f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x,∴x>0时,f(x)=x2-x.答案 x2-x6.(2022·重庆)函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a=________.解析 f(x)=x2+(a-4)x-4a,∵f(x)为偶函数,则a-4=0,即a=4.答案 4三、解答题(共25分)7.(12分)已知f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x|x-2|,求x<0时,f(x)的表达式.解 设x<0,则-x>0,所以满足表达式f(x)=x|x-2|.∴f(-x)=(-x)|(-x)-2|=-x|x+2|.又∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)=-f(-x)=x|x+2|,故当x<0时,f(x)=x|x+2|.8.(13分)已知函数f(x)=x2+(x≠0,a∈R).(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)若f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围.解 (1)当a=0时,f(x)=x2(x≠0)为偶函数;当a≠0时,f(-x)≠f(x),f(-x)≠-f(x),∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数.5\n(2)设x2>x1≥2,则f(x1)-f(x2)=x+-x-=[x1x2(x1+x2)-a],由x2>x1≥2,得x1x2(x1+x2)>16,x1-x2<0,x1x2>0.要使f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,只需f(x1)-f(x2)<0,即x1x2(x1+x2)-a>0恒成立,则a≤16.分层B级 创新能力提升1.(2022·福州质检)已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则f(7)等于( ).A.-2B.2C.-98D.98解析 ∵f(x+4)=f(x),∴f(x)是周期为4的函数,∴f(7)=f(2×4-1)=f(-1),又∵f(x)在R上是奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(-1)=-f(1),而当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,∴f(1)=2×12=2,∴f(7)=f(-1)=-f(1)=-2,故选A.答案 A2.(2022·江西盟校联考)函数f(x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式xf(x)>0在[-1,3]上的解集为( ).A.(1,3)B.(-1,1)C.(-1,0)∪(1,3)D.(-1,0)∪(0,1)解析 f(x)的图象如图.当x∈(-1,0)时,由xf(x)>0,得x∈(-1,0);当x∈(0,1)时,由xf(x)<0,得x∈∅;当x∈(1,3)时,由xf(x)>0,得x∈(1,3).∴x∈(-1,0)∪(1,3),故选C.答案 C3.(2022·吉林实验中学模拟)给出两个函数性质:性质1:f(x+2)是偶函数;性质2:f(x)在(-∞,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数.5\n对于函数:①f(x)=|x+2|,②f(x)=(x-2)2,③f(x)=cos(x-2),上述两个函数性质都具有的所有函数的序号是________.解析 将f(x+2)的图象沿x轴向右平移2个单位可得f(x)的图象,f(x+2)的图象关于y轴对称,所以f(x)的图象关于直线x=2对称,f(x)=|x+2|的图象关于直线x=-2对称,①排除;f(x)=cos(x-2)是周期函数,不满足性质2,∴③排除;f(x)=(x-2)2同时满足性质1,2.答案 ②4.(2022·盐城调研)已知定义在R上的偶函数满足:f(x+4)=f(x)+f(2),且当x∈[0,2]时,y=f(x)单调递减,给出以下四个命题:①f(2)=0;②x=-4为函数y=f(x)图象的一条对称轴;③函数y=f(x)在[8,10]上单调递增;④若方程f(x)=m在[-6,-2]上的两根为x1,x2,则x1+x2=-8.以上命题中所有正确命题的序号为________.解析 令x=-2,得f(2)=f(-2)+f(2),又函数f(x)是偶函数,故f(2)=0;根据f(2)=0可得f(x+4)=f(x),所以函数f(x)的周期是4,由于偶函数的图象关于y轴对称,故x=-4也是函数y=f(x)的图象的一条对称轴;根据函数的周期性可知,函数f(x)在[8,10]上单调递减,③不正确;由于函数f(x)的图象关于直线x=-4对称,故如果方程f(x)=m在区间[-6,-2]上的两根为x1,x2,则=-4,即x1+x2=-8.故正确命题的序号为①②④.答案 ①②④5.设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.(1)求f(π)的值;(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围图形的面积.解 (1)由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,又因为当0≤x≤1时,f(x)=x,从而得f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.(2)由f(x)是奇函数与f(x+2)=-f(x),得f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],即f(1+x)=f(1-x).故知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.又0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示.5\n当-4≤x≤4时,设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则S=4S△OAB=4×=4.6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且它的图象关于直线x=1对称.(1)求证:f(x)是周期为4的周期函数;(2)若f(x)=(0<x≤1),求x∈[-5,-4]时,函数f(x)的解析式.(1)证明 由函数f(x)的图象关于直线x=1对称,有f(x+1)=f(1-x),即有f(-x)=f(x+2).又函数f(x)是定义在R上的奇函数,故有f(-x)=-f(x),故f(x+2)=-f(x).从而f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即f(x)是周期为4的周期函数.(2)解 由函数f(x)是定义在R上的奇函数,有f(0)=0.x∈[-1,0)时,-x∈(0,1],f(x)=-f(-x)=-.故x∈[-1,0]时,f(x)=-;x∈[-5,-4]时,x+4∈[-1,0],f(x)=f(x+4)=-.从而,x∈[-5,-4]时,函数f(x)=-.5
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